44ο Τουρνουά Των Πόλεων 2022-23

[Al.Koutsouridis]

44ο Τουρνουά Των Πόλεων, 2022-23
Φθινοπωρινός γύρος, θέματα προχωρημένων για τις τάξεις 8-9.


3. Ο Βαρόνος Μινχάουζεν ισχυρίζεται, ότι σχεδιάσε ένα πολύγωνο και σημείο στο εσωτερικό του τέτοιο, ώστε οποιαδήποτε ευθεία, που διέρχεται από αυτό το σημείο, διαιρεί αυτό το πολύγωνο σε τρία πολύγωνα. Μπορεί να αληθεύει ο ισχυρισμός του βαρόνου; (Τατιάνα Κουζίτσινα)


4. Έστω φυσικός αριθμός. Σε ένα από τα κελιά ενός άπειρου λευκού τετραγωνικού πίνακα βρίκεται ένας πύργος. Με κάθε κίνηση αυτός μπορεί να μετακινηθεί ακριβώς κατά κελιά οριζόντια ή κάθετα, χρωματίζοντας στην πορεία του τα κελιά από τα οποία διήλθε με μάυρο χρώμα. Εκτελώντας κάμποσες τέτοιοες κινήσεις, χωρίς να διήλθε από κανένα κελί δυο φορές, ο πύργος επέστρεψε στην αρχική του θέση. Τα μαύρα κελιά σχηματίζουν ένα κλειστό περίγραμμα. Να αποδείξετε, ότι ο αριθμός των λευκών κελιών στο εσωτερικό συτού του περιγράμματος δίνει στην διαίρεση με τον υπόλοιπο . (Αλεξάντερ Γκριμπάλκο)


5. Στις πλευρές ενός κανονικού εννιάγωνου και εξωτερικά αυτού κατασκευάστηκαν τα τρίγωνα , , και . Είναι γνωστό, ότι οι γωνίες αυτών των τριγώνων είναι ίσες με η καθεμία, και μεταξύ των γωνιών , , και κάθε επόμενη είναι κατά μεγαλύτερη από την προηγούμενη. Να αποδείξετε, ότι τα σημεία βρίσκονται στον ίδιο κύκλο. (Ιγκορ Μπακάεβ)

Screen Shot 2022-12-14 at 20.47.22.png (40.41 KiB) Προβλήθηκε 929 φορές

6. Ο Γιώργος πρόσθεσε στον φυσικό αριθμό τον φυσικό αριθμό και παρατήρησε, ότι το άθροισμα των φηφίων του αποτελέσματος είναι ίδιο με του . Έπειτα εκ νέου ρπόσθεσε τον στο αποτέλεσμα, ύστερα άλλη μια φορά, κ.ο.κ. Άραγε απαραίτητα κάποια στιγμή θα του ξανά προκύψει αριθμός με άθροισμα ψηφίων, ίσο με του ; (Αλεξάντερ Σαποβάλοβ)


7. Είναι γνωστό, ότι μεταξύ μερικών χαρτονομισμάτων, η ονομαστική αξία των οποίων είναι ανά δυο διαφορετικοί μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί, υπάρχουν ακριβώς παραχαραγμένα. Ένας ανιχνευτής με έναν έλεγχο προσδιορίζει το άθροισμα των ονομαστικών αξιών όλων των γνήσιων χαρτονομισμάτων, που συμπεριλαμβάνονται σε μια επιλεχθείσα από μας συλλογή. Να αποδείξετε ότι με ελέγχους μπορούμε να βρούμε όλα τα παραχαραγμένα νομίσματα, αν

α) ,
β) . (Σεργέϊ Τοκάρεβ)



Πηγή

Υ.Γ. Συνήθως τα θέματα του τουρνουά εμφανίζονται και στα αγγλικά. Προς τα παρόν τα φετινά δεν έχουν εμφανιστεί, αν αυτό συνεχιστεί θα μεταφράσω και τα υπόλοιπα.

[Ορέστης Λιγνός]

5. Στις πλευρές ενός κανονικού εννιάγωνου και εξωτερικά αυτού κατασκευάστηκαν τα τρίγωνα , , και . Είναι γνωστό, ότι οι γωνίες αυτών των τριγώνων είναι ίσες με η καθεμία, και μεταξύ των γωνιών , , και κάθε επόμενη είναι κατά μεγαλύτερη από την προηγούμενη. Να αποδείξετε, ότι τα σημεία βρίσκονται στον ίδιο κύκλο. (Ιγκορ Μπακάεβ)

Έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του εννιαγώνου. Αρχίζουμε με κάποιους Ισχυρισμούς.

Ισχυρισμός 1: Είναι .
Απόδειξη: Είναι,







οπότε και όμοια δουλεύουμε για τις άλλες γωνίες

Ισχυρισμός 2: Οι ευθείες και συντρέχουν.
Απόδειξη: Έστω ότι οι τέμνονται στο . Είναι,



και άρα οπότε . Όμοια, αν είναι το σημείο τομής των , τότε θα είναι , άρα αφού , πρέπει . Συνεπώς, οι συντρέχουν, και όμοια και η περνά από το , που δίνει το ζητούμενο

Ισχυρισμός 3: Οι ευθείες και συντρέχουν.
Απόδειξη: Δουλεύουμε όπως στην απόδειξη του Ισχυρισμού 2

Στο πρόβλημά μας, αν αντίστοιχα τα σημεία τομής των δύο ομάδων των 4 ευθειών αντίστοιχα, είναι



άρα τα σημεία είναι ομοκυκλικά, και μάλιστα αφού το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. Όμοια, και το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Συνεπώς,





επομένως τα σημεία είναι ομοκυκλικά. Με όμοια διαδικασία προκύπτει ότι και τα σημεία είναι ομοκυκλικά, και άρα συνολικά τα πέντε σημεία είναι ομοκυκλικά, από όπου έπεται το ζητούμενο.