Τεστ Εξάσκησης (1), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Σε ένα μαθηματικό διαγωνισμό δόθηκαν για λύση 9 εύκολα και 6 δύσκολα προβλήματα. Καθένας από τους συμμετέχοντες μαθητές έλυσε ακριβώς 14 από τα 15 προβλήματα. Για κάθε ζεύγος προβλημάτων, που αποτελείται από ένα εύκολο και ένα δύσκολο πρόβλημα, καταγράψαμε τον αριθμό των μαθητών που έλυσαν και τα δύο προβλήματα του ζεύγους. Το άθροισμα των αριθμών που καταγράψαμε είναι 459.
Πόσοι μαθητές συμμετείχαν στον διαγωνισμό;

ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο ABCD.

Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου ABC

τέμνει τις πλευρές

και

στα σημεία

και

αντίστοιχα, ενώ ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου CDA

τέμνει τις πλευρές

και

στα

και

αντίστοιχα. Οι ευθείες

και

τέμνουν την ευθεία

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία M, N, P

και

είναι ομοκυκλικά.

ΘΕΜΑ 3
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους

οι οποίοι έχουν ένα διαιρέτη

τέτοιον ώστε ο αριθμός dn+1

να διαιρεί τον αριθμό d^2 + n^2.

ΘΕΜΑ 4
Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή της σταθεράς

για την οποία για κάθε $x, y \in \mathbb{R}$ με $x \ne y$ και xy = 2

ισχύει

$\displaystyle{ \frac{((x + y)^2 − 6)((x − y)^2 + 8)}{(x − y)^2}\geq C.}$

Για την τιμή της

που θα βρείτε, να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη (x, y)

για τα οποία ισχύει η ισότητα.

Κω.Κωνσταντινίδης · #2

Καλησπέρα!
Έστω n=da

(με d,a θετικοί ακέραιοι). Τότε $d^{2}a+1/d^{2}a^{2}+d^{2}=d^{2}(1+a^{2})$ . Εύκολα δείχνουμε ότι $(d^{2}a+1,d^{2})=1$ (θα επανέλθω με απόδειξη). Συνεπώς $d^{2}a+1/1+a^{2}$ άρα $a^{2}-kd^{2}a-k+1=0(1)$ (βάζω $a^{2}+1=kd^{2}a+k$ και κάνω πράξεις(k προφανώς θετικός ακέραιος).
Θεωρούμε την (1) ως δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς το α. Είναι τότε $\Delta =k^{2}d^{4}+4k-4$ . Εφόσον $\Delta \geq k^{2}d^{4}$
(με ισότητα αν k=1) τότε αν $d\geq 2$ και k > 1

είναι $(kd^{2}+1)^{2}> \Delta > (kd^{2})^{2}$ , άτοπο.

Για d=1 θα πρέπει $1+n/n^{2}+1$ άρα n=1 (θα επανέλθω για εκτενεέστερη αιτιολόγηση αυτής της περίπτωσης)
Για k=1 θα πρέπει $d^{2}a+1=a^{2}+1\Leftrightarrow a=d^{2}$ άρα $n=d^{3}$

Συνεπώς ο n είναι τέλειος κύβος (η 1η περίπτωση εμπεριέχεται στο συμπέρασμα).

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 1:02 am
ΘΕΜΑ 1
Σε ένα μαθηματικό διαγωνισμό δόθηκαν για λύση 9 εύκολα και 6 δύσκολα προβλήματα. Καθένας από τους συμμετέχοντες μαθητές έλυσε ακριβώς 14 από τα 15 προβλήματα. Για κάθε ζεύγος προβλημάτων, που αποτελείται από ένα εύκολο και ένα δύσκολο πρόβλημα, καταγράψαμε τον αριθμό των μαθητών που έλυσαν και τα δύο προβλήματα του ζεύγους. Το άθροισμα των αριθμών που καταγράψαμε είναι 459.
Πόσοι μαθητές συμμετείχαν στον διαγωνισμό;

Έστω

τα εύκολα και (b_1,b_2....b_6)

τα δύσκολα προβλήματα.Ο κάθε συμμετέχοντας έλυσε ή όλα τα

και δεν έλυσε ένα b_i

ή το ανάποδο.Στην πρώτη περίπτωση δεν έλυσε

ζεύγη προβλημάτων ενώ στην δεύτερη

.Έστω

οι μαθητές και

το πλήθος όσων έλυσαν όλα τα

ενώ

αυτών που έλυσαν όλα τα

.Θα είναι

.Συνολικά υπάρχουν $6\cdot 9=54$ ζεύγη προβλημάτων για τον κάθε συμμετέχοντα άρα 54n

ζεύγη για όλους.Οι μαθητές που μετριούνται στο

συνολικά δεν έλυσαν

προβλήματα ενώ στο

δεν έλυσαν

.Σύμφωνα με την εκφώνηση θα είναι $459=54n-(6p+9q)\overset{n=p+q}{\Leftrightarrow }16p+15q=153$ και άρα 153-16p=15q

.
Με δοκιμές η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική λύση την p=3,q=7

(εννοείται ότι για να γλιτώσουμε κόπο περιορίζουμε το

με διάφορα $\mod$ )

Άρα n=p+q=10

μαθητές

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 1:02 am

ΘΕΜΑ 4
Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή της σταθεράς για την οποία για κάθε $x, y \in \mathbb{R}$ με $x \ne y$ και ισχύει

$\displaystyle{ \frac{((x + y)^2 − 6)((x − y)^2 + 8)}{(x − y)^2}\geq C.}$

Για την τιμή της που θα βρείτε, να προσδιορίσετε όλα τα ζεύγη για τα οποία ισχύει η ισότητα.

Είναι $(x+y)^{2}=(x-y)^{2}+4xy=(x-y)^{2}+8$
Θέτοντας
$t=(x-y)^{2}$
η παράσταση γίνεται
$\dfrac{(t+2)(t+8)}{t}=t+10+\frac{16}{t}$
αλλά
$t+\frac{16}{t}\geq 2\sqrt{16}=8$
με ισότητα για
t=4

Αρα

Για να βρούμε τις τιμές των x,y

πρέπει να λύσουμε τα συστήματα
$x-y=2,xy=2\wedge x-y=-2,xy=2$
Το πρώτο δίνει
$x=\sqrt{3}+1,y=\sqrt{3}-1$
ενώ το δεύτερο
$x=\sqrt{3}-1,y=\sqrt{3}+1$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 1:02 am

ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει τις πλευρές και στα σημεία και αντίστοιχα, ενώ ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει τις πλευρές και στα και αντίστοιχα. Οι ευθείες και τέμνουν την ευθεία στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι ομοκυκλικά.

: 237.PNG (55.37 KiB) Προβλήθηκε 1866 φορές

Είναι $\angle CPN=\angle CPB=\angle CAB=180^{\circ}-\angle RAC=180^{\circ}-\angle RSV=\angle BSR$ άρα PNSC

εγγράψιμο και έτσι $BN\cdot BP=BS\cdot BC$ .
Επίσης $\angle MQA=\angle BCA=\angle SCA=\angle SRA$ άρα QARM

εγγράψιμο και έτσι $BQ\cdot BM=BA\cdot BR=BS\cdot BC=BN\cdot BP$ δηλαδή MQNP

εγγράψιμο.

#6

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 5:38 pm

socrates έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 25, 2020 1:02 am

ΘΕΜΑ 2
Θεωρούμε κυρτό τετράπλευρο Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει τις πλευρές και στα σημεία και αντίστοιχα, ενώ ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου τέμνει τις πλευρές και στα και αντίστοιχα. Οι ευθείες και τέμνουν την ευθεία στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι ομοκυκλικά.

237.PNG
Είναι $\angle CPN=\angle CPB=\angle CAB=180^{\circ}-\angle RAC=180^{\circ}-\angle RSV=\angle BSR$ άρα εγγράψιμο και έτσι $BN\cdot BP=BS\cdot BC$ .
Επίσης $\angle MQA=\angle BCA=\angle SCA=\angle SRA$ άρα εγγράψιμο και έτσι $BQ\cdot BM=BA\cdot BR=BS\cdot BC=BN\cdot BP$ δηλαδή εγγράψιμο.

Ωραία! Μπορούμε να το αποδείξουμε και μόνο με angle-chasing

Fotis34 · #7

Θέμα 2:
Αφού d|n, έπεται ότι n=d•a, για κάποιον θετικό ακέραιο a. Αντικαθιστώ στην
dn+1|d²+n², και έχω , d²a+1|d²+d²a² βγάζοντας κοινό παράγοντα :
d²a+1|d²(1+a²), γράφουμε τώρα ότι : d²(1+a²) = v•(d²a+1), για κάποιον θετικό ακέραιο v. Διαιρούμε καί της δύο μεριές με
v, τότε έχουμε: d²(1+a²)/v = d²a+1 , και διαιρώντας τώρα και της δύο μεριές με d² έχουμε:
d²(1+a²)/v/d² = a + 1/d², (εφαρμόζουμε την ιδιότητα για a/b/c ) τώρα κάνοντας πράξεις:
(1+a²)/v = a + 1/d², πρέπει ο 1/d², να είναι θετικός ακέραιος, η μόνη τιμή που το επαληθεύει είναι για d=1. Το αντικαθιστώ παντού:
1/v + a²/v = a + 1, τώρα πρέπει επίσης ο 1/v να είναι θετικός ακέραιος και αυτό έπεται μόνο για v=1. Το αντικαθιστώ παντού:
1+a²=a+1, ισοδύναμα:
a²=a , ισοδύναμα:
a²-a=0, ισοδύναμα:
a(a-1)=0, έχουμε δύο περιπτώσεις
1. a=0, άτοπο αφού πρέπει a θετικός .
2. a-1=0, a=1 δεκτό.
Για να βρούμε την τιμή του n πρέπει να δούμε ποια σχέση είχαμε αντικαταστήσει πού ήταν:
n=d•a, αντικαθιστώ για a=1 και d=1. Επομένως n=1, η μοναδική τιμή.

#8

Fotis34 έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 02, 2025 10:49 pm
Θέμα 2:
Αφού d|n, έπεται ότι n=d•a, για κάποιον θετικό ακέραιο a. Αντικαθιστώ στην
dn+1|d²+n², και έχω , d²a+1|d²+d²a² βγάζοντας κοινό παράγοντα :
...

Φώτη, γράψε σε παρακαλώ το ποστ σου σε latex, όπως πολύ σωστά ορίζουν οι κανονισμοί μας.

Όπως είναι τώρα, πολύ πιθανόν να το σβήσουν οι Γενικοί Συντονιστές. Άσε που πολύ δύσκολα θα αφιερώσει κάποιος χρόνο να το διαβάσει, και είναι κρίμα που ωραία Μαθηματικά να πηγαίνουν απαρατήρητα.

Fotis34 · #9

Απόρριψη δημοσίευσης.

#10

Fotis34 έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 03, 2025 3:25 pm

$\displaystyle \frac{d^2(1+a^2)}{v\, d^2} = \frac{d^2 a + 1}{d^2}.$
...
Το RHS γράφεται:
$\displaystyle \frac{d^2 a + 1}{d^2} = a + \frac{1}{d^2}.$
Επομένως, για να είναι ακέραιος ο αριθμός $\frac{1}{d^2}$ , πρέπει .

.
Φώτη, για ξαναδές το αυτό γιατί δεν προκύπτει ότι το δεξί μέλος είναι ακέραιος και αυτό διότι είναι φανερό ότι το ίσο του αριστερό μέλος δεν είναι κατ΄ ανάγκη ακέραιος. Το αποτέλεσμα είναι να βγάζεις λύση μόνο το n=1

αλλά υπάρχουν και άλλες.

Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Για n=8, d=2

έχουμε

και επίσης ισχύει η υπόθεση διότι εδώ

dn+1=17|68=d^2+n^2

.

Δηλαδή και το n=2

είναι λύση. Υπάρχουν και άλλες,

Τεστ Εξάσκησης (1), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (1), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (1), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (1), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (1), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (1), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (1), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (1), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (1), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (1), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (1), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση