Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Grigoris K. · #1

Καλή επιτυχία σε όλους τους διαγωνιζόμενους και ιδιαίτερα στα μέλη μας Παναγιώτη Λώλα, Μιχαήλ Σαράντη και Αντώνη Ζητρίδη.

Αναμένουμε τα θέματα. Όποιος αποκτήσει πρόσβαση ας τα αναρτήσει.

Antonis_Z · #2

Χαιρετώ.Ορίστε τα θέματα του σημερινού διαγωνισμού.
Η διάρκεια ήταν 4 ώρες.

1)Να προσδιορίσετε του μη αρνητικούς ακεραίους m,n

που ικανοποιούν την εξίσωση $\frac{n(n+2)}{4}=m^4+m^2-m+1$ .

2)Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο ABC

με

,εγγεγραμμένο σε κύκλο c(O,R)

.Ο κύκλος

τέμνει την

στο

και τον

στο

.Η

τέμνει για δεύτερη φορά τον

στο

.Η

τέμνει την

στο

και την

στο

.Τέλος,η

τέμνει την

στο

.Να αποδείξετε ότι:
α)τα σημεία D,L,M,F

είναι ομοκυκλικά,
β)τα σημεία B,D,K,M,E

είναι ομοκυκλικά.

3)Να προσδιορίσετε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του

για την οποία ισχύει:
$\frac{x}{1+\frac{yz}{x}}+\frac{y}{1+\frac{zx}{y}}+\frac{z}{1+\frac{xy}{z}}\geq M$ για όλους τους θετικούς πραγματικούς x,y,z

που ικανοποιούν την ισότητα xy+yz+zx=1

.

4)Δίνονται στο επίπεδο

διαφορετικοί μεταξύ τους κύκλοι που έχουν το ίδιο κέντρο.Στο εσωτερικό του κύκλου με τη μικρότερη ακτίνα,θεωρούμε δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία A,B

.Στη συνέχεια θεωρούμε

διαφορετικές μεταξύ τους ευθείες που περνάνε από το

και

διαφορετικές μεταξύ τους ευθείες που περνάνε από το

.Όλες οι ευθείες που περνούν από το

τέμνονται με όλες τις ευθείες που περνούν από το

(δεν υπάρχει ευθεία που περνάει από τα

και

) και τα σημεία τομής τους δεν ανήκουν σε κάποιον από τους

κύκλους.Να υπολογιστεί ο μέγιστος και ο ελάχιστος αριθμός χωρίων που δημιουργούνται από τις ευθείες και τους κύκλους και βρίσκονται μέσα στους κύκλους.

dimitris pap · #3

Για την 1.
Ισοδύναμα: (n+1)^2=4m^4+4m^2-4m+5

Αν

τότε:

.

Συνεπώς η μόνη λύση είναι η m=1, n=2

#4

Antonis_Z έγραψε: 2)Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο με ,εγγεγραμμένο σε κύκλο .Ο κύκλος τέμνει την στο και τον στο .Η τέμνει για δεύτερη φορά τον στο .Η τέμνει την στο και την στο .Τέλος,η τέμνει την στο .Να αποδείξετε ότι:
α)τα σημεία είναι ομοκυκλικά,
β)τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

Θεωρώ ότι το 2) θέμα είναι ιδιαίτερα εύκολο για διαγωνισμό. Όλη η ιστορία είναι μια γωνία που την κάνουμε «βόλτες» και θα επανέλθω αργότερα αν δεν δοθεί λύση.

Στάθης

Grigoris K. · #5

Στο 3ο βγάζω $\displaystyle{ M = \frac{3}{2}(\sqrt{3} - 1) }$ .

#6

Antonis_Z έγραψε: 3)Να προσδιορίσετε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του για την οποία ισχύει:
$\frac{x}{1+\frac{yz}{x}}+\frac{y}{1+\frac{zx}{y}}+\frac{z}{1+\frac{xy}{z}}\geq M$ για όλους τους θετικούς πραγματικούς που ικανοποιούν την ισότητα .

Για $\displaystyle{x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}}$ βρίσκουμε $\displaystyle{M\leq \frac{3}{1+\sqrt{3}}.}$

Αποδεικνύουμε τώρα ότι

$\displaystyle{\sum \frac{x^2}{x+yz}\geq \frac{3}{1+\sqrt{3}}.}$

Από Cauchy-Schwarz είναι

$\displaystyle{\sum \frac{x^2}{x+yz}\geq \frac{(x+y+z)^2}{x+y+z+1},}$

οπότε αρκεί να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\frac{a^2}{a+1}\geq \frac{3}{1+\sqrt{3}}}$

όταν $\displaystyle{a=x+y+z\geq \sqrt{3(xy+yz+zx)}=\sqrt{3}.}$

Αυτό όμως ισχύει λόγω μονοτονίας της $\displaystyle{\frac{a^2}{1+a}.}$

Grigoris K. · #7

Για τη Γεωμετρία:

Ισχύει $\displaystyle{ \angle BFE = \angle BAE = \angle DEB \implies \angle BDE =\angle BEK = \angle BKE \implies BDKE }$ εγγράψιμο.

Επίσης είναι φανερό ότι $\displaystyle{ \angle AKB = \angle BAK = \angle BEM \implies MKEB }$ εγγράψιμο. Συνεπώς τα $\displaystyle{ B,D,M,K,E }$ είναι ομοκυκλικά.

Τέλος $\displaystyle{ \angle DMB = \angle DEB = \angle DFL \implies DMLF }$ εγγράψιμο.

Ένα σχόλιο: Κατ' εμέ το θέμα της Γεωμετρίας (αν και 2ο) είναι άκρως ακατάλληλο για αυτό το επίπεδο.
Έχει μόνο "οπτική" δυσκολία (σαν τη Γεωμετρία της Γ' Λυκείου του φετινού Ευκλείδη) και ange-chasing.

Grigoris K. · #8

Antonis_Z έγραψε:3)Να προσδιορίσετε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του για την οποία ισχύει:
$\frac{x}{1+\frac{yz}{x}}+\frac{y}{1+\frac{zx}{y}}+\frac{z}{1+\frac{xy}{z}}\geq M$ για όλους τους θετικούς πραγματικούς που ικανοποιούν την ισότητα .

Μιας και το αποτέλεσμα είναι σωστό (ίδιο με του Θάνου) δίνω ολοκληρωμένη λύση:

Για $\displaystyle{ x = y = z }$ ισχύει λόγω της συνθήκης $\displaystyle{ x = y = z = \frac{\sqrt{3}}{3} }$ . Λαμβάνουμε $\displaystyle{ M \leq \frac{3}{2}(\sqrt{3}-1) }$ .

Από την Cauchy προκύπτει $\displaystyle{ LHS = \sum \frac{x^2}{x+yz} \geq \frac{(x+y+z)^2}{x+y+z + 1} }$ . Έστω $\displaystyle{ u = x + y + z }$ . Φανερά $\displaystyle{ u \geq \sqrt{3} }$ .

Αρκεί να δειχθεί ότι $\displaystyle{ \frac{u^2}{u+1} \geq \frac{3}{2}(\sqrt{3}-1) \iff 2u^2 - 3(\sqrt{3}-1)u - 3(\sqrt{3} -1) \geq 0 }$ .

Όμως η τελευταία σχέση προκύπτει άμεσα από μελέτη τριωνύμου καθώς $\displaystyle{ u \geq \sqrt{3} }$ .

#9

Grigoris K. έγραψε:Για τη Γεωμετρία:

Ισχύει $\displaystyle{ \angle BFE = \angle BAE = \angle DEB \implies \angle BDE =\angle BEK = \angle BKE \implies BDKE }$ εγγράψιμο.

Επίσης είναι φανερό ότι $\displaystyle{ \angle AKB = \angle BAK = \angle BEM \implies MKEB }$ εγγράψιμο. Συνεπώς τα $\displaystyle{ B,D,M,K,E }$ είναι ομοκυκλικά.

Τέλος $\displaystyle{ \angle DMB = \angle DEB = \angle DFL \implies DMLF }$ εγγράψιμο.

Ένα σχόλιο: Κατ' εμέ το θέμα της Γεωμετρίας (αν και 2ο) είναι άκρως ακατάλληλο για αυτό το επίπεδο.
Έχει μόνο "οπτική" δυσκολία (σαν τη Γεωμετρία της Γ' Λυκείου του φετινού Ευκλείδη) και ange-chasing.

Αφού απαντήθηκε από τον "ΑΡΧΟΝΤΑ" ας τοποθετήσω μόνο το σχήμα που τα λέει όλα

[attachment=0]3.png[/attachment]

Broly · #10

Από γεωμετρία είμαι άσχετος οπότε δεν θα πάρω θέση. Αλλά το 3ο θέμα μου φαίνεται εξαιρετικά εύκολο για αυτό το επίπεδο.
Ένας καλά εκπαιδευμένος στις ανισότητες δεν χρειάζεται πάνω από 10-15 λέπτα για να γράψει μια ολοκληρωμένη λύση.

kleovoulos · #11

Καλή επιτυχία και συγχαρητήρια σε όσους συμμετείχαν.
Κανένα νέο για τα θέματα των μικρών;

ArgirisM · #12

Η ανισότητα θυμίζει λίγο στο στήσιμο ένα παλιό πρώτο θέμα του Αρχιμήδη. Παρότι δεν έχω κοιτάξει τη γεωμετρία, αν κρίνω από τα σχόλια των υπολοίπων το τέταρτο είναι μάλλον το μόνο αξιόλογο θέμα και αυτό που θα ξεχωρίσει τα μέλη της ομάδας. Πάντως προβλέπω να έχουμε και φέτος αρκετές ισοβαθμίες, όπως ακριβώς συνέβη και πέρισυ. Πιστεύω όμως πως αυτό δεν είναι καλό, διότι η μαθηματική εταιρία έχει στα χέρια της μία πιθανή dream team και τα εύκολα θέματα δεν βοηθούν στη "σκληραγώγηση" των λυτών...

Alex1994 · #13

Δεδομένου ότι στους διαγωνιζόμενους έχουμε 4 μετάλλια από Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (1 χρυσό, 1 αργυρό, 2 χάλκινα) νομίζω ότι τα θέματα είναι τραγικά εύκολα για αυτό το επίπεδο. Τα 3 πρώτα θέματα δεν παίζει να πήραν πάνω από 10-15 λεπτά στο γράψιμο (το κλασσικό κόλπο με το φράξιμο μεταξύ τετραγώνων, κυνήγι γωνιών και η κλασσική ανισότητα "Andreescu"/Cauchy Schwarz) και το 4ο ήταν άλλο ένα από μια σειρά βαρετών υπολογιστικών προβλημάτων συνδυαστικής.

Στο κάτω κάτω, ο σκοπός δεν είναι να γράψει ο κάθε υποψήφιος, αλλά να διακριθούν τα άτομα που θα πάνε στην ΙΜΟ.

Δεν ξέρω τι άποψη έχουν οι θεματοδότες για τους υποψήφιους, αλλά πραγματικά δεν πιστεύω ότι η Ελληνική ομάδα είναι τόσο άσχετη ώστε να αξίζει τόσο βαρετά θέματα. Κρίμα, γιατί μετά το 3ο θέμα του Αρχιμήδη που ήταν σαφώς καλύτερης ποιότητας περίμενα (όχι μόνο εγώ αλλά και διαγωνιζόμενοι με τους οποίους μίλησα) ένα ενδιαφέρον θέμα στον διαγωνισμό.

Στην χειρότερη περίπτωση, δεν μπορεί να μπει κάτι από την IMO Shortlist? Τόσες χώρες αυτό κάνουν...

jim.jt · #14

Θέματα μικρών:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Αν οι x,y

είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle (x+\frac{2}{y})(\frac{y}{x}+2)\geq 8.$

Για ποιες τιμές των x,y

ισχύει η ισότητα;

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2

Θεωρούμε πάνω σε κύκλο

διαφορετικά σημεία, τέτοια ώστε να μην υπάρχουν τρεις χορδές που ορίζονται από αυτά τα σημεία που να περνούν από το ίδιο σημείο στο εσωτερικό του κύκλου.
(α) Να βρείτε την τιμή του

, αν ο αριθμός των τριγώνων που ορίζονται με κορυφές τρία από τα

σημεία ισούται με 2n.

(β) Να βρείτε την τιμή του

, αν ο αριθμός των δημείων τομής των χορδών που βρίσκονται στο εσωτερικό του κύκλου ισούται με 5n.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3

Αν

είναι πρώτος θετικός ακέραιος και οι x,y

είναι θετικοί ακέραιοι, να βρείτε, συνάρτησει του

, όλα τα ζευγάρια (x,y)

που είναι λύσεις της εξίσωσης:
p(x-2)=x(y-1).

(1)

Αν επιπλέον δίνεται ότι x+y=21

, βρείτε όλες τις τριάδες (x,y,p)

που είναι λύσεις της εξίσωσης (1).

#15

jim.jt έγραψε:Θέματα μικρών:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Αν οι είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle (x+\frac{2}{y})(\frac{y}{x}+2)\geq 8.$

Για ποιες τιμές των ισχύει η ισότητα;

Απλή ΑΜ-ΓΜ:

$\displaystyle{(x+\frac{2}{y})(\frac{y}{x}+2)\geq 2\sqrt{\frac{2x}{y}}\cdot 2\sqrt{\frac{2y}{x}}=8.}$

Η ισότητα, προφανώς, για $\displaystyle{x=1,y=2.}$

jim.jt · #16

matha έγραψε:
jim.jt έγραψε:Θέματα μικρών:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1

Αν οι είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle (x+\frac{2}{y})(\frac{y}{x}+2)\geq 8.$

Για ποιες τιμές των ισχύει η ισότητα;

Απλή ΑΜ-ΓΜ:

$\displaystyle{(x+\frac{2}{y})(\frac{y}{x}+2)\geq 2\sqrt{\frac{2x}{y}}\cdot 2\sqrt{\frac{2y}{x}}=8.}$

Η ισότητα, προφανώς, για $\displaystyle{x=1,y=2.}$

Ακριβώς έτσι την έλυσα κι εγώ. Δεν κατάλαβα τον λόγο να μπει μια τέτοια άσκηση. Θα μπορούσαν να βάλουν κάποια πολύ πιο δύσκολη ανισότητα.

Μην ξεχνάμε πως είναι προκριματικός της Βαλκανιάδας Νέων, της οποίας οι ανισότητες που έχουν πέσει απέχουν πολύ απ' αυτήν.

nickthegreek · #17

Alex1994 έγραψε:Δεδομένου ότι στους διαγωνιζόμενους έχουμε 4 μετάλλια από Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα (1 χρυσό, 1 αργυρό, 2 χάλκινα) νομίζω ότι τα θέματα είναι τραγικά εύκολα για αυτό το επίπεδο. Τα 3 πρώτα θέματα δεν παίζει να πήραν πάνω από 10-15 λεπτά στο γράψιμο (το κλασσικό κόλπο με το φράξιμο μεταξύ τετραγώνων, κυνήγι γωνιών και η κλασσική ανισότητα "Andreescu"/Cauchy Schwarz) και το 4ο ήταν άλλο ένα από μια σειρά βαρετών υπολογιστικών προβλημάτων συνδυαστικής.

Στο κάτω κάτω, ο σκοπός δεν είναι να γράψει ο κάθε υποψήφιος, αλλά να διακριθούν τα άτομα που θα πάνε στην ΙΜΟ.

Δεν ξέρω τι άποψη έχουν οι θεματοδότες για τους υποψήφιους, αλλά πραγματικά δεν πιστεύω ότι η Ελληνική ομάδα είναι τόσο άσχετη ώστε να αξίζει τόσο βαρετά θέματα. Κρίμα, γιατί μετά το 3ο θέμα του Αρχιμήδη που ήταν σαφώς καλύτερης ποιότητας περίμενα (όχι μόνο εγώ αλλά και διαγωνιζόμενοι με τους οποίους μίλησα) ένα ενδιαφέρον θέμα στον διαγωνισμό.

Στην χειρότερη περίπτωση, δεν μπορεί να μπει κάτι από την IMO Shortlist? Τόσες χώρες αυτό κάνουν...

Πες τα ρε Άλεξ! Δε μπορούσα να συμφωνώ περισσότερο. Τα θέματα αυτού του στυλ στη συνδυαστική έχουν καταντήσει ρουτίνα τα τελευταία χρόνια, κάτι ο Αρχιμήδης ο περσινός, κάτι ο περσινός ο προκριματικός...... Δε νομίζω ότι έχουν να προσφέρουν κανενός είδους όμορφη παρατήρηση-σκέψη... Εκτός από το 4ο θέμα, για το οποίο μόλις γνωστοποίησα την άποψή μου, τα άλλα τρια δεν χρειάζονταν πάνω από 20 λεπτά-μισή ώρα. Ουσιαστικά, ήταν διαγωνισμός ΕΝΟΣ θέματος σε 4 ώρες..... Λυπάμαι που κάνω την ακόλουθη λογικότατη διαπίστωση, αλλά οι θεματοδότες δείχνουν να υποτιμούν κατά πολύ το επίπεδο της Ελληνικής ομάδας. Προβλέπω από τώρα τι θα συμβεί: η βαθμολόγηση λόγω του ότι σχεδόν όλοι θα έχουν γράψει 3 θέματα θα είναι ridiculously αυστηρή όπως ακριβώς και πέρσι και η ομάδα θα κριθεί αποκλειστικά στο 4ο θέμα. Ένα τέτοιο 4ο θέμα όμως ΔΕΝ θα έπρεπε να χαίρει τέτοιας τιμής.

Τα συγχαρητήριά μου σε όλους τους συμμετέχοντες και τις ευχές μου σε όλους για διακρίσεις και στη Μεσογειάδα.

Νίκος Αθανασίου

S.E.Louridas · #18

nickthegreek έγραψε: ..... Λυπάμαι που κάνω την ακόλουθη λογικότατη διαπίστωση, αλλά οι θεματοδότες δείχνουν να υποτιμούν κατά πολύ το επίπεδο της Ελληνικής ομάδας. Νίκος Αθανασίου

Δεν θεωρώ ότι θα μπορούσαν να σκεφτούν να υποτιμήσουν τα μεγάλα αυτά Μαθηματικά ταλέντα που πιθανόν κάποια από αυτά να έχουν Μαθηματικές προδιαγραφές κατά πολύ μεγαλύτερες από τους εκάστοτε προτείνοντες θέματα. Η τοποθέτηση χαμηλά του πήχη του επιπέδου των θεμάτων θα μπορούσε να συμβεί για 1000+1 λόγους αλλά όχι για αυτόν. Σίγουρα πάντως η τοποθέτηση χαμηλά του πήχη δημιουργεί μία βαθμολογική συσσώρευση προς τα πάνω.

Κατά τα άλλα
Πολλά Συγχαρητήρια στους συμμετέχοντες, στους γονείς τους και αυτούς που ήταν δίπλα τους στον ωραίο αυτό Επιστημονικό αγώνα που αποτελεί μία ηχηρή απάντηση στην πρόκληση της εποχής.
Καλή συνέχεια στους διαγωνιζόμενους που θα αποτελέσουν τα μέλη των Εθνικών ομάδων των Μαθηματικών με επιτυχίες που τους Ανήκουν και που μας κάνουν υπερήφανους.
Οι Έλληνες έχουμε τις δυνατότητες να απαντάμε και στις Μαθηματικές προκλήσεις πολλαπλά, τόσο εντός της Πατρίδας όσο και διεθνώς, έστω και αν κάποιοι ελάχιστοι πιθανόν να «στενοχωρούνται» για αυτό και είναι εκείνοι που δεν μπορούν να ζήσουν χωρίς βαρβάρους, όπως λέει
ο Τεράστιος 'Ελληνας ποιητής Κώστας Καβάφης.

ArgirisM · #19

Μία λύση για το τρίτο των μικρών: Φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή $y - 1 = \frac{p(x - 2)}{x}$ . Αν x = 1

έχουμε

(απορρίπτεται). Αν x = p

είναι

. Τώρα, σε κάθε άλλη περίπτωση το

δεν διαιρεί το

,επειδή όμως πρέπει να διαιρεί το γινόμενο, προκειμένου να προκύπτει ακέραιος, έχουμε $x|(x - 2) \Longleftrightarrow x|2$ . Την περίπτωση για x = 1

την αποκλείσαμε πριν έτσι κι αλλιώς, οπότε για $x = 2 \Longleftrightarrow y = 1$ . Τώρα, με το επιπρόσθετο δεδομένο ότι x + y = 21

αμέσως αποκλείεται το δεύτερο ζεύγος, ενώ από το πρώτο έχουμε $2p - 1 = 21 \Longleftrightarrow p = 11$ . Έτσι έχουμε την τριάδα (x, y, p) = (11, 10, 11)

. Καλό θεματάκι, αν και λίγο εύκολο, αλλά νορμάλ για γυμνάσιο. Τη γεωμετρία των μικρών την έχουμε;

jim.jt · #20

ArgirisM έγραψε:Μία λύση για το τρίτο των μικρών: Φέρνουμε την εξίσωση στη μορφή $y - 1 = \frac{p(x - 2)}{x}$ . Αν έχουμε (απορρίπτεται). Αν είναι . Τώρα, σε κάθε άλλη περίπτωση το δεν διαιρεί το ,επειδή όμως πρέπει να διαιρεί το γινόμενο, προκειμένου να προκύπτει ακέραιος, έχουμε $x|(x - 2) \Longleftrightarrow x|2$ . Την περίπτωση για την αποκλείσαμε πριν έτσι κι αλλιώς, οπότε για $x = 2 \Longleftrightarrow y = 1$ . Τώρα, με το επιπρόσθετο δεδομένο ότι αμέσως αποκλείεται το δεύτερο ζεύγος, ενώ από το πρώτο έχουμε $2p - 1 = 21 \Longleftrightarrow p = 11$ . Έτσι έχουμε την τριάδα . Καλό θεματάκι, αν και λίγο εύκολο, αλλά νορμάλ για γυμνάσιο. Τη γεωμετρία των μικρών την έχουμε;

Υπάρχει άλλη μια περίπτωση για x=2p

. Εγώ δυστυχώς ξέχασα την περίπτωση x=1

.

Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

Μέλη σε σύνδεση