ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1.(i) Να βρείτε τις τιμές των ρητών αριθμών $\displaystyle{\alpha ,\beta }$ για τις οποίες ο αριθμός $\displaystyle{\alpha +\beta \sqrt{10}}$ είναι ρητός.
(ii) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{x = \sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}}$ είναι άρρητος.

2. Να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{\left(| x |- 2\right){\color{red}^2} = x^2 + 4\alpha}$ , για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $\displaystyle{\alpha}$ .

3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ που διέρχεται από την κορυφή του $\displaystyle{A}$ και είναι παράλληλη προς τη πλευρά $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{B}}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ στο σημείο $\displaystyle{\Delta}$ και έστω $\displaystyle{E}$ το συμμετρικό του $\displaystyle{\Delta}$ ως προς τη κορυφή $\displaystyle{A}$ . Από το $\displaystyle{A}$ τέλος θεωρούμε παράλληλη προς την $\displaystyle{EB}$ η οποία τέμνει τη $\displaystyle{B\Delta}$ στο σημείο $\displaystyle{M}$ και τη $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{K}$ .
Να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{AB = BK=K\Delta = \Delta A}$ .

4. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma}$ που ικανοποιούν τις ισότητες $\displaystyle{\alpha +\beta +\gamma = 2010}$ και $\displaystyle{\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma\alpha = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 67^2}$ .

edit
Προσθήκη εκθέτη στο 2ο

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:4. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma}$ που ικανοποιούν τις ισότητες $\displaystyle{\alpha +\beta +\gamma = 2010}$ και $\displaystyle{\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma\alpha = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 67^2}$ .

εδώ

hlkampel · #3

parmenides51 έγραψε:3. Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ και ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ που διέρχεται από την κορυφή του $\displaystyle{A}$ και είναι παράλληλη προς τη πλευρά $\displaystyle{AB\Gamma}$ . Η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{B}}$ τέμνει την ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ στο σημείο $\displaystyle{\Delta}$ και έστω $\displaystyle{E}$ το συμμετρικό του $\displaystyle{\Delta}$ ως προς τη κορυφή $\displaystyle{A}$ . Από το $\displaystyle{A}$ τέλος θεωρούμε παράλληλη προς την $\displaystyle{EB}$ η οποία τέμνει τη $\displaystyle{B\Delta}$ στο σημείο $\displaystyle{M}$ και τη $\displaystyle{B\Gamma}$ στο σημείο $\displaystyle{K}$ .
Να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{AB = BK=K\Delta = \Delta A}$ .

(Χρησιμοποιώ λατινικούς χαρακτήρες για ευκολία)

Το AEBK

είναι παρ/μο (απέναντι πλευρές παράλληλες) έτσι $\displaystyle{BK//=AE=AD}$ (1) και AK=BE

(2)

Το

είναι παρ/μο αφού $\displaystyle{BK//=AD}$ (από σχέση (1)) οπότε $\displaystyle{KD=AB}$ (3)

Το

είναι το κέντρο του παρ/ μου ADKB

, έτσι το τρίγωνο ABK

είναι ισοσκελές αφού το

είναι διχοτόμος και διάμεσος. Έτσι AB=BK

(4)

Από τις σχέσεις (1), (2), (3) και (4) παίρνουμε ότι AB=BK=KD=DA

sokratis lyras · #4

parmenides51 έγραψε:

4. Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς $\displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma}$ που ικανοποιούν τις ισότητες $\displaystyle{\alpha +\beta +\gamma = 2010}$ και $\displaystyle{\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma\alpha = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 67^2}$ .

Συμμετείχα σε αυτόν το διαγωνισμό.Η λύση που είχα δώσει : $3(ab+bc+ca)=(2\cdot 3\cdot 5\cdot 67)^2\Rightarrow (a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)$ και λοιπά.

BAGGP93 · #5

parmenides51 έγραψε:2. Να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{\left(| x |- 2\right){\color{red}^2} = x^2 + 4\alpha}$ , για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $\displaystyle{\alpha}$ .

Είναι,

$\displaystyle{\left(\left|x\right|-2\right)^2=x^2+4\alpha\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow x^2-4\left|x\right|+4=x^2+4\alpha}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \left|x\right|=1-a}$ .

Αν $\displaystyle{1-a>0\Leftrightarrow a<1}$ τότε

$\displaystyle{\left|x\right|=1-\alpha\Leftrightarrow x=1-\alpha\ \lor x=\alpha-1}$ .

Αν $\displaystyle{1-\alpha<0\Leftrightarrow a>1}$ η εξίσωση είναι αδύνατη.

Τέλος, αν $\displaystyle{\alpha=1}$ έχουμε $\displaystyle{\left|x\right|=0\Rightarrow x=0}$ .

Έτσι, το σύνολο $\displaystyle{\Lambda}$ των λύσεων της εξίσωσης περιγράφεται ως εξής.

$\displaystyle{\Lambda=\begin{cases} \left\{\alpha-1,1-\alpha\right\}, \alpha<1\\ \left\{0\right\}, \alpha=1\\ \varnothing, \alpha>1 \end{cases}}$

#6

parmenides51 έγραψε:1.(i) Να βρείτε τις τιμές των ρητών αριθμών $\displaystyle{\alpha ,\beta }$ για τις οποίες ο αριθμός $\displaystyle{\alpha +\beta \sqrt{10}}$ είναι ρητός.
(ii) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{x = \sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}}$ είναι άρρητος.

(i) Έστω $\displaystyle{a+\beta \sqrt{10}=p}$ , με $\displaystyle{p}$ ρητό. Τότε: $\displaystyle{\beta \sqrt{10}=p-a}$ . Αν υποθέσουμε ότι $\displaystyle{\beta \neq 0}$ , τότε

$\displaystyle{\sqrt{10}=\frac{p-a}{\beta}}$ , που είναι άτοπο, αφού το πρώτο μέλος είναι άρρητος και το δεύτερο ρητός.

Άρα πρέπει $\displaystyle{\beta =0}$ . Τότε έχουμε $\displaystyle{a +\beta \sqrt{10}=a}$ , δηλαδή ρητός.

Συνεπώς, πρέπει να είναι $\displaystyle{\beta =0}$ και $\displaystyle{a}$ τυχαίος ρητός.

(ιι) Έχουμε: $\displaystyle{x^2 =5+\sqrt{10}+\frac{1}{2}\Rightarrow \sqrt{10}=x^2 -\frac{11}{2}}$

Αν ο $\displaystyle{x}$ ήταν ρητός, τότε και ο $\displaystyle{x^2 -\frac{11}{2}}$ , θα ήταν ρητός. Συνεπώς θα είχαμε ότι ένας άρρητος ισούται με

ρητό, πράγμα άτοπο. Άρα ο $\displaystyle{x}$ , είναι άρρητος.

parmenides51 · #7

parmenides51 έγραψε:1.(i) Να βρείτε τις τιμές των ρητών αριθμών $\displaystyle{\alpha ,\beta }$ για τις οποίες ο αριθμός $\displaystyle{\alpha +\beta \sqrt{10}}$ είναι ρητός.
(ii) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{x = \sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}}$ είναι άρρητος.

διαφορετικά

(i) Έχουμε πως οι $\displaystyle{\alpha ,\beta }$ είναι ρητοί και ο $\displaystyle{\sqrt{10}}$ άρρητος.

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{\beta \ne 0}$ τότε $\displaystyle{\beta \sqrt{10}=}$ ρητός $\displaystyle{\cdot }$ άρρητος $\displaystyle{=}$ άρρητος

οπότε $\displaystyle{\alpha +\beta \sqrt{10}=}$ ρητός $\displaystyle{+}$ άρρητος $\displaystyle{=}$ άρρητος , απορρίπτεται γιατί θέλουμε αποτέλεσμα ρητό αριθμό

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{\beta = 0}$ , τότε $\displaystyle{\alpha +\beta \sqrt{10}=\alpha +0\cdot \sqrt{10}=\alpha +0=\alpha }$ ρητός,

Aρα πρέπει $\displaystyle{\beta = 0}$ και $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{Q}}$ .

ii. Έστω $\displaystyle{x}$ ρητός , τότε $\displaystyle{x^2=\left(\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\sqrt{5}^2+2\sqrt{5}\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}^2}{2^2}=5+\sqrt{10}+\frac{1}{2}=5,5 +\sqrt{10}}$

άρρητος λόγω του (i) ερωτήματος (για $\displaystyle{\alpha=5,5}$ και $\displaystyle{\beta =1}$ )

οπότε προκύπτει άτοπο διότι το τετράγωνου ρητού είναι ρητός,

άρα ο αριθμός $\displaystyle{x}$ είναι άρρητος,

#8

parmenides51 έγραψε:
parmenides51 έγραψε:1.(i) Να βρείτε τις τιμές των ρητών αριθμών $\displaystyle{\alpha ,\beta }$ για τις οποίες ο αριθμός $\displaystyle{\alpha +\beta \sqrt{10}}$ είναι ρητός.
(ii) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{x = \sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}}$ είναι άρρητος.
διαφορετικά

Σωστά, αλλά δεν βλέπω σε τι διαφέρουν οι λύσεις. Χάνω κάτι;

Μ.

parmenides51 · #9

νομίζω πως έχουν μερικές διαφορές κι ας μην είναι επί της ουσίας

πρώτον δεν απομονώθηκε η ρίζα όπως στην λύση του Δημήτρη
και δεύτερον χρησιμοποιήθηκε το πρώτο ερώτημα για την επίλυση του δευτέρου

gavrilos · #10

parmenides51 έγραψε: 2. Να προσδιορίσετε τις λύσεις της εξίσωσης $\displaystyle{\left(| x |- 2\right)2 = x^2 + 4\alpha}$ , για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού $\displaystyle{\alpha}$ .

Είναι $\displaystyle{(|x|-2)^{2}}$ .

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2010 - Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση