ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

#1

ΘΕΜΑ 1 . Οι σελίδες ενός βιβλίου είναι αριθμημένες με διαδοχικούς αριθμούς $\displaystyle{1 , 2 , 3 , ...}$ . Από την πρώτη μέχρι την τελευταία σελίδα χρησιμοποιήθηκαν $\displaystyle{4909}$ ψηφία. Να βρεθεί πόσες σελίδες έχει το βιβλίο.

ΘΕΜΑ 2. Έστω $\displaystyle{a=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ ... +\frac{1}{1996}}$

$\displaystyle{b=1+\frac{2}{4}+\frac{4}{6}+\frac{6}{8}+ ... +\frac{3990}{3992}}$

Να υπολογιστεί το $\displaystyle{a+b}$

ΘΕΜΑ 3. Έστω τετράγωνο $\displaystyle{KLMN}$ πλευράς $\displaystyle{21}$ και $\displaystyle{A , B , C , D}$ σημεία των $\displaystyle{KL , LM , MN , NK}$ ώστε
$\displaystyle{KA=9, LB=5 , MC=12 , ND=13}$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{AD+DB+1>AB+AC}$

ΘΕΜΑ 4. Από τους $\displaystyle{18}$ αριθμούς $\displaystyle{1 , 2 , 3 , ... , 18}$ επιλέγουμε στην τύχη τέσσερις διαφορετικούς. Να δειχθεί ότι από αυτούς τους τέσσερις υπάρχουν δύο, έστω οι $\displaystyle{a , b}$ με $\displaystyle{0<a-b\leq 5}$

Έγινε διόρθωση σε τυπογραφικό λάθος στο τέταρτο θέμα

dr.tasos · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:
ΘΕΜΑ 2. Έστω $\displaystyle{a=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ ... +\frac{1}{1996}}$

$\displaystyle{b=1+\frac{2}{4}+\frac{4}{6}+\frac{6}{8}+ ... +\frac{3990}{3992}}$

Να υπολογιστεί το $\displaystyle{a+b}$

Θεμα 2
παρατηρώ
$\displaystyle{ a=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+ ... +\frac{1}{1996} }$ και $\displaystyle{ b=1+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+ ... +\frac{1995}{1996} }$ οποτε με προσθεση κατα μελη τα κλασματα θα γινονται μοναδες αρα $\displaystyle{ a+b=2+1995=1997 }$

#3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΘΕΜΑ 4. Από τους $\displaystyle{18}$ αριθμούς $\displaystyle{1 , 2 , 3 , ... , 18}$ επιλέγουμε στην τύχη τέσσερις διαφορετικούς. Να δειχθεί ότι από αυτούς τους τέσσερις υπάρχουν δύο, έστω οι $\displaystyle{a , b}$ με $\displaystyle{0<a-b\leq 5}$

Έστω

οι επιλεγμένοι αριθμοί. Θα υποθέσουμε ότι το ζητούμενο δεν ισχύει για να καταλήξουμε σε άτοπο.

Πρέπει $y \geqslant x+6$ αφού αλλιώς μπορούμε να πάρουμε a=x,b=y

και θα ισχύει ότι $0 < a-b \leqslant 5$ . Ομοίως πρέπει $z \geqslant y+6$ και $w \geqslant z+6$ . Αλλά τότε θα είχαμε $w \geqslant z+6 \geqslant y+12 \geqslant x+18 \geqslant 19$ , άτοπο.

ΦΕΡΡΑΙΟΣ · #4

ΘΕΜΑ 1 . Οι σελίδες ενός βιβλίου είναι αριθμημένες με διαδοχικούς αριθμούς 1,2,3... . Από την πρώτη μέχρι την τελευταία σελίδα χρησιμοποιήθηκαν 4909 ψηφία. Να βρεθεί πόσες σελίδες έχει το βιβλίο.

Για την αρίθμηση των σελίδων 1 έως 9 χρειάζονται 9 ψηφία.
Για την αρίθμηση των σελίδων 10 έως 99, χρειάζονται 90∙2=180 ψηφία.
Για την αρίθμηση των σελίδων 100 έως 999 χρειάζονται 900∙3=2700 ψηφία.
Άρα μέχρι την σελίδα 999 χρειάζονται: 9+180+2700=2889 ψηφία.
Τα υπόλοιπα ψηφία είναι 4909-2889=2020 ψηφία χρησιμοποιήθηκαν για την αρίθμηση των σελίδων 1000 και πάνω.
Αφού οι αριθμοί είναι τετραψήφιοι 2020:4=505
Άρα 999+505=1504 σελίδες.

Karanus · #5

ΘΕΜΑ 4ο
Σχηματίζω τις εξής τρείς ομάδες αριθμών: (1,2,3,4,5,6) 1η ομάδα, ( 7,8,9,10,11,12) 2η ομάδα και (13,14,15,16,17,18) 3η ομάδα.
Στην κάθε ομάδα ξεχωριστά, το ζητούμενο ισχύει, εξετάζοντας το μικρότερο και το μεγαλύτερο αριθμό από κάθε ομάδα δηλ. το 1 και 6 , το 7 και το 12, το 13 και το 18.
Άρα εάν επιλέξω τέσσερεις αριθμούς τυχαίους από τις τρείς αυτές ομάδες ,τότε σίγουρα οι δύο ,θα ανήκουν στην ίδια ομάδα, άρα για αυτούς τους δύο θα ισχύει το ζητούμενο.

#6

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΘΕΜΑ 3. Έστω τετράγωνο $\displaystyle{KLMN}$ πλευράς $\displaystyle{21}$ και $\displaystyle{A , B , C , D}$ σημεία των $\displaystyle{KL , LM , MN , NK}$ ώστε
$\displaystyle{KA=9, LB=5 , MC=12 , ND=13}$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{AD+DB+1>AB+AC}$

Ας προσθέσει κάποιος ένα σχήμα. Από πυθαγόρειο έχουμε $(AB) = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$ . Επίσης η (AC)

είναι παράλληλη της

οπότε

. Θέλουμε λοιπόν να δείξουμε ότι (AD) +(DB) > 33

. Πάλι από πυθαγόρειο έχουμε $(AD) = \sqrt{81 + 64} = \sqrt{145} > 12$ . Επίσης (DB) > (KL) = 21

. Άρα τελικά (AD) + (DB) > 33

και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

parmenides51 · #7

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε: ΘΕΜΑ 3. Έστω τετράγωνο $\displaystyle{KLMN}$ πλευράς $\displaystyle{21}$ και $\displaystyle{A , B , C , D}$ σημεία των $\displaystyle{KL , LM , MN , NK}$ ώστε
$\displaystyle{KA=9, LB=5 , MC=12 , ND=13}$ . Να δειχθεί ότι $\displaystyle{AD+DB+1>AB+AC}$

: Eykleidhs 1996 3o.PNG (4.96 KiB) Προβλήθηκε 1593 φορές

Demetres έγραψε: Από πυθαγόρειο έχουμε $(AB) = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13$ . Επίσης η είναι παράλληλη της οπότε . Θέλουμε λοιπόν να δείξουμε ότι . Πάλι από πυθαγόρειο έχουμε $(AD) = \sqrt{81 + 64} = \sqrt{145} > 12$ . Επίσης . Άρα τελικά και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΘΕΜΑ 4. Από τους $\displaystyle{18}$ αριθμούς $\displaystyle{1 , 2 , 3 , ... , 18}$ επιλέγουμε στην τύχη τέσσερις διαφορετικούς. Να δειχθεί ότι από αυτούς τους τέσσερις υπάρχουν δύο, έστω οι $\displaystyle{a , b}$ με $\displaystyle{0<a-b\leq 5}$

αλλιώς εδώ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1996 - Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση