Ολυμπιάδα Κρατικού Πανεπιστημίου Α.Πετρούπολης 2020

Al.Koutsouridis · #1

Μαθητική Ολυμπιάδα Μαθηματικών του Κρατικού Πανεπιστημίου Αγίας Πετρούπολης.
Θέματα 10 και 11ης τάξης, 2020.

1. Ποιο είναι το μεγαλύτερο πλήθος φυσικών αριθμών από το

έως το

που μπορούμε να βάψουμε με κυανό χρώμα έτσι, ώστε για οποιοδήποτε κυανό

ο αριθμός

να μην είναι κυανός;

2. Δίνονται οι αριθμοί $\displaystyle{x,y,z \in [0, \dfrac{\pi}{2}]}$ . Να βρείτε την μέγιστη τιμή της παράστασης

$A= \sqrt[3]{\sin x \cos y} +\sqrt[3]{\sin y \cos z} + \sqrt[3]{\sin z \cos x}$ .

3. Στη διαγώνιο

παραλληλογράμμου ABCD

δίνεται σημείο

, που δεν ανήκει στην διαγώνιο

. Στην ημιευθεία

δίνεται σημείο

, ώστε

. Από το σημείο

φέρουμε παράλληλη ευθεία προς την πλευρά

, η οποία τέμνει την πλευρά

στο σημείο

. Επίσης από το σημείο

φέρουμε ευθεία, παράλληλη προς την πλευρά

, η οποία τέμνει την ευθεία

στο σημείο

. Να βρείτε την γωνία PRS

.

4. Στο οκταδικό σύστημα δίνεται ο αριθμός $x=344344\ldots 344$ , όπου το τριψήφιο κομμάτι 334

επαναλαμβάνεται

φορές. Ο οκταδικός αριθμός

προκύπτει από τον

με κάποια μετάθεση των ψηφίων του. Προέκυψε, η οκταδική αναπαράσταση του αριθμού

να είναι ίση με $2020\ldots 20$ . Για ποια

αυτό είναι δυνατόν;

5. Στο σχολείο υπάρχουν 2019

μαθητές. Μια όμορφη μέρα μερικοί από αυτούς χαιρετήθηκαν μεταξύ τους με χειραψία, εξάλλου σε οποιαδήποτε τριάδα μαθητών τουλάχιστον δυο δεν χαιρετήθηκαν. Για ποιο μέγιστο

μπορεί να προκύψει, ότι για οποιοδήποτε

, που δεν υπερβαίνει το

, θα βρεθεί μαθητής, που έχει χαιρετηθεί ακριβώς με

μαθητές;

6. Δυο κανονικές τριγωνικές πυραμίδες έχουν κοινή παράπλευρη έδρα και δεν έχουν άλλα κοινά σημεία. Στις πυραμίδες είναι εγγεγραμμένες σφαίρες ακτίνα

. Μια τρίτη σφαίρα ακτίνας

εφάπτεται εξωτερικά και των δυο πυραμίδων καθώς και των εγγεγραμμένων σφαιρών τους. Να βρείτε την επίπεδη γωνία στην κορυφή των πυραμίδων, αν R:r=2:1

.

Πηγή

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 20, 2020 9:50 am

3. Στη διαγώνιο παραλληλογράμμου δίνεται σημείο , που δεν ανήκει στην διαγώνιο . Στην ημιευθεία δίνεται σημείο , ώστε . Από το σημείο φέρουμε παράλληλη ευθεία προς την πλευρά , η οποία τέμνει την πλευρά στο σημείο . Επίσης από το σημείο φέρουμε ευθεία, παράλληλη προς την πλευρά , η οποία τέμνει την ευθεία στο σημείο . Να βρείτε την γωνία .

: 326.PNG (22.91 KiB) Προβλήθηκε 1317 φορές

Έστω $\rm O,M$ τα μέσα των τμημάτων $\rm BD,CQ$ αντίστοιχα.Επειδή $\rm O\in AC$ θα είναι $\rm BD\parallel CQ$ .Έτσι τα τρίγωνα $\rm BDC,SCQ$ είναι όμοια $\rm \Rightarrow \angle CSM=\angle DCO\Leftrightarrow SR\parallel AC$ .Όμως από το $\rm ACQ$ παίρνουμε επίσης ότι $\rm PM\parallel AC$ οπότε $\rm P,R,S$ συνευθειακά, $\rm \angle PRS=180^{\circ}$ .

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 20, 2020 9:50 am
Μαθητική Ολυμπιάδα Μαθηματικών του Κρατικού Πανεπιστημίου Αγίας Πετρούπολης.
Θέματα 10 και 11ης τάξης, 2020.

1. Ποιο είναι το μεγαλύτερο πλήθος φυσικών αριθμών από το έως το που μπορούμε να βάψουμε με κυανό χρώμα έτσι, ώστε για οποιοδήποτε κυανό ο αριθμός να μην είναι κυανός;

Έστω $\rm S={a_1,a_2,...,a_n}$ το σύνολο των αριθμών που χρωματίστηκαν.
Ορίζω $\rm A_1=S\cap [102,2020],A_2=S\cap [6,101],A_3=S\cap [1,5]$ .
Η επιλογή των αριθμών έγινε έτσι ώστε $\rm a_i\in A_j\Rightarrow 20a_i\in A_{j-1}$ .
Οπότε αν $\rm \left | X \right |$ το πλήθος των στοιχείων του $\rm X$ είναι
$\rm \left | S \right |=\left | A_1 \right |+\left | A_2 \right |+\left | A_3 \right |\leq 1919-\left | A_2 \right |+\left | A_2 \right |+5=\boxed {1924}$ .
Η τιμή 1924

μπορεί να επιτευχθεί ως εξής:
$\rm A_3=\left \{ 1,2,3,4,5 \right \},A_2=\left \{ 6,7,..,101 \right \}-\left \{ 20,40,60,80, \right \},A_1=\left \{ 102,103..,2020 \right \}-\left \{ 20a / a\in A_2 \right \}$

miltosk · #4

Για το 2ο:
Από ανισότητα δυνάμεων:
$(\frac{A}{3})^3\leq \frac{sinxcosy+sinycosz+sinzcosx}{3}=B$
Όμως $2sinxcosy\leq sin^2x+cos^2y$
Επομένως: $3B\leq \frac{3}{2}\Rightarrow B\leq \frac{1}{2}$
Τελικά: $A\leq 3\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ , με την ισότητα να πιάνεται όταν όλοι είναι $\frac{\pi}{4}$ .

Ολυμπιάδα Κρατικού Πανεπιστημίου Α.Πετρούπολης 2020

Ολυμπιάδα Κρατικού Πανεπιστημίου Α.Πετρούπολης 2020

Re: Ολυμπιάδα Κρατικού Πανεπιστημίου Α.Πετρούπολης 2020

Re: Ολυμπιάδα Κρατικού Πανεπιστημίου Α.Πετρούπολης 2020

Re: Ολυμπιάδα Κρατικού Πανεπιστημίου Α.Πετρούπολης 2020

Μέλη σε σύνδεση