Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2018/19 (ΦΙ τάξη 6)

[Al.Koutsouridis]

[b]Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2018/19. Θέματα της πρώτης φάσης για την 6η τάξη.[/b]


[b]1.[/b] Πίνακας διαστάσεων είναι συμπληρωμένος με τους αριθμούς έως : στην πρώτη γραμμή από αριστερά προς τα δεξιά είναι γραμμένοι οι αριθμοί από το ως το κατά αύξουσα σειρά. Στην δεύτερη γραμμή ομοίως, είναι γραμμένοι οι αριθμοί από το ως το και ούτω κάθε εξής. Στην τελευταία γραμμή από αριστερά προς τα δεξιά είναι γραμμένοι οι αριθμοί από το ως το 100. Μπορεί άραγε σε αυτό το πίνακα να βρεθεί κομμάτι των κελιών της μορφής,
[attachment=0]spmo_2018_19_round1_class6_pr1.png[/attachment]
το άθροισμα των αριθμών στο οποίο να είναι ίσο με ; (το κομμάτι μπορεί να περιστραφεί.)


[b]2.[/b] Του Κωνσταντίνου όταν ήταν μικρός του έμαθαν λανθασμένα, να προσθέτει φυσικούς αριθμούς. Πιστεύει, ότι μετά την συνήθη σε όλους μας πρόσθεση πρέπει να τοποθετήσει τα ψηφία του αθροίσματος κατά φθίνουσα σειρά. Θα συμβολίσουμε την πράξη της πρόσθεσης κατά τον Κωνσταντίνο με το σύμβολο (για παράδειγμα, .) Υπάρχουν άραγε μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί και , για τους οποίους ;


[b]3.[/b] Γύρο από μεγάλο κυκλικό τραπέζι κάθονται άτομα. Ο καθένας από αυτούς είναι είτε ντόμπρος, είτε ψεύτης, είτε ανάποδος. Οι ντόμπροι λένε πάντα την αλήθεια, οι ψεύτες λένε πάντα ψέματα. Οι ανάποδοι λένε την αλήθεια, αν αριστερά τους κάθεται ψεύτης , ψέματα, αν αριστερά τους κάθεται ντόμπρος και οτιδήποτε, αν αριστερά τους κάθεται ανάποδος. Ο καθένας τους είπε «Αριστερά μου κάθεται ψεύτης». Πόσοι είναι οι ψεύτες; Απαριθμήστε όλες τις δυνατές απαντήσεις και αποδείξτε, ότι δεν υπάρχουν άλλες.


[b]4.[/b] Η δασκάλα θεωρεί μερικούς μαθητές της έκτης τάξης αριστούχους (του Α) και τους υπόλοιπους σχεδόν καλούς (του Δ). Κατά την διάρκεια του τριμήνου στην τάξη διεξήχθησαν έξι διαγωνίσματα στα μαθηματικά (σε αυτά μπήκαν βαθμοί από Α έως Δ). Σε κάθε διαγώνισμα συμμετείχαν όλοι οι μαθητές της τάξης και σε κάθε διαγώνισμα καθόντουσαν δυο μαθητές σε κάθε θρανίο (πιθανόν σε διαφορετικά διαγωνίσματα με διαφορετικό τρόπο). Μαθητής του Δ κατά ένα μαγικό τρόπο έπαιρνε βαθμό Γ, αν καθόταν δίπλα σε ένα αριστούχο και Δ, αν καθόταν διπλά σε ένα άλλο μαθητή του Δ. Συνολικά σε αυτά τα διαγωνίσματα τα Α ήταν φορές περισσότερα από τα Β και τα Γ, φορές λιγότερα από τα Δ. Αποδείξτε, ότι θα βρεθεί αριστούχος, ο οποίος πήρε τουλάχιστον ένα βαθμό το πολύ Γ.



[size=85][url=http://www.pdmi.ras.ru/~olymp/]Πηγή[/url][/size]

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

1.

Στο σχήμα που δίνεται οι τιμές των κελιών έχουν την παρακάτω μορφή

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

2.

Αφού πρέπει ο να έχει ψηφία σε φθίνουσα σειρά.
Επιπλέον πρέπει οι και να έχουν το ίδιο πλήθος ψηφίων(και τα ίδια ψηφία) .
Όμως ο είναι ο μέγιστος που μπορεί να γραφεί με τα δεδομένα ψηφία και ο δεν μπορεί να έχει τα ίδια ψηφία με .
Άρα δεν υπαρχουν.

[Ορέστης Λιγνός]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2018/19. Θέματα της πρώτης φάσης για την 6η τάξη.




3. Γύρο από μεγάλο κυκλικό τραπέζι κάθονται άτομα. Ο καθένας από αυτούς είναι είτε ντόμπρος, είτε ψεύτης, είτε ανάποδος. Οι ντόμπροι λένε πάντα την αλήθεια, οι ψεύτες λένε πάντα ψέματα. Οι ανάποδοι λένε την αλήθεια, αν αριστερά τους κάθεται ψεύτης , ψέματα, αν αριστερά τους κάθεται ντόμπρος και οτιδήποτε, αν αριστερά τους κάθεται ανάποδος. Ο καθένας τους είπε «Αριστερά μου κάθεται ψεύτης». Πόσοι είναι οι ψεύτες; Απαριθμήστε όλες τις δυνατές απαντήσεις και αποδείξτε, ότι δεν υπάρχουν άλλες.

Έστω οι ψεύτες, οι ντόμπροι και οι ανάποδοι. Έστω ακόμη, ότι από τους ανάποδους έχουν αριστερό ψεύτη, από τους ανάποδους έχουν αριστερό ντόμπρο, και τέλος ανάποδοι έχουν αριστερό ανάποδο.

Προφανώς, έχουμε και , με .

Ο κάθε ένας από τους ντόμπρους, είπε την αλήθεια λέγοντας ότι έχει αριστερό ψεύτη , οπότε έχουμε τουλάχιστον ψεύτες, και επίσης κάθε ένας από τους ανάποδους με αριστερό ψεύτη είπε την αλήθεια, άρα έχουμε άλλους ψεύτες.

Άρα, και όμοια , οπότε, .

Οπότε, .

Ακόμη, αφού , προκύπτει ότι όλοι οι ανάποδοι έχουν επίσης αριστερό ανάποδο.

Έστω, τα άτομα.

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις :

Περίπτωση 1 .

Θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ώστε ο είναι ανάποδος. Τότε, και οι αριστερός του, ο θα είναι ανάποδος, το ίδιο και ο και άρα προκύπτει ότι όλοι είναι ανάποδοι.

Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι η περίπτωση όπου και οι εκατό είναι ανάποδοι, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του προβλήματος, οπότε μία τιμή του (αριθμός ψευτών) είναι .

Περίπτωση 2 .

Τότε, ισχύει .

Μένει να δείξουμε μία κατασκευή που δείχνει ότι γίνεται .Πράγματι, τοποθετούμε εναλλάξ τους ντόμπρους και τους ψεύτες στο τραπέζι (δηλαδή ντόμπρος-ψεύτης-ντόμπρος-ψεύτης κτλ).
Τότε, πράγματι κάθε ντόμπρος έχει διπλανό ψεύτη και λέει την αλήθεια, και κάθε ψεύτης έχει διπλανό ντόμπρο και λέει ψέματα.

Τελικά, ο αριθμός των ψευτών είναι ή .