Μαθηματική Ολυμπιάδα Α.Πετρούπολης 2016/17 (ΦΙ τάξη 7)

[Al.Koutsouridis]

[b][i]Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2017

Θέματα της πρώτης φάσης για την 7η τάξη. [/i][/b]


[b]1.[/b] Στο σχήμα απεικονίζεται πίνακας συμπληρωμένος κατά «φιδοειδή» τρόπο: στην πρώτη γραμμή από αριστερά προς δεξιά είναι γραμμένοι κατά αύξουσα σειρά αριθμοί, ξεκινώντας από το 1, στην επόμενη γραμμή συνεχίζονται κατά αύξουσα σειρά από δεξιά προς αριστερά, έπειτα στην τρίτη γραμμή από αριστερά προς δεξιά και ούτω κάθε εξής.

Ο Ανδρέας έχει ένα μεγαλύτερο πίνακα στον οποίο υπάρχει το κομμάτι με τους αριθμούς . Πόσες στήλες μπορεί να έχει ο πίνακας του Ανδρέα; Φέρετε όλες τις δυνατές περιπτώσεις και αποδείξτε, ότι δεν υπάρχουν άλλες. [size=85](Σόλνιν)[/size]


[b]2.[/b] Στον πίνακα είναι γραμμένοι 10 μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί. Όλα τα τελευταία ψηφία των οποίων είναι διαφορετικά. Εκτός από αυτό, όλα τα προτελευταία ψηφία τους είναι διαφορετικά. Να αποδείξετε, ότι το άθροισμα αυτών των δέκα αριθμών δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο. [size=85](Γκολοβάνοβ)[/size]


[b]3.[/b] Στον ωκεανό βρίσκονται τρία νησιά, τα και , εξάλλου η απόσταση από το στο και από το στο είναι 50χμ, από το στο 70χμ. Ταυτόχρονα από το στο ξεκίνησε μια θαλαμηγός και από το στο ένα ταχύπλοο, και τα δύο με ταχύτητα 10χμ/ώρα. Μετά από 2 ώρες η θαλαμηγός προσάραξε και εξέπεμψε σήμα κινδύνου. Το ταχύπλοο άλλαξε αμέσως πορεία, διπλασίασε την ταχύτητά του και κατευθύνθηκε προς την θαλαμηγό. Από το νησί προς την θαλαμηγό κατευθύνθηκε και ένα διασωστικό σκάφος με ταχύτητα 20χμ/ώρα. Να αποδείξετε, ότι το διασωστικό σκάφος και το ταχύπλοο θα φτάσουν ταυτόχρονα στη θαλαμηγό. [size=85](Κουζνέτσοβ)[/size]


[b]4.[/b] Κατά μήκος δρόμου στην χώρα των Ηλιθίων βρίσκονται δέκα θάμνοι, στο καθένα από τα οποία υπάρχουν 9 νομίσματα. Περνώντας από το δρόμο επιτρέπεται να κόψεις από κάθε θάμνο 2, 3 ή 4 νομίσματα αλλά έτσι, ώστε κανείς να μην κόψει ίδιο αριθμό νομισμάτων από γειτονικούς θάμνους, ειδάλλως οι φύλακες συλλαμβάνουν τον παραβάτη. Η Αλίσα [size=85](*)[/size], ύστερα ο Μπουρατίνο και μετά από αυτούς ο Βασίλιο πέρασαν κατά μήκος του δρόμου και έκοψαν όλα τα νομίσματα. Η Αλίσα έκοψε τουλάχιστον 35 νομίσματα. Να αποδείξετε, ότι ένας από τους άλλους δυο έκοψε λιγότερο από 26 νομίσματα. [size=85](Σούχοβ)[/size]


[size=85](*) Ήρωες του ρωσικού παραμυθιού «Οι περιπέτειες του Μπουρατίνο: Το χρυσό κλειδί» (Α.Ν.Τολστοϊ) , διασκευή του γνωστού παραμυθιού «Οι περιπέτειες του Πινόκιο: Η ιστορία μιας μαριονέτας» (Κάρλο Κολόντι). [/size]

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Για την 2
Έστω οι αριθμοί και το άθροισμά τους .

Επειδή έχουμε αριθμούς των οποίων τα τελευταία ψηφία είναι διαφορετικά το τελευταίο ψηφίο του τους θα είναι () το 5 .Άρα ο (έστω ότι είναι τέλειο τετράγωνο) λήγει σε . Επίσης μπορούμε να πούμε πως το προτελευταίο ψηφίο του είναι είναι το (το στο τέλος είναι το ''κρατούμενο'' από το ).
Έστω τα τελευταία ψηφία του .Έτσι το προτελευταίο ψηφίο του γράφεται στη μορφή .Ο όμως δεν μπορεί να πάρει αυτή τη μορφή άρα ο δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο.

[ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ]

Για την 3:
Με δεδομένο πως στο '' από το C στο B 70χμ'' εννοείτε ''από το A στο B 70χμ'' έχουμε:
Η θαλαμηγός μετά απο δυο ώρες και ταξιδεύοντας με ταχύτητα θα βρίσκεται στην θέση (με διεύθυνση )
Το ταχύπλοο ταξιδεύοντας με ταχύτητα θα βρίσκεται στην θέση (με διεύθυνση )
Τα τρίγωνα και είναι ίσα καθώς , ( ισοσκελές) και .
Συνεπώς, το διασωστικό σκάφος και το ταχύπλοο θα φθάσουν ταυτόχονα στην θαλαμηγό αφού μα την ίδια ταχύτητα διανύουν ίσες αποστάσεις.

[Demetres]

4. Κατά μήκος δρόμου στην χώρα των Ηλιθίων βρίσκονται δέκα θάμνοι, στο καθένα από τα οποία υπάρχουν 9 νομίσματα. Περνώντας από το δρόμο επιτρέπεται να κόψεις από κάθε θάμνο 2, 3 ή 4 νομίσματα αλλά έτσι, ώστε κανείς να μην κόψει ίδιο αριθμό νομισμάτων από γειτονικούς θάμνους, ειδάλλως οι φύλακες συλλαμβάνουν τον παραβάτη. Η Αλίσα (*), ύστερα ο Μπουρατίνο και μετά από αυτούς ο Βασίλιο πέρασαν κατά μήκος του δρόμου και έκοψαν όλα τα νομίσματα. Η Αλίσα έκοψε τουλάχιστον 35 νομίσματα. Να αποδείξετε, ότι ένας από τους άλλους δυο έκοψε λιγότερο από 26 νομίσματα. (Σούχοβ)

Από κάθε δύο συνεχόμενους θάμνους η Αλίσα παίρνει το πολύ νομίσματα. Συνολικά λοιπόν παίρνει το πολύ νομίσματα. Άρα παίρνει ακριβώς και μάλιστα παίρνει εναλλάξ από τους θάμνους και νομίσματα. (Μπορεί να ξεκινήσει είτε από είτε από .)

Σε κάθε θάμνο τώρα μένουν εναλλάξ ή νομίσματα. Σε αυτούς με τα νομίσματα ο ένας από τους Μπουρατίνο και Βασίλιο πήρε νομίσματα και ο άλλος . Σε αυτούς με τα νομίσματα είτε παίρνουν και οι δύο από είτε ο ένας παίρνει και ο άλλος . Η πρώτη περίπτωση απορρίπτεται επειδή στο γειτονικό θάμνο θα υπάρχουν νομίσματα και ο ένας θα πάρει από αυτά.

Επίσης αυτός που θα πάρει νομίσματα από το θάμνο με τα νομίσματα αναγκαστικά θα πάρει από τον θάμνο με τα και αναγκαστικά πάλι από τον επόμενο θάμνο με τα . (Αφού ο άλλος θα πάρει από τον θάμνο με τα και άρα αναγκαστικά από τον επόμενο θάμνο με τα .)

Ο ένας λοιπόν από τους δύο παίρνει εναλλάξ και νομίσματα. Συνολικά λοιπόν παίρνει νομίσματα.