ΘΑΛΗΣ 2022

sbullubs · #81

: Γεωμετρία_Θαλής.png (32.12 KiB) Προβλήθηκε 4286 φορές

Β Λυκείου Πρόβλημα 3

Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο $\mathrm{B E \Delta}$ . Τα τρίγωνα $\mathrm{A E B}$ και $\mathrm{B \Delta \Gamma}$ είναι ίσα (Π-Γ-Π) και αρα $\widehat{\mathrm{\Delta E A}}=150^o$ . Έτσι, τα τρίγωνα $\mathrm{\Delta E A}$ και $\mathrm{A E B}$ είναι ίσα και άρα $\widehat{\mathrm{A B \Delta}}=70^o$ δηλαδή $\widehat{\mathrm{B A \Delta}}=40^o$ .

[Για την υπάρξη και μοναδικότητα του σημείου $\mathrm{\Delta}$ χρησιμοποίησα κι εγώ γεωμετρικούς τόπους.]

i.m. · #82

Καλησπέρα σας!

Σχετικά με τα θέματα της B Γυμνασίου του Θαλή 2022 θα ήθελα να επισημάνω, ότι ήταν εκτός της ύλης όπως αναφέρεται στον κανονισμό της μαθητικής εταιρείας. Ο Θαλής συμπεριλαμβάνει την ύλη των προηγούμενων χρόνων, όπως έχω διαβάσει από το site της Ε.Μ.Ε.
1. Το πρώτο θέμα, είχε αργεβρική παράσταση με ιδιότητες δυνάμεων. Οι ιδιότητες δυνάμεων δεν ήταν στην ύλη της Α Γυμνασίου τη σχολική χρονιά του 2021-2022.
2. Στο πρόβλημα της Γεωμετρίας, αν και πολύ καλό, το πρώτο ερώτημα ζητούσε τις γωνίες τριγώνου σε συνάρτηση με μία γωνία. Τα παιδιά διδάσκονται τις μεταβλητές και τις εξισώσεις στη Β Γυμνασίου και όχι από την Α Γυμνασίου. Πολλά παιδιά υποθέτω ότι θα μπερδεύτηκαν με αυτό. Στην ίδια άσκηση εάν δίνονταν οι μοίρες της συγκεκριμένης γωνίας και ζητούσαν τις γωνίες του τριγώνου δεν νομίζω ότι θα υστερούσε σε κάτι η άσκηση. Ούτε ένα παιδί που γνώριζε την έννοια ακριβώς έχει περισσότερες μαθηματικές ικανοτητες από ένα παιδί που μπερδεύτηκε με τον όρο.

3. Η τρίτη, πολύ δύσκολη άσκηση, περιείχε ανισότητες με δύο και τρεις μεταβλητές που δεν διδάσκονται στην Α Γυμνασίου.
Δεν ξέρω εάν μπορεί ένας μαθητής της Β Γυμνασίου να την λύσει.

Αυτή είναι η άποψή μου, όχι ως μαθηματικός, αλλά ως γονιός που μου αρέσουν πολύ τα μαθηματικά.

Εδώ μπορείτε να δείτε την ύλη.

http://iep.edu.gr/el/graf-b-yliko-2021-2022/gymnasio

Al.Koutsouridis · #83

i.m. έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 14, 2022 11:39 pm

2. Στο πρόβλημα της Γεωμετρίας, αν και πολύ καλό, το πρώτο ερώτημα ζητούσε τις γωνίες τριγώνου σε συνάρτηση με μία γωνία. Τα παιδιά διδάσκονται τις μεταβλητές και τις εξισώσεις στη Β Γυμνασίου και όχι από την Α Γυμνασίου. Πολλά παιδιά υποθέτω ότι θα μπερδεύτηκαν με αυτό. Στην ίδια άσκηση εάν δίνονταν οι μοίρες της συγκεκριμένης γωνίας και ζητούσαν τις γωνίες του τριγώνου δεν νομίζω ότι θα στερούσε σε κάτι η άσκηση. Ούτε ένα παιδί που γνώριζε την έννοια ακριβώς έχει περισσότερες μαθηματικές ικανοτητες από ένα παιδί που μπερδεύτηκε με τον όρο.

Ευχάριστο πολύ, ότι γονείς παρακολουθούν το

και μάλιστα κάνουν παρατηρήσεις αυτής της μορφής. Αυτό ακριβώς ήταν ένα από τα σχόλια που ήθελα να κάνω, αλλά δε βρήκα το χρόνο. Είχα κάνει αναζήτηση στο βιβλίο της Α’ Γυμνασίου και δεν υπάρχει ούτε η λέξη «συναρτήσει», ούτε η λέξη «συνάρτηση». Σαν μαθητή θα με μπέρδευε αν το συναντούσα πρώτη φορά. Και πολύ σωστά αναφέρετε ότι η άσκηση δεν υστερεί σε τίποτα αν δοθεί συγκεκριμένο μέτρο γωνίας.

Ως αναφορά τα πρώτα θέματα των τάξεων του γυμνασίου, νομίζω πρέπει σιγά σιγά να απεγκλωβιστεί η επιτροπή από αυτή την μορφή τους. Δηλαδή άσκηση κατανόησης της ύλης, που ταιριάζει περισσότερο για προαγωγική εξέταση. Η ασκήσεις αυτές είναι τεχνικές πάνω στην τρέχουσα ύλη και δεν αναδεικνύουν κάποιο μαθηματικό ταλέντο παρά το πόσο επιμελής είναι ένας μαθητής μάλλον. Συρρικνώνοντας ένας από τους σκοπούς του διαγωνισμού από το πρώτο κι όλα θέμα, στις ευαίσθητες μικρές τάξεις.

zyfprois · #84

Εδω θα βρείτε τα θέματα του διαγωνισμού Θαλή που ειδικά για τη Χίο και την Καστοριά έγινε στις 12 Νοεμβρίου 2022 λόγω τοπικής αργιας στις 11
Σύντομα ήρθε και μια διορθωση
Στο 2ο θέμα τησ Β΄ Λυκείου πρέπει να γίνει η διόρθωση:
¨ το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ" να γίνει: ¨το ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ"

Manolis Petrakis · #85

zyfprois έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 15, 2022 7:56 pm
Εδω θα βρείτε τα θέματα του διαγωνισμού Θαλή που ειδικά για τη Χίο και την Καστοριά έγινε στις 12 Νοεμβρίου 2022 λόγω τοπικής αργιας στις 11
Σύντομα ήρθε και μια διορθωση
Στο 2ο θέμα τησ Β΄ Λυκείου πρέπει να γίνει η διόρθωση:
¨ το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ" να γίνει: ¨το ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ"

Πρόβλημα 1 - Β' Λυκείου
$\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}$
$=\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc}{abc}$
$=\dfrac{ab+bc+ca}{abc}\cdot(a+b+c)-1$
$=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)(a+b+c)-1$
=2022-1=2021

.

Manolis Petrakis · #86

Πρόβλημα 1 - Γ' Λυκείου
Αξιοποιώντας τη δοθείσα σχέση (για

και

) έχουμε:

Αφαιρούμε κατά μέλη και παίρνουμε f(n)=4n-2

για κάθε $n\in \mathbb{N}^*$ .
Άρα f(n+1)=4(n+1)-2=4n+2

Επομένως:
$f(n)f(n+1)\leq 2300$
$\Leftrightarrow (4n-2)(4n+2)\leq 2300$
$\Leftrightarrow 16n^2-4\leq 2300$
$\Leftrightarrow 16n^2\leq 2304$
$\Leftrightarrow n^2\leq 144$
$\Leftrightarrow n\leq 12$
Δηλαδή το

μπορεί να πάρει

τιμές (τις 1,2,3,...,12

).

Manolis Petrakis · #87

Πρόβλημα 1 - Α' Λυκείου
1ος τρόπος
Η αρχική γράφεται:
(5x^2-10x+5)+(3y^2-12y+12)+(20x^2-20xy+5y^2)=0

$\Leftrightarrow 5(x^2-2x+1)+3(y^2-4y+4)+5(4x^2-4xy+y^2)=0$
$\Leftrightarrow 5(x-1)^2+3(y-2)^2+5(2x-y)^2=0$
Άρα πρέπει x-1=0,y-2=0

και

δηλαδή

.

2ος τρόπος
25x^2-(20y+10)x+8y^2-12y+17=0

Πρέπει: $\Delta\geq 0\Leftrightarrow (20y+10)^2-4\cdot 25\cdot (8y^2-12y+17)\geq 0$
$\Leftrightarrow 400y^2+400y+100-800y^2+1200y-1700\geq 0$
$\Leftrightarrow-400y^2+1600y-1600\geq 0$
$\Leftrightarrow 400(-y^2+4y-4)\geq 0$
$\Leftrightarrow -400(y-2)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow y=2$
Άρα $\Delta =0$ και $x=\dfrac{20y+10}{2\cdot 25}=1$ και επομένως (x,y)=(1,2)

Manolis Petrakis · #88

Πρόβλημα 2 - Γ' Λυκείου
Θέτουμε $\dfrac{1}{x}=a,-\dfrac{3}{y}=b,-\dfrac{1}{z}=c$
Άρα οι δύο σχέσεις γράφονται:
a+b+c=1

$-ab-bc-ca=-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow ab+bc+ca=\dfrac{1}{3}$
Όμως $(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)=1^2-3\cdot \dfrac{1}{3}$
$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)-3(ab+bc+ca)=0$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$
$\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
$\Leftrightarrow a=b=c$
Αφού a+b+c=1

πρέπει $a=b=c=\dfrac{1}{3}$
Αντικαθιστώντας έχουμε (x,y,z)=(3,-9,-3)

spatharas · #89

ΕΜΕ 83ος Θαλής Γυμνάσιο τάξη Β' - Ενδεικτικές απαντήσεις.pdf: (301.59 KiB) Μεταφορτώθηκε 211 φορές

CarlusMagnsenYourDad22 · #90

zyfprois έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 15, 2022 7:56 pm
Εδω θα βρείτε τα θέματα του διαγωνισμού Θαλή που ειδικά για τη Χίο και την Καστοριά έγινε στις 12 Νοεμβρίου 2022 λόγω τοπικής αργιας στις 11
Σύντομα ήρθε και μια διορθωση
Στο 2ο θέμα τησ Β΄ Λυκείου πρέπει να γίνει η διόρθωση:
¨ το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ" να γίνει: ¨το ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ"

Νομίζω γενικά πολύ πιο ωραία θέματα από τα κανονικά

Henri van Aubel · #91

Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3
Θα πρέπει ο $\displaystyle \frac{3\alpha }{2\alpha +\beta }\in \mathbb{N}^{\ast }.$ Οπότε και ο $\displaystyle \frac{6\alpha }{2\alpha +\beta }\in \mathbb{N}^{\ast }$ . Έτσι και ο $\displaystyle \frac{3\left ( 2\alpha +\beta \right )-6\alpha }{2\alpha +\beta }=\frac{3\beta }{2\alpha +\beta }\in \mathbb{N}^{\ast }.$ Συνεπώς τελικά $2\alpha +\beta \leq 3\alpha \Leftrightarrow \boxed{\alpha \geq \beta}$ και ακόμα ισχύει ότι $2\alpha +\beta \leq 3\beta \Leftrightarrow \boxed{\alpha \leq \beta }$ . Έτσι $\alpha =\beta$ και άρα $\displaystyle A=\frac{5\alpha +\beta }{2\alpha +\beta }=\frac{6\alpha }{3\alpha }=2.$

Henri van Aubel · #92

Από Θ. διχοτόμου στο $\vartriangle ABD$ έχω $\displaystyle \frac{DZ}{BZ}=\frac{AD}{AB}=2$ . Όμως το

βρίσκεται στη μεσοκάθετο της BC,

άρα

Συνεπώς τελικά έχω $\displaystyle \frac{DZ}{CZ}=2$ και τέλος.

ΘΕΜΑ 2 Β ΛΥΚΕΙΟΥ. (Η ΛΥΣΗ ΓΡΑΦΕΤΑΙ ΠΙΟ ΠΑΝΩ)

Maria-Eleni Nikolaou · #93

Πρόβλημα 3 - Γ ' Λυκείου

Έστω

το περίκεντρο του $\triangle{ABC}$ . Ισχύει ότι AH=2OM

(Αποδεικνύεται αν φέρουμε το αντιδιαμετρικό του

ως προς

, έστω

, έπειτα δείχνουμε ότι AHCS

παραλληλόγραμμο και από το $\triangle{BCS}$ είναι $OM=\dfrac{CS}{2}$ )

Έστω $\Omega$ το περίκεντρο του $\triangle{BHC}$ . Ομοίως στο $\triangle{BHC}$ το

ορθόκεντρο οπότε $AH=2\Omega M$

Έτσι, $AH\Omega O$ παραλληλόγραμμο. Όμως $\Omega H\perp \varepsilon \Rightarrow NM\perp\varepsilon$ και η απόδειξη ολοκληρώνεται.

elenipappa · #94

zyfprois έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 15, 2022 7:56 pm
Εδω θα βρείτε τα θέματα του διαγωνισμού Θαλή που ειδικά για τη Χίο και την Καστοριά έγινε στις 12 Νοεμβρίου 2022 λόγω τοπικής αργιας στις 11
Σύντομα ήρθε και μια διορθωση
Στο 2ο θέμα τησ Β΄ Λυκείου πρέπει να γίνει η διόρθωση:
¨ το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ" να γίνει: ¨το ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ"

Π3 ΓΓ

άρα θα χρησιμοποιήσουμε τους διαιρέτες του 16 που δημιουργούνται. Όμως τότε θα έχουμε

ίδιους παράγοντες σε κάθε περίπτωση, κάτι που απαγορεύεται λόγω του περιορισμού. Παρατηρούμε ότι αφού το γινόμενο είναι θετικό, τότε θα μπορούμε να έχουμε

αρνητικούς παράγοντες. Άρα διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:
$(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )= (6,4,7,-3),(6,4,3,13),(6,4,1,9),(3,7,1,6),(3,7,9,4)$
Άρα έχουμε τα αθροίσματα $\alpha +\beta +\gamma +\delta =10$ , $\alpha +\beta +\gamma +\delta =26$ , $\alpha +\beta +\gamma +\delta =20$ , $\alpha +\beta +\gamma +\delta =17$ , $\alpha +\beta +\gamma +\delta =23$ αντίστοιχα

Henri van Aubel · #95

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ.
α) Λόγω AB//CD

έχω $\angle BDC=\varphi .$ Λόγω BC=CD

έχω $\angle BDC=\angle DBC.$ Συνεπώς καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι $\angle DBC=\varphi \Leftrightarrow \angle ABC=2\varphi :(1).$ Λόγω AD=AE

έχω $\angle AED=\omega .$ Συνεπώς είναι $\angle BAC=\omega -\varphi :(2).$ Επίσης είναι $\angle BAD=180^\circ-\omega -\varphi :(3).$ Άρα από (1),(3) βγαίνει $\angle DZH=180^\circ-2\varphi -\left ( 180^\circ-\omega -\varphi \right )=\omega -\varphi =^{(2)}\angle BAC$ και τελείωσε η απόδειξη του πρώτου ερωτήματος.

β) Αρκεί να αποδειχθεί ότι AC=DZ.

(για να βγουν ίσα τα ορθογώνια τρίγωνα DZH,ΓΑΘ τα οποία έχουμε αποδείξει ότι είναι όμοια). Όμως αυτό ισχύει λόγω $\vartriangle BAC=\vartriangle DZC(\angle BAC=\angle DZC,\angle ABC=\angle DCZ,BC=CD).$ Άρα τελειώσαμε.

katapliksi · #96

Με απογοήτευσαν αφάνταστα τα θέματα του γυμνασίου. Καθώς δεν έχω πολυετή εμπειρία στην εκπαίδευση και δη σε διαγωνιστικά μαθηματικά, θα ήθελα να ακούσω τις απόψεις εμπειρότερων συναδέλφων. Προσπαθώ να καταλάβω γιατί διάλεξε η επιτροπή αυτά τα θέματα. Ποιος είναι ο σκοπός εν τέλει του Θαλή και σε ποιους μαθητές απευθύνεται;

Με την περιορισμένη εμπειρία που έχω, "καλοί" μαθητές που δεν έχουν κάνει προετοιμασία δεν πιάνουν 50%. Επομένως, επιστρέφουμε στο ερώτημα, ο διαγωνισμός τελικά σε ποιους απευθύνεται;

Μερικά σχόλια για τα θέματα του γυμνασίου: δεν είμαι λάτρης του 1ου θέματος τόσο στη Β όσο και στη Γ, που η επιτροπή λατρεύει σχεδόν πάντα να βάζει. Είναι εντελώς μηχανικό, χωρίς ίχνος δημιουργικής σκέψης. Για το 2ο θέμα της Β, όπως γράψανε και παραπάνω, θα προτιμούσα να δίνουν νούμερο στη θέση της μεταβλητής ω. Όσον αφορά το 3ο θέμα της Β, το θεωρώ αστείο να είναι θέμα Θαλή. Για τη Γ, η γεωμετρία μου φάνηκε τραβηγμένη και το 3ο θέμα με τη διπλή ανισότητα (από τη στιγμή που δε διδάσκονται καν οι ανισότητες στη Β πλέον) και τη διαιρετότητα εκτός πραγματικότητας. Επίσης, όπως και πέρυσι, ο αριθμός των θεμάτων έχει μειωθεί όπως και ο διαθέσιμος χρόνος, κάτι το οποίο αυξάνει τη δυσκολία. Σε αντίθεση με τα επίσημα θέματα, αυτά που δόθηκαν στη Χίο πιστεύω ότι ήταν πιο κοντά στο πνεύμα του διαγωνισμού. Και οι ασκήσεις με τη θεωρία αριθμών ήταν πιο βατές και βασίζονταν σε ύλη που έχουν διδαχτεί οι μαθητές και οι γεωμετρίες δεν ήταν τόσο τραβηγμένες.

Καταλαβαίνω ότι είναι διαγωνισμός και η επιτροπή μπορεί να θέσει τη βάση συναρτήσει της δυσκολίας των θεμάτων, αλλά γιατί να αποθαρρύνουν τόσο πολύ τους μαθητές; Ειδικά, τα τελευταία χρόνια που λόγω της τηλεκπαίδευσης δημιουργήθηκαν κενά ακόμα και σε παιδιά που αγαπούσαν το μάθημα;

fogsteel · #97

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μήπως το θέμα της γεωμετρίας της B Λυκείου έχει κάποιο λάθος ?

Ιστοσελίδα · #98

Α' Λυκείου. Πρόβλημα 3:
Άσκηση του σχολικού βιβλίου: Αν a,b,c>0

και $\dfrac{a}{b}>1$ τότε $\dfrac{a+c}{b+c}<\dfrac{a}{b}$

Είναι $\dfrac{5\alpha}{2\alpha}=\dfrac{5}{2}>1$ άρα $A=\dfrac{5\alpha+\beta}{2\alpha+\beta}<\dfrac{5}{2}$

Ο

είναι θετικός ακέραιος, άρα A=1

ή

. Με έλεγχο βρίσκουμε A=2

όταν $\alpha=\beta$ .

#99

fogsteel έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 17, 2022 10:18 pm

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΓ προς
το μέρος του Γ κατά τμήμα ΓΔ = ΑΓ. Η διχοτόμος της γωνίας Αˆ τέμνει την
πλευρά ΒΓ στο σημείο Ε και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ στο σημείο Ζ. Να
αποδείξετε ότι: ∆Ζ = ⋅ ΖΓ 2 .
Μήπως το θέμα της γεωμετρίας της B Λυκείου έχει κάποιο λάθος ?

Διάβασε το post #84 προσεκτικά.

#100

fogsteel έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 17, 2022 10:18 pm

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΓ προς
το μέρος του Γ κατά τμήμα ΓΔ = ΑΓ. Η διχοτόμος της γωνίας Αˆ τέμνει την
πλευρά ΒΓ στο σημείο Ε και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ στο σημείο Ζ. Να
αποδείξετε ότι: ∆Ζ = ⋅ ΖΓ 2 .
Μήπως το θέμα της γεωμετρίας της B Λυκείου έχει κάποιο λάθος ?

Ναι υπάρχει, τυπογραφικό λάθος, που όμως είναι προφανές ( βλέπω απαντήθηκε απο τον Κ.Αχιλλέα) . Η σωστή εκφώνηση είναι κάπως έτσι:

Δίδεται ισοσκελές τρίγωνο ABC

$\left( {AB = AC} \right)$ . Προεκτείνουμε την πλευρά

προς το μέρος του

κατά τμήμα CD = AC.

Η διχοτόμος της γωνίας $\widehat {{A_{}}}$ τέμνει την πλευρά

στο

και το ευθύγραμμο τμήμα

στο

.

Να αποδείξετε ότι DZ = 2ZC

.

Λύση
Η διχοτόμος

είναι και μεσοκάθετος στο

γιατί το $\vartriangle ABC$ είναι ισοσκελές , οπότε η

είναι διχοτόμος του ισοσκελούς $\vartriangle ZBC$ .

Εν γένει το τετράπλευρο ABZC

είναι «χαρταετός». Θα είναι λοιπόν : $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}\,\,\left( 1 \right)$ .

Τώρα επειδή μας ζητάνε να δείξουμε ότι ZD = 2ZC

πρέπει ( ως συνήθως) να παρουσιάσουμε το 2ZC

ως ένα ευθύγραμμο τμήμα ,

Προεκτείνω το

προς το μέρος του

κατά τμήμα : CT = ZC

. Μα τότε το τετράπλευρο AZDT

είναι παραλληλόγραμμο .

Αφού τώρα οι $AZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TD$ είναι παράλληλες ( και ίσες) θα έχουμε:

: θαλής 22_extra_Χιος Β λυκείου.png (15.4 KiB) Προβλήθηκε 3543 φορές

$\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_4}}$ ( εντός εναλλάξ των παραλλήλων $AZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DT$ που τέμνονται από την

)

$\widehat {{a_3}} = \widehat {{a_5}}$ ( εντός , εκτός και επί τα αυτά, των παραλλήλων $AZ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DT$ που τέμνονται από την

).

Από τις δύο προηγούμενες σχέσεις και λόγω της $\left( 1 \right)$ έχω: $\boxed{\widehat {{a_4}} = \widehat {{a_5}}}$ ,

σχέση που μας εξασφαλίζει ότι το $\vartriangle ZDT$ είναι ισοσκελές με κορυφή το

, δηλαδή :

ZD = ZT = ZC + CT = ZC + ZC = 2ZC

( αυτό που θέλαμε)

ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Μέλη σε σύνδεση