JBMO Τέστ Εξάσκησης #3
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
JBMO Τέστ Εξάσκησης #3
Καλησπέρα σας!
Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ και το 2ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 3ου τεστ.
Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα.
**********************************************
JBMO Practice TEST 3
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4,5 ΩΡΕΣ
ΘΕΜΑ 1. Τα ύψη , , ενός οξυγώνιου τριγώνου τέμνονται στο . Έστω το συμμετρικό του σημείου ως προς την πλευρά , και έστω το περίκεντρο του τριγώνου .
(α) Να δειχθεί ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
(β) Να δειχθεί ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
ΘΕΜΑ 2. Δέκα αριθμοί επιλέγονται από τους Να δειχθεί ότι μπορούμε να επιλέξουμε τέσσερις διακεκριμμένους αριθμούς από αυτούς τους δέκα, έτσι ώστε το άθροισμα δύο εξ αυτών να ισούται με το άθροισμα των άλλων δύο.
ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι αν οι είναι θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε , τότε
ΘΕΜΑ 4. Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους τέτοιους ώστε καθένας από αυτούς να διαιρεί το άθροισμα των υπόλοιπων τριών.
**********************************************
Φιλικά,
Αχιλλέας
Σε συνέχεια των προηγούμενων θεμάτων με το 1ο τεστ και το 2ο τεστ, ακολουθούν τα προβλήματα του 3ου τεστ.
Θα χαρούμε να δούμε κι άλλες διαφορετικές λύσεις στα παρακάτω θέματα.
**********************************************
JBMO Practice TEST 3
ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 4,5 ΩΡΕΣ
ΘΕΜΑ 1. Τα ύψη , , ενός οξυγώνιου τριγώνου τέμνονται στο . Έστω το συμμετρικό του σημείου ως προς την πλευρά , και έστω το περίκεντρο του τριγώνου .
(α) Να δειχθεί ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
(β) Να δειχθεί ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
ΘΕΜΑ 2. Δέκα αριθμοί επιλέγονται από τους Να δειχθεί ότι μπορούμε να επιλέξουμε τέσσερις διακεκριμμένους αριθμούς από αυτούς τους δέκα, έτσι ώστε το άθροισμα δύο εξ αυτών να ισούται με το άθροισμα των άλλων δύο.
ΘΕΜΑ 3. Να δειχθεί ότι αν οι είναι θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε , τότε
ΘΕΜΑ 4. Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους τέτοιους ώστε καθένας από αυτούς να διαιρεί το άθροισμα των υπόλοιπων τριών.
**********************************************
Φιλικά,
Αχιλλέας
Λέξεις Κλειδιά:
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #3
Από το θεώρημα είναι και είναι
άρα συνευθειακά .
άρα
άρα εγγράψιμο.
Από το εγγράψιμο είναι
εγγράψιμο άρα
άρα εγγράψιμο
- Συνημμένα
-
- 63.PNG (53.72 KiB) Προβλήθηκε 2032 φορές
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #3
Είναι
έτσι η δοθείσα παίρνει την μορφή
Θέτω
Πολλαπλασιάζοντας αυτή που προκύπτει με παίρνουμε
που ισχύει αφού από
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #3
(δεν είμαι και πολύ σίγουρος για την λύση)
Έστω , δέκα φυσικοί από το για τους οποίους δεν ισχύει το ζητούμενο.
Τότε για κάθε αναγκαστικά δεν θα υπάρχει ο αφού εαν υπήρχε θα είχαμε
.
Έτσι για τους δέκα αριθμούς αναγκαστικά μεταξύ τους δεν θα υπάρχουν αριθμοί άτοπο γιατί έτσι έχουμε τουλάχιστον αριθμούς .
Η λύση έχει λάθος
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Πέμ Ιουν 27, 2019 12:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #3
Μία διαφορετική λύση.
Έστω, δέκα αριθμοί για τους οποίους δεν ισχύει το ζητούμενο. Προφανώς, το ζητούμενο είναι ισοδύναμο με το ότι υπάρχουν αριθμοί (διακεκριμένοι) ώστε η (θετική) διαφορά δύο εξ αυτών είναι ίση με την (θετική) διαφορά των άλλων δύο.
Έστω επίσης, για .
Υπάρχουν διαφορετικές δυνατές διαφορές δύο αριθμών από το , και στο σύνολο των υπάρχουν οπότε υπάρχουν δύο ίσες διαφορές.
Όμως, δεν είναι απαραίτητο αυτές οι διαφορές να ''αποτελούνται'' από αριθμούς. Μπορεί να είναι της μορφής .
Αν οι διαφορές αυτές είναι της πρώτης μορφής, τελειώσαμε. Αλλιώς, πρέπει δύο εκ των να είναι ίσα, WLOG τα .
Αφαιρούμε τα δύο ζεύγη αριθμών (διαφορών) που συμμετείχαν, και συνεχίζουμε με διαφορές και δυνατές διαφορές.
Συνεχίζοντας, παίρνοντας κάθε φορά την περίπτωση των διαφορών της μορφής , καταλήγουμε στο ότι , υπάρχουν διαφορές και δυνατές διαφορές.
Το αν είναι ίσο με το , εύκολα έχουμε άτοπο.
Αν είναι ίσο με οποιαδήποτε άλλη διαφορά, πάλι έχουμε άτοπο (προφανώς, διαφορά της μορφής δεν υφίσταται).
Σε κάθε περίπτωση έχω το ζητούμενο.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #3
Καταρχήν, θα εφαρμόσω μία τεχνική που δίνει ότι αρκεί να δείξω την ανισότητα όταν .
Έστω, με και και αρκεί να δείξω ότι και αφού , αρκεί να δείξω ότι :
με .
Άρα, μπορώ να υποθέσω πως .
Τότε, θα δείξω το ακόλουθο που δίνει άμεσα το ζητούμενο :
και τα κυκλικά. Το ότι αυτές οι ανισότητες δίνουν το ζητούμενο είναι προφανές προσθέτοντας κυκλικά.
Θα δείξω τώρα την παραπάνω και τελείωσα. Ομογενοποιώντας, αρκεί ή αλλιώς που ισχύει από ΑΜ-ΓΜ καθώς :
i) και
ii) .
Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #3
Πολύ ωραία τα test σου Αχιλλέα! Ήταν τυχερός ο Θάνος που είχε τη βοήθειά σου! Ως Πρόεδρος της Problem Solving Committee προτίμησα να μην ασχοληθώ με τα test σου πριν το διαγωνισμό μήπως και κάποια λύση που θα έβαζα εμπεριείχε ιδέες παρόμοιες με λύσεις θεμάτων που προτάθηκαν. Τώρα όμως μπορώ ελεύθερα να το κάνω.
Έστω . Τότε τα διαιρούν το . Έστω . Τότε θετικοί ακέραιοι με .
Πρέπει . Επίσης πρέπει αφού αλλιώς .
Άρα . Τότε οπότε πρέπει .
Αν τότε . Πρέπει και . Παίρνουμε τις λύσεις .
Αν τότε . Πρέπει και . Παίρνουμε τις λύσεις .
Αν τότε . Πρέπει , άρα , το οποίο όμως δεν δίνει ακέραια λύση.
Τα πιο πάνω δίνουν τις εξής λύσεις:
όπου .
όπου .
όπου .
όπου .
όπου .
όπου .
όπου .
Έστω . Τότε τα διαιρούν το . Έστω . Τότε θετικοί ακέραιοι με .
Πρέπει . Επίσης πρέπει αφού αλλιώς .
Άρα . Τότε οπότε πρέπει .
Αν τότε . Πρέπει και . Παίρνουμε τις λύσεις .
Αν τότε . Πρέπει και . Παίρνουμε τις λύσεις .
Αν τότε . Πρέπει , άρα , το οποίο όμως δεν δίνει ακέραια λύση.
Τα πιο πάνω δίνουν τις εξής λύσεις:
όπου .
όπου .
όπου .
όπου .
όπου .
όπου .
όπου .
Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #3
Ευχαριστώ για τις λύσεις και τα καλά σου λόγια, Δημήτρη!Demetres έγραψε: ↑Τρί Ιουν 25, 2019 8:39 pmΠολύ ωραία τα test σου Αχιλλέα! Ήταν τυχερός ο Θάνος που είχε τη βοήθειά σου! Ως Πρόεδρος της Problem Solving Committee προτίμησα να μην ασχοληθώ με τα test σου πριν το διαγωνισμό μήπως και κάποια λύση που θα έβαζα εμπεριείχε ιδέες παρόμοιες με λύσεις θεμάτων που προτάθηκαν. Τώρα όμως μπορώ ελεύθερα να το κάνω.
...
Να αδράξω την ευκαιρία για να σε συγχαρώ κι εδώ για την άψογη δουλειά σου ως Πρόεδρος της Problem Solving Committee και για την όλη διοργάνωση της JBMO.
Γνωρίζοντας κάποια άτομα που συμμετείχατε σε αυτή (εσένα, το Σωτήρη, κ.α.), ήμουν σίγουρος πως θα διοργανώνατε άριστα την 23η JBMO.
Φιλικά,
Αχιλλέας
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #3
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Ιουν 16, 2019 10:53 pm(δεν είμαι και πολύ σίγουρος για την λύση)
Έστω , δέκα φυσικοί από το για τους οποίους δεν ισχύει το ζητούμενο.
Τότε για κάθε αναγκαστικά δεν θα υπάρχει ο αφού εαν υπήρχε θα είχαμε
.
Έτσι για τους δέκα αριθμούς αναγκαστικά μεταξύ τους δεν θα υπάρχουν αριθμοί άτοπο γιατί έτσι έχουμε τουλάχιστον αριθμούς .
Πρόδρομε, στην τελευταία γραμμή υπάρχει λάθος διότι οι αριθμοί δεν είναι απαραίτητα διαφορετικοί. Θα μπορούσε π.χ. ο να είναι ίσος με τον .
Στο παράδειγμα που έδωσα το λάθος διορθώνεται αφού τότε θα είχαμε . Αν όμως είχαμε τότε αυτό δεν διορθώνεται και χρειάζεται κάποια παρόμοια ιδέα με του Ορέστη.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: JBMO Τέστ Εξάσκησης #3
Καλημέρα σας κύριε ΔημήτρηDemetres έγραψε: ↑Πέμ Ιουν 27, 2019 11:33 amΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Ιουν 16, 2019 10:53 pm(δεν είμαι και πολύ σίγουρος για την λύση)
Έστω , δέκα φυσικοί από το για τους οποίους δεν ισχύει το ζητούμενο.
Τότε για κάθε αναγκαστικά δεν θα υπάρχει ο αφού εαν υπήρχε θα είχαμε
.
Έτσι για τους δέκα αριθμούς αναγκαστικά μεταξύ τους δεν θα υπάρχουν αριθμοί άτοπο γιατί έτσι έχουμε τουλάχιστον αριθμούς .
Πρόδρομε, στην τελευταία γραμμή υπάρχει λάθος διότι οι αριθμοί δεν είναι απαραίτητα διαφορετικοί. Θα μπορούσε π.χ. ο να είναι ίσος με τον .
Στο παράδειγμα που έδωσα το λάθος διορθώνεται αφού τότε θα είχαμε . Αν όμως είχαμε τότε αυτό δεν διορθώνεται και χρειάζεται κάποια παρόμοια ιδέα με του Ορέστη.
Για αυτό ακριβώς το σημείο δεν ήμουν σίγουρος..πράγματι έχω λάθος.
Σχετικά με την λύση του Ορέστη δεν καταλαβαίνω το κοκκινισμένο στην πρόταση :Υπάρχουν διαφορετικές δυνατές διαφορές δύο αριθμών από το , και στο σύνολο των υπάρχουν οπότε υπάρχουν δύο ίσες διαφορές.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες