Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (8ή τάξη)

Al.Koutsouridis · #1

LXXXI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 8η τάξη.

Πρόβλημα 1. Υπάρχουν άραγε τρεις ανά δυο διαφορετικοί μεταξύ τους θετικοί ακέραιοι a, b,

και

, ώστε οι αριθμοί a+b+c

και $a \cdot b \cdot c$ να είναι τετράγωνα κάποιων φυσικών αριθμών;

Πρόβλημα 2. Στη σειρά είναι γραμμένοι

μη μηδενικοί αριθμοί. Το άθροισμα οποιονδήποτε δυο γειτονικών αριθμών είναι θετικό και το άθροισμα όλων των αριθμών αρνητικό. Ποιο μπορεί να το πρόσημο του γινομένου τους; (Προσδιορίστε όλες τις περιπτώσεις και αποδείξτε, ότι δεν υπάρχουν άλλες.)

Πρόβλημα 3. Στο εσωτερικό παραλληλογράμμου ABCD

δίνεται σημείο

. Το σημείο

είναι το μέσο του

, το σημείο

το μέσο του

. Να αποδείξετε, ότι αν $\angle APB = \angle CPD = 90^{0}$ , τότε AK=DK

.

Πρόβλημα 4. Ο Αντρέι Στεπάνοβιτς κάθε μέρα πίνει τόσες σταγόνες βαλεριάνας, όσες ηλιόλουστες μέρες ήδη υπήρξαν σε αυτό το μήνα (συμπεριλαμβανομένης της τρέχουσας). Ο Ιβάν Πετρόβιτς κάθε συννεφιασμένη μέρα πίνει αριθμό σταγόνων βαλεριάνας, ίσες με τον αριθμό της ημερομηνίας του μήνα και στις ηλιόλουστες μέρες δεν πίνει. Να αποδείξετε, ότι αν τον Απρίλη ακριβώς οι μισές μέρες θα είναι συννεφιασμένες και οι υπόλοιπες μισές ηλιόλουστες, τότε ο Αντρέι Στεπάνοβιτς και ο Ιβάν Πετρόβιτς το μήνα θα πιούν ίση ποσότητα βαλεριάνας.

Πρόβλημα 5. Σε κάποια χώρα η πρόσθεση και η αφαίρεση αναπαρίστανται με τα σύμβολα «!» και «?», αλλά δεν σας είναι γνωστό, ποιο σύμβολο σε ποια πράξη αντιστοιχεί. Κάθε πράξη εφαρμόζεται σε δυο αριθμούς, στην αφαίρεση όμως δεν σας είναι γνωστό, αφαιρείτε ο δεξιός αριθμός από τον αριστερό ή ο αριστερός από τον δεξιό. Για παράδειγμα, ή έκφραση a?b

συμβολίζει ένα από τα ακόλουθα: a-b, b-a

ή

. Δεν σας είναι γνωστό, πως γράφονται οι αριθμοί σε αυτή την χώρα, αλλά μεταβλητές a,b

και παρενθέσεις υπάρχουν και χρησιμοποιούνται ως συνήθως. Εξηγήστε, πως με την βοήθεια αυτών και των συμβόλων «!», «?» θα γραφτεί έκφραση, η οποία εγγυημένα θα ισούται με 20a-18b

.

Πρόβλημα 6. Στις πλευρές κυρτού εξάγωνου ABCDE F

και εξωτερικά αυτού κατασκευάστηκαν ισόπλευρα τρίγωνα $ABC_{1}, BCD_{1}, CDE_{1}, DE F_{1}, EFA_{1}$ και $FAB_{1}$ . Προέκυψε, το τρίγωνο $B_{1}D_{1}F_{1}$ να είναι ισόπλευρο. Να αποδείξετε, ότι και το τρίγωνο $A_{1}C_{1}E_{1}$ θα είναι ισόπλευρο.

Πηγή

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 21, 2018 10:07 pm

Πρόβλημα 1. Υπάρχουν άραγε τρεις ανά δυο διαφορετικοί μεταξύ τους θετικοί ακέραιοι και , ώστε οι αριθμοί και $a \cdot b \cdot c$ να είναι τετράγωνα κάποιων φυσικών αριθμών;

Ναι υπάρχουν.

- Σκέψη. Πάντα ήξερα τα ορθογώνια τρίγωνα με 3^2+4^2=5^2

και

.

- Λύση. Το λοιπόν, πάρε $a=3^2, \, b= 4^2, \, c=12^2$ . Τελειώσαμε.

Al.Koutsouridis · #3

LXXXI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 8η τάξη.

Πρόβλημα 1. Υπάρχουν άραγε τρεις ανά δυο διαφορετικοί μεταξύ τους θετικοί ακέραιοι και , ώστε οι αριθμοί και $a \cdot b \cdot c$ να είναι τετράγωνα κάποιων φυσικών αριθμών;

Άλλη μια σκέψη: γνωρίζουμε την ταυτότητα $(1+2x)^{2} = 1+4x+4x^2$ , διαλέγουμε το

να ισούται με κάποιο τέλειο τετράγωνο, έστω το n^2

. Τότε αν διαλέξουμε a=1, b=4n^2, c=4n^4

οι αριθμοί αυτοί θα ικανοποιούν την υπόθεση του προβλήματος. Αρκεί επιπλέον n >1

για να είναι ανά δυο διαφορετικοί μεταξύ τους.

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 21, 2018 10:07 pm

Πρόβλημα 4. Ο Αντρέι Στεπάνοβιτς κάθε μέρα πίνει τόσες σταγόνες βαλεριάνας, όσες ηλιόλουστες μέρες ήδη υπήρξαν σε αυτό το μήνα (συμπεριλαμβανομένης της τρέχουσας). Ο Ιβάν Πετρόβιτς κάθε συννεφιασμένη μέρα πίνει αριθμό σταγόνων βαλεριάνας, ίσες με τον αριθμό της ημερομηνίας του μήνα και στις ηλιόλουστες μέρες δεν πίνει. Να αποδείξετε, ότι αν τον Απρίλη ακριβώς οι μισές μέρες θα είναι συννεφιασμένες και οι υπόλοιπες μισές ηλιόλουστες, τότε ο Αντρέι Στεπάνοβιτς και ο Ιβάν Πετρόβιτς το μήνα θα πιούν ίση ποσότητα βαλεριάνας.

Ας γράψουμε $a_1,\ldots,a_{15}$ για τις ηλιόλουστες μέρες, και $b_1,\ldots,b_{15}$ για τις βροχερές.

Για κάθε $1 \leqslant k \leqslant 15$ , τις μέρες a_k

και

:

Ο Αντρέι θα πιει συνολικά k + (b_k-k) = b_k

σταγόνες βαλεριάνας αφού την μέρα a_k

θα έχουμε ακριβώς

ηλιόλουστες μέρες και την μέρα b_k

θα έχουμε ακριβώς

συννεφιασμένες και άρα ακριβώς b_k-k

ηλιόλουστες.

Ο Ιβάν επίσης θα πιει 0 + b_k = b_k

σταγόνες.

Συνολικά, όλο το μήνα και οι δύο θα πιουν από $b_1 + \cdots + b_{15}$ σταγόνες.

#5

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 21, 2018 10:07 pm
LXXXI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 8η τάξη.

Πρόβλημα 5. Σε κάποια χώρα η πρόσθεση και η αφαίρεση αναπαρίστανται με τα σύμβολα «!» και «?», αλλά δεν σας είναι γνωστό, ποιο σύμβολο σε ποια πράξη αντιστοιχεί. Κάθε πράξη εφαρμόζεται σε δυο αριθμούς, στην αφαίρεση όμως δεν σας είναι γνωστό, αφαιρείτε ο δεξιός αριθμός από τον αριστερό ή ο αριστερός από τον δεξιό. Για παράδειγμα, ή έκφραση συμβολίζει ένα από τα ακόλουθα: ή . Δεν σας είναι γνωστό, πως γράφονται οι αριθμοί σε αυτή την χώρα, αλλά μεταβλητές και παρενθέσεις υπάρχουν και χρησιμοποιούνται ως συνήθως. Εξηγήστε, πως με την βοήθεια αυτών και των συμβόλων «!», «?» θα γραφτεί έκφραση, η οποία εγγυημένα θα ισούται με .

Μου άρεσε αρκετά.

Παρατηρώ ότι (a!a)?(a!a) = 0

. Πιο κάτω, όπου γράφω

, θα εννοώ το (a!a)?(a!a)

με τις κατάλληλες παρενθέσεις αν χρειάζονται.

Παρατηρώ τώρα ότι για μεταβλητές x,y

ισχύει ότι

$\displaystyle (0!((0?x)?0))!0 = -x$

και

$\displaystyle (x?0)?(0?y) = x+y$

[Για κάθε έναν από τους δύο ισχυρισμούς αρκεί να ελέγξω τέσσερις περιπτώσεις. Δύο επιλογές για πιο είναι το σύμβολο της αφαίρεσης, και για κάθε μία από αυτές άλλες δύο για το με ποια σειρά γίνεται η αφαίρεση.]

Τώρα είναι απλό να φτιάξω οποιονδήποτε γραμμικό συνδυασμό με ακέραιους συντελεστές των a,b

θέλω.

Ανδρέας Πούλος · #6

Πρόβλημα 3. Στο εσωτερικό παραλληλογράμμου ABCD δίνεται σημείο K.
Το σημείο M είναι το μέσο του BC, το σημείο P το μέσο του KM. Να αποδείξετε, ότι αν \angle APB = \angle CPD = 90^{0}, τότε AK=DK.

Σας πληροφορώ ότι το πρόβλημα αυτό λύνεται και με στοιχειώδη Αναλυτική Γεωμετρία.
Απαιτείται μόνο ο τύπος της απόστασης μεταξύ δύο σημείων και να ληφθούν υπόψη τα δεδομένα του προβλήματος.
Αν κάποιος άλλος έχει περισσότερο χρόνο ας γράψει τη λύση στο Tex, αλλιώς θα τη καθαρογράψω με την πρώτη ευκαιρία.
Αγαπητέ Γιώργο Ρϊζο, απολογούμαι που "έπεσα τόσο χαμηλά", αλλά η λύση δεν είναι ντροπή.

#7

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 21, 2018 10:07 pm
LXXXI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 8η τάξη.

Πρόβλημα 6. Στις πλευρές κυρτού εξάγωνου και εξωτερικά αυτού κατασκευάστηκαν ισόπλευρα τρίγωνα $ABC_{1}, BCD_{1}, CDE_{1}, DE F_{1}, EFA_{1}$ και $FAB_{1}$ . Προέκυψε, το τρίγωνο $B_{1}D_{1}F_{1}$ να είναι ισόπλευρο. Να αποδείξετε, ότι και το τρίγωνο $A_{1}C_{1}E_{1}$ θα είναι ισόπλευρο.

Πηγή

Στα επόμενα, όλες οι στροφές είναι αριστερόστροφες των 60^o

. (Θα χρειαστούμε, πέραν των στοιχείων της εκφώνησης, μόνο τα τέσσερα φούξια ευθύγραμμα τμήματα. Τα υπόλοιπα πράσινα και μαύρα παρέμειναν για περαιτέρω μελέτη του σχήματος).

Η στροφή περί το D_1

στέλνει το

στο

και το

στο

, επομένως τα ευθύγραμμα τμήματα $BB_1,\,\, CF_1$ είναι ίσα και σχηματίζουν γωνία 60^o

(αφού το πρώτο στέλνεται στο δεύτερο).

Η στροφή περί το

στέλνει το E_1

στο

και το

στο

, επομένως τα ευθύγραμμα τμήματα $E_1E,\,\, CF_1$ είναι ίσα και σχηματίζουν γωνία 60^o

.

Η στροφή περί το

στέλνει το

στο

και το

στο

, επομένως τα ευθύγραμμα τμήματα $BB_1,\,\, C_1F$ είναι ίσα και σχηματίζουν γωνία 60^o

.

Συμπεραίνουμε, λοιπόν, από τα παραπάνω, ότι το C_1F

είναι παράλληλο και ίσο με το CF_1

(και τα δύο σχηματίζουν γωνία 60^o

με το

) και σχηματίζει γωνία 60^o

με το

με το οποίο είναι και ίσο.

Έτσι, η στροφή περί το A_1

, επειδή στέλνει το

στο

, στέλνει το ευθύγραμμο τμήμα EE_1

στο

, και, άρα στέλνει το E_1

στο

και το

στο

, επομένως: τα $A_1E_1,\,\, A_1C_1$ είναι ίσα και σχηματίζουν γωνία 60^o

, οπότε το τρίγωνο A_1E_1C_1

είναι ισόπλευρο.

#8

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 21, 2018 10:07 pm
LXXXI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 8η τάξη.

Πρόβλημα 6. Στις πλευρές κυρτού εξάγωνου και εξωτερικά αυτού κατασκευάστηκαν ισόπλευρα τρίγωνα $ABC_{1}, BCD_{1}, CDE_{1}, DE F_{1}, EFA_{1}$ και $FAB_{1}$ . Προέκυψε, το τρίγωνο $B_{1}D_{1}F_{1}$ να είναι ισόπλευρο. Να αποδείξετε, ότι και το τρίγωνο $A_{1}C_{1}E_{1}$ θα είναι ισόπλευρο.

Βάζω και την δική μου προσέγγιση. Θα χρησιμοποιήσω μιγαδικούς. Για κάθε σημείο

, γράφω

για τον μιγαδικό που το αναπαριστά στο επίπεδο. Γράφω επίσης $\omega = e^{\pi i/3}$ και παρατηρώ ότι $\omega^3=-1$ και άρα (αφού $\omega \neq -1$ ) και $\omega^2 - \omega + 1 = 0$ .

Ένα τρίγωνο XYZ

στο επίπεδο με τις κορυφές να είναι σε αριστερόστροφη σειρά είναι ισόπλευρο αν και μόνο αν $z_Z - z_X = \omega(z_Y - z_X)$ . Ισοδύναμα

$\displaystyle z_Z = (1-\omega)z_X + \omega z_Y = \omega z_Y-\omega^2 z_X$

Από τις συνθήκες λοιπόν έχουμε:

$\displaystyle z_{B_1} = \omega z_A-\omega^2 z_F.$
$\displaystyle z_{D_1} = \omega z_C-\omega^2 z_B.$
$\displaystyle z_{F_1} = \omega z_E-\omega^2 z_D.$

Το τρίγωνο B_1D_1F_1

είναι ισόπλευρο, με τις κορυφές δεξιόστροφα, αν και μόνο αν

$\displaystyle \begin{aligned} \omega z_E-\omega^2 z_D &= \omega(\omega z_A-\omega^2 z_F) - \omega^2(\omega z_C-\omega^2 z_B) \\ &= \omega^2 z_A + z_F + z_C - \omega z_B \end{aligned}$

Ισοδύναμα, αν και μόνο αν

$\displaystyle z_C+ z_F = \omega(z_B + z_E) - \omega^2(z_A+z_D) \qquad (\ast)$

Από συμμετρία, το A_1C_1E_1

είναι ισόπλευρο, με τις κορυφές δεξιόστροφα, αν και μόνο αν

$\displaystyle z_B+ z_E = \omega(z_A + z_D) - \omega^2(z_F+z_C) \qquad (\ast \ast)$

Οι $(\ast)$ και $(\ast \ast)$ όμως είναι ισοδύναμες. Μπορούμε να το δούμε αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέρη της $(\ast)$ με $\omega^2$ .

Έχουμε ουσιαστικά δείξει επιπλέον και το εξής:

Έστω

οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου και έστω X,Y,Z

σημεία τέτοια ώστε $OA \parallel DX, OD \parallel AX, OB \parallel EY, OE \parallel BY, OC \parallel FZ, OF \parallel CZ$ . Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα:

Το τρίγωνο A_1C_1E_1

είναι ισόπλευρο.
Το τρίγωνο B_1D_1F_1

είναι ισόπλευρο.
Το τρίγωνο XYZ

είναι ισόπλευρο.

S.E.Louridas · #9

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 21, 2018 10:07 pm
LXXXI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 8η τάξη.
Πρόβλημα 3. Στο εσωτερικό παραλληλογράμμου δίνεται σημείο . Το σημείο είναι το μέσο του , το σημείο το μέσο του . Να αποδείξετε, ότι αν $\angle APB = \angle CPD = 90^{0}$ , τότε .

(Η ομορφιά της συμμετρίας σε πλήρη εξέλιξη).
Ας μου επιτραπεί να ανεβάσω το σχήμα που οδηγεί σε μία " démodé " Ευκλείδεια λύση και θα επανέλθω για λεπτομέρειες, εκτός εάν ακολουθηθεί η ίδια λύση από άλλο φίλο της εδώ οικογένειας mathematica. Ας αναφέρουμε εν τω μεταξύ ότι το KPP'M'

προκύπτει παραλληλόγραμμο, όταν το σημείο

είναι το μέσον της πλευράς

...

: Μοσκα.png (9.99 KiB) Προβλήθηκε 2291 φορές

Al.Koutsouridis · #10

S.E.Louridas έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 30, 2018 4:46 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 21, 2018 10:07 pm
LXXXI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 8η τάξη.
Πρόβλημα 3. Στο εσωτερικό παραλληλογράμμου δίνεται σημείο . Το σημείο είναι το μέσο του , το σημείο το μέσο του . Να αποδείξετε, ότι αν $\angle APB = \angle CPD = 90^{0}$ , τότε .
(Η ομορφιά της συμμετρίας σε πλήρη εξέλιξη).
Ας μου επιτραπεί να ανεβάσω το σχήμα που οδηγεί σε μία " démodé " Ευκλείδεια λύση και θα επανέλθω για λεπτομέρειες, εκτός εάν ακολουθηθεί η ίδια λύση από άλλο φίλο της εδώ οικογένειας mathematica. Ας αναφέρουμε εν τω μεταξύ ότι το προκύπτει παραλληλόγραμμο, όταν το σημείο είναι το μέσον της πλευράς ...Μοσκα.png

Αυτή, που εκμεταλλεύεται την συμμετρία, ήταν και η δική μου προσπάθεια

: mmo_2018_class8_pr3.png (24.95 KiB) Προβλήθηκε 2203 φορές

Το σημείο

είναι το σημείο τομής των ημικυκλίων με διαμέτρους της πλευρές AB, CD

.Επειδή τα ημικύκλια αυτά είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο του παραλληλόγραμμου, το δεύτερο σημείο τομής τους, έστω

θα είναι το συμμετρικό του

.

Τα τετράπλευρα AQCP

και

είναι παραλληλόγραμμα, αφού οι διαγώνιοί τους διχοτομούνται. Επίσης παραλληλόγραμμο είναι και το PKLQ

(

το μέσο της

), γιατί

και

.

Από τα παραπάνω και από τις καθετότητες $AP \perp BP$ και $CP \perp DP$ προκύπτει ότι και $AQ \perp DP$ και $DQ \perp AP$ . Δηλαδή το

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ADP

επόμένως και $PQ \perp AD$ .

Είναι KL || PQ

που συνεπάγεται $KL \perp AD$ . Επομένως η

είναι διάμεσος και ύψος στο τρίγωνο AKD

, οπότε είναι ισοσκελές με AK=DK

.

Al.Koutsouridis · #11

Πολυ ωραίες οι λύσεις των κ. Κώστα και Δημήτρη για το 6ο πρόβλημα, το οποίο να σημειώσουμε ότι ήταν και το 5ο θέμα για την 11η τάξη.

S.E.Louridas · #12

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 21, 2018 10:07 pm
LXXXI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 8η τάξη.
Πρόβλημα 6. Στις πλευρές κυρτού εξάγωνου και εξωτερικά αυτού κατασκευάστηκαν ισόπλευρα τρίγωνα $ABC_{1}, BCD_{1}, CDE_{1}, DE F_{1}, EFA_{1}$ και $FAB_{1}$ . Προέκυψε, το τρίγωνο $B_{1}D_{1}F_{1}$ να είναι ισόπλευρο. Να αποδείξετε, ότι και το τρίγωνο $A_{1}C_{1}E_{1}$ θα είναι ισόπλευρο.

Ας δούμε και την εκδοχή που ακολουθεί:
Αρκεί τελικά ${A_1}{E_1} = {E_1}{C_1},$ οπότε κυκλικά καταλήγουμε στο ζητούμενο ισόπλευρο.
Έχουμε ${B_1}{F_1} = {B_1}{D_1},\;\,\angle F{B_1}{F_1} = \angle A{B_1}{D_1},$ και ${B_1}F = {B_1}A.$ Άρα $\tau \rho .{B_1}{F_1}F = \tau \rho .A{B_1}{D_1},$ οπότε, $F{F_1} = A{D_1}.$
Από το σύστημα Steiner στα τρίγωνα ABC, EDF

παίρνουμε: $C{C_1} = A{D_1} = F{F_1} = {A_1}D.$ Τελικά τα τρίγωνα $D{A_1}{E_1},\;C{C_1}{E_1}$ είναι ίσα, οπότε καταλήγουμε ${A_1}{E_1} = {E_1}{C_1}.$ Όμοια έχουμε ${A_1}{E_1} = {A_1}{C_1}.$

: Μοσχα.png (19.1 KiB) Προβλήθηκε 2184 φορές

#13

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 21, 2018 10:07 pm
LXXXI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 8η τάξη.

Πρόβλημα 3. Στο εσωτερικό παραλληλογράμμου δίνεται σημείο . Το σημείο είναι το μέσο του , το σημείο το μέσο του . Να αποδείξετε, ότι αν $\angle APB = \angle CPD = 90^{0}$ , τότε .

Χωρίς λόγια.

: 12.png (32.07 KiB) Προβλήθηκε 2024 φορές

#14

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τετ Μαρ 21, 2018 10:07 pm
LXXXI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 8η τάξη.

Πρόβλημα 2. Στη σειρά είναι γραμμένοι μη μηδενικοί αριθμοί. Το άθροισμα οποιονδήποτε δυο γειτονικών αριθμών είναι θετικό και το άθροισμα όλων των αριθμών αρνητικό. Ποιο μπορεί να το πρόσημο του γινομένου τους; (Προσδιορίστε όλες τις περιπτώσεις και αποδείξτε, ότι δεν υπάρχουν άλλες.)

Για $k=0,1,\ldots,19$ , κοιτάζουμε τον αριθμό στην θέση 2k+1

. Οι αριθμοί πριν από αυτόν χωρίζονται σε

ομάδες δύο γειτονικών αριθμών και οι αριθμοί μετά από αυτών σε 19-k

ομάδες δύο γειτονικών αριθμών. Άρα το άθροισμα όλων των αριθμών εκτός του 2k+1

είναι θετικό. Αφού όμως το άθροισμα όλων των αριθμών είναι αρνητικό, ο αριθμός στην θέση 2k+1

πρέπει να είναι αρνητικός. Επειδή το άθροισμα των αριθμών στις θέσεις

και

είναι θετικός (για $k=1,\ldots,19$ ) τότε ο αριθμός στην θέση

είναι θετικός.

Άρα από τους

αριθμούς οι

είναι αρνητικοί και οι

θετικοί. Οπότε το γινόμενο είναι θετικό.

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (8ή τάξη)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (8ή τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (8ή τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (8ή τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (8ή τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (8ή τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (8ή τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (8ή τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (8ή τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (8ή τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (8ή τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (8ή τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (8ή τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (8ή τάξη)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2018 (8ή τάξη)

Μέλη σε σύνδεση