Αρχιμήδης 2016-2017

harrisp · #1

Παιρνω την πρωτοβουλία να ανοίξουμε το θέμα αυτο ως συνέχεια αυτού.

Αν πιστεύετε πως δεν ειναι καλη ιδεα παρακαλω τους Γενικούς Συντονιστές να διαγράψουν το θέμα.

Γιάννης Μπόρμπας · #2

Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους 2n+1

όπου

θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν ABCD

είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και S(n)

είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου ABCD

να βρεθεί το S(n)

σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι S(1)=2+3+4+5=14

.

: Σχήμα; Screenshot_1.png (5.91 KiB) Προβλήθηκε 7813 φορές

Γιάννης Μπόρμπας · #3

Άσκηση 2 Seniors
Αν για τα πολυώνυμα P(x)=ax^3+bx^2+cx+d

και

όπου

μη μηδενικοί πραγματικοί ισχύει ότι:
1)Τα πολυώνυμα μεταξύ τους έχουν ακριβώς

κοινές ρίζες.
2)Η γραφική παράσταση του κάθε πολυωνύμου τέμνει τον άξονα x'x

σε ακριβώς 3 διαφορετικά σημεία
3)Αν $r,s\in\mathbb{R} : P(r)=0 , Q(s)=0 , P(s)Q(r)\not=0$ τότε s-r=5

Να βρεθούν τα δυνατά πολυώνυμα P(x),Q(x)

συναρτήσει του

.

Γιάννης Μπόρμπας · #4

Άσκηση 3 Juniors
Αν a,b,c

θετικοί πραγματικοί αριθμοί να αποδείξετε την ανισότητα:
$\frac{(a+b-c)^2}{a^2+3bc}+\frac{(b+c-a)^2}{b^2+3ca}+\frac{(c+a-b)^2}{c^2+3ab}\ge \frac{3}{4}$
Πότε ισχύει η ισότητα;

thrassos · #5

Καλησπέρα Γιάννη,
Αναφορικά με το πρόβλημα 3, από την ανισότητα Andreescu

έχουμε ότι $LHS \geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}$
Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι $\frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2+ab+bc+ca}\geq \frac{3}{4}$ το οποίο καταλήγει στην γνωστή ανισότητα $(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ca)$ που ισχύει.
Φιλικά,
Θράσος

Γιάννης Μπόρμπας · #6

Άσκηση 4 Seniors
Αν $\displaystyle{\lfloor\sum_{k=1}^{100}\frac{(k+1)(k^3-2k+2)}{k(k+2)}\rfloor=l}$ .
Να λυθεί η εξίσωση a^3+b^3=l

στους θετικούς ακεραίους όπου με
$\lfloor x \rfloor$ συμβολίζουμε το ακέραιο μέρος του

Γιάννης Μπόρμπας · #7

Άσκηση 5 Juniors
Ένα τετράγωνο πλευράς 2n+1

διαιρείται σε (2n+1)^2

μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές του όπου

θετικός ακέραιος. 2 παίκτες παίζουν το εξής παιχνίδι.Ο παίκτης Α παίζει με τον αριθμό 2017

ενώ ο παίκτης Β με τον αριθμό

τους οποίους και θα χρησιμοποιούν στο παιχνίδι. Ο κάθε παίκτης στην σειρά του τοποθετεί τον αριθμό του σε ένα από τα μοναδιαία τετράγωνα της επιλογής του. Δεν επιτρέπεται να τοποθετηθεί αριθμός σε τετράγωνο που έχει ξανατοποθετηθεί αριθμός. Αν κάποιος παίκτης τοποθετήσει έναν αριθμό σε ένα τετράγωνο έτσι ώστε με την τοποθέτησή του να συμπληρώνεται μία ολόκληρη στήλη,σειρά η διαγώνιος (οποιαδήποτε διαγώνιος, για παράδειγμα τοποθετήσουμε το τετράγωνο σε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων xOy

με το

να είναι το κάτω αριστερά άκρο του τότε τα σημεία (1,0),(0,1)

ορίζουν μια διαγώνιο όπως και τα (2,0),(1,1),(0,2)

...) τότε εκτελούμε το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται σε αυτήν την στήλη, σειρά ή διαγώνιο. Αν το άθροισμα είναι πολλαπλάσιο του

τότε ο παίκτης που συμπλήρωσε την στήλη, σειρά ή διαγώνιο χάνει. Διαφορετικά το παιχνίδι συνεχίζεται. Αν συμπληρωθεί ο πίνακας χωρίς να έχει χάσει κάποιος, κερδίζει ο παίκτης που έπαιξε πρώτος μιας και κινδύνευσε μία παραπάνω φορά. Να αποδείξετε πως ο παίκτης που παίζει πρώτος έχει στρατηγική νίκης.

mikemoke · #8

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους όπου θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου να βρεθεί το σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι .Screenshot_1.png

υπαρχει καποια λυση στο προβλημα ?

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #9

mikemoke έγραψε:
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους όπου θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου να βρεθεί το σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι .Screenshot_1.png
υπαρχει καποια λυση στο προβλημα ?

Ναι.

Έχω βρει έναν τύπο, αλλά δυσκολεύομαι να τον κάνω τελείως κλειστό, παρόλο που πιστεύω πως γίνεται.

Γιάννης Μπόρμπας · #10

mikemoke έγραψε:
Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους όπου θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου να βρεθεί το σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι .Screenshot_1.png
υπαρχει καποια λυση στο προβλημα ?

Όλα τα παραπάνω προβλήματα που έχω φτιάξει έχουν λύση.

mikemoke · #11

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους όπου θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου να βρεθεί το σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι .Screenshot_1.png

η σκαλα ειναι 2n+1

διαστασεων οπου n εΖ αρα το max τετραγωνο ειναι n+1

διαστασεων
εστω m το μεσο σκαλοπατι (το δεξι ακρο του n+1

τετραγωνου) m=1+2+3+...+n+1

αθροιζω ολουσ τουσ ορουσ κατω απτο μ και επαναλαμβανω την διαδικασια για m-1, m-2 ,..,m-n

(προσθετω ολεσ τισ κατακορυφεσ στηλεσ του τmax)
Eτσι εχω
m + n+1+m + 2(n+1)+1+m + 3(n+1)+3+m + ... + n(n+1)+a+m

οπου

.
.
.

Αρα αθροιζοντασ τα παραπανω εχω (n+1)[(n+1)m-(1+2+3+...+n)] + (n+1)[n+1+2(n+1)+3(n+1)+...+n(n+1) + 1+3+..+a] =
(n+1)[(n+1)m-(1+2+3+...+n) + (n+1)(1+2+3+...+n) +1+3+6+10+...+a] = (n+1)[(n+1)m + n(1+2+3+...+n) + 1 + 1+2 + 1+2+3 +....+1+2+3+...+n-2]

τι λετε ωσ εδω?

JimNt. · #12

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους όπου θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου να βρεθεί το σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι .Screenshot_1.png

Ας θέσω και ένα ερώτημα για Juniors

με βάση το παραπάνω (αν μου το επιτρέπει ο θεματοδότης). Άσκηση 6 Juniors Να βρείτε ποιος αριθμός βρίσκεται στην

-οστή γραμμή και στο

-oστό σκαλί (τετράγωνο). (Ας αφεθεί για τα καινούργια μέλη μας. )Y.Σ (Η λύση της άσκησης αυτής αποτελεί το πρώτο βήμα για την λύση της αρχικής)

JimNt. · #13

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 1 Seniors
Σε μία σκάλα ύψους και πλάτους όπου θετικός ακέραιος χωρίζεται σε μοναδιαία τετράγωνα φέρνοντας ευθείες παράλληλες στις πλευρές τις σκάλας. Στην συνέχεια, στα μοναδιαία τετράγωνα τοποθετούμε με αύξουσα σειρά τους θετικούς ακεραίους ξεκινώντας από πάνω αριστερά και τελειώνοντας κάτω δεξιά, μέχρι να γεμίσει η σκάλα (όπως στο Σχήμα). Αν είναι το τετράγωνο μεγίστης δυνατής πλευράς που εφαρμόζει στην σκάλα χωρίς να προεξέχει και είναι το άθροισμα των θετικών ακεραίων που βρίσκονται εντός του τετραγώνου να βρεθεί το σε κλειστό τύπο. Για παράδειγμα στο παρακάτω σχήμα έχουμε ότι .Screenshot_1.png

Ο ζητούμενος τύπος είναι $S=\boxed{\frac{(n+1)^2n(7n+5)}{6}+\frac{(n+1)^2(n+2)}{2}}$

Γιάννης Μπόρμπας · #14

Ας δώσω μία αναλυτική λύση για την Άσκηση 1
Έστω $a_{i}$ ο αριθμός που βρίσκεται στην

σειρά και στην πρώτη στήλη με $2n+1\ge i\ge 1$ και $a_{1}=1$
Τότε παρατηρούμε ότι: $a_{k+1}-a_{k}=k$ . Άρα $\displaystyle{\sum_{k=1}^{i}a_{k+1}-a_{k}}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{i}k}$ όπου προκύπτει:
$\displaystyle{a_{i}=\frac{i^2-i+2}{2}}$ . Το ABCD

περιέχει πάνω-αριστερά τον αριθμό $a_{n+1}$ και κάτω-αριστερά τον
αριθμό $a_{2n+1}$ . Οπότε το άθροισμα των αριθμών της πρώτης στήλης από τον $a_{n+1}$ μέχρι και τον
$a_{2n+1}$ είναι: $S=\displaystyle{\sum_{i=n+1}^{2n+1}a_{i}=\sum_{i=n+1}^{2n+1}\frac{i^2-i+2}{2}}= \displaystyle{\frac{1}{2}\left(\sum_{i=n+1}^{2n+1}i^2-\sum_{i=n+1}^{2n+1}i+\sum_{i=n+1}^{2n+1}2\right)}= \displaystyle{\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{2n+1}i^2-\sum_{i=1}^{n}i^2-\sum_{i=n+1}^{2n+1}i+ \sum_{i=n+1}^{2n+1}2\right)}=...= \frac{7n^3+12n^2+11n+6}{6}$ .
Τέλος εύκολα μπορεί να παρατηρήσει κάποιος πως το ζητούμενο άθροισμα με την
βοήθεια του

μπορεί να εκφραστεί ως εξής: $S(n)=(n+1)S+(n+1)\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}k}=\frac{(n+1)^2(7n^2+8n+6)}{6}$ .

WLOG · #15

Άσκηση 6 (Seniors)

Αν $\displaystyle{P(x), Q(x), R(x), S(x)}$ είναι πολυώνυμα έτσι ώστε:

$\displaystyle{P(x^{5}) + xQ(x^{5}) + x^{2}R(x^{5}) = (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)S(x)}$

Να δείξετε ότι το $\displaystyle{x-1}$ διαιρεί το $\displaystyle{P(x).}$

Γιάννης Μπόρμπας · #16

Άσκηση 7 Juniors
1) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: $x^{10}-x^8+x^7-x^4+x^3+(x-1)^2$
2) Να βρεθεί ένας πρώτος διαιρέτης του αριθμού: A=9909991081

harrisp · #17

Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Άσκηση 7 Juniors
1) Να παραγοντοποιηθεί η παράσταση: $x^{10}-x^8+x^7-x^4+x^3+(x-1)^2$

1)

Γιάννης Μπόρμπας · #18

Άσκηση 8 Juniors
Να λυθεί στους θετικούς ακεραίους η εξίσωση: 2a^2+ab+3a=b^2+12

Γιάννης Μπόρμπας · #19

Άσκηση 9 Seniors
Η ακολουθία $a_{n}$ , $n\ge 1$ ορίζεται από την σχέση:
$na_{n}+3=3n+a_{n+1}$ με $a_{1}=4$ .
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι

που είναι τέτοιοι ώστε:
Αν $p\in\mathbb{P}$ και p|c

τότε $p|a_{c}$

mikemoke · #20

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Παιρνω την πρωτοβουλία να ανοίξουμε το θέμα αυτο ως συνέχεια αυτού.

Αν πιστεύετε πως δεν ειναι καλη ιδεα παρακαλω τους Γενικούς Συντονιστές να διαγράψουν το θέμα.

Ποσεσ ειναι οι δυνατεσ συνδεσμολογιεσ για

ομοιουσ αντιστατες (οι αντιστατεσ μπορουν να συδεθουν σε σειρα και παραλληλα)

Αρχιμήδης 2016-2017

Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Re: Αρχιμήδης 2016-2017

Μέλη σε σύνδεση