ΘΑΛΗΣ 2016

JimNt. · #21

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:Από την Γ γυμνασίου το 4 β μου φάνηκε λίγο δύσκολο (αλλά το έλυσα). Τι πιστεύετε;

Πράγματι ήταν δυσκολούτσικο. Θα μπορούσε να ήταν κάλλιστα θέμα Ευκλείδη.

Γενικά όμως ήταν ένας πάρα πολύ ωραίος Θαλής αν και λίγο απαιτητικός.

Συμφωνώ.

#22

Μια ακόμα εκδοχή για το 4 της Α Λυκείου:

$\displaystyle{A=2017.2016.2015.2013.2012.2011+2017.2016.2015.(2017.2016.2015-2013.2012.2011) =}$

$\displaystyle{=2017.2016.2015.(2013.2012.2011+2017.2016.2015-2013.2012.2011)=(2017.2016.2015)^2}$

#23

Καλημέρα σε όλους. Καλή επιτυχία στους μαθητές που Αγωνίστηκαν. Ελπίζω προτίστως να χάρηκαν τη Συμμετοχή τους!

Μια ακόμα λύση στη Γεωμετρία της Β΄ Λυκείου, με εργαλεία που δεν έχουν ακόμα διδαχθεί (αρχές Νοεμβρίου) οι μαθητές της Β΄ Λυκείου.

: 12-11-2016 Γεωμετρία.png (33.19 KiB) Προβλήθηκε 3357 φορές

Έστω

.

Τότε

, οπότε

Για $\displaystyle a \ne 2$ είναι $\displaystyle AE:\;\;y - a = \frac{{a - 1}}{{1 - a}}x \Leftrightarrow y = - x + a$ και $\displaystyle CZ:\;y = \frac{a}{{a - 2}}x - \frac{a}{{a - 2}}$ .

Τέμνονται στο $\displaystyle K\left( {\frac{a}{2},\;\frac{a}{2}} \right)$ .

Άρα $\displaystyle \mathop {MK}\limits^ \to = \left( {\frac{a}{2},\;\frac{a}{2}} \right),\;\;\mathop {DZ}\limits^ \to = \left( {a - 1,\;a - 1} \right)$ που είναι προφανώς παράλληλα.

Για a=2

είναι

, οπότε τέμνονται στο $\displaystyle K\left( {\frac{1}{2},\;\frac{1}{2}} \right)$ κ.ο.κ.

kostas232 · #24

Καλημέρα σε όλους!

Συμμετείχα σήμερα μαζί με τους υπόλοιπους μαθητές της Γ. Κατά τη γνώμη μου το Α' Θέμα και η Γεωμετρία ήταν ακριβώς όπως έπρεπε. Αυτά ήταν τα θέματα που έλυσα. Το τέταρτο, παρ' όλο που δεν το έλυσα, τώρα που βλέπω τη λύση του cretanman μπορώ να πω ότι ίσως ήταν χαμηλότερης δυσκολίας από το τρίτο θέμα. Για το συγκεκριμένο είμαι αρκετά περίεργος να δω κάποια λύση...

#25

3ο της Γ Λυκείου

Ελπίζω να έχω κάνει σωστές πράξεις, εκτός αν υπάρχει κάτι πολύ σύντομο που αγνοώ.

Έστω P(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0

Από τις δοσμένες σχέσεις και με αρκετές πράξεις προκύπτει η σχέση όλων των συντελεστών με τη βοήθεια του a_0

Έτσι $a_1=-\dfrac{25a_0}{12} \ \ (1), a_2=\dfrac{35a_0+24}{24} \ \ (2) , a_3=-\dfrac{5a_0}{12} \ \ (3), a_4=\dfrac{a_0}{24} \ \ (4)$

και με πράξεις προκύπτει ότι P(5)=a_0+25

Λόγω των συνθηκών $a_i\leq 10$ παίρνουμε από την σχέση (2)

ότι $a_0\leq \dfrac{216}{35}$ (όταν a_2=10

) κι έτσι $P(5)\leq \dfrac{216}{35}+25$ κι έτσι η $\dfrac{216}{35}+25$ είναι η μεγαλύτερη δυνατή τιμή για το P(5)

.

Επίσης λόγω της (1)

παίρνουμε $a_0\geq -\dfrac{24}{5}$ άρα $P(5)\geq -\dfrac{24}{5}+25$ κι έτσι η $-\dfrac{24}{5}+25$ είναι η μικρότερη δυνατή τιμή για P(5)

(όταν

).

Αλέξανδρος

karbo · #26

tha mporouse kapoios na anebasei th lush apo to 4 thema b gymnasioy thalis 2016? eyxaristw

#27

ΘΕΜΑ 3-Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θεωρούμε το πολυώνυμο

$\displaystyle{P(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+x^2=ax^4-10ax^3+(35a+1)x^2-50ax+24a}$

το οποίο προφανώς ικανοποιεί τις δοθείσες ισότητες.

Θέlουμε $a\leq 10$ , $-10a\leq 10$ , $35a+1\leq 10$ , $-50a\leq 10$ και $24a\leq 10$

Οι κοινές λύσεις αυτών των ανισοτήτων είναι $-\dfrac{1}{5}\leq a\leq \dfrac{9}{35}$ .

Αφού P(5)=24a+25

βλέπουμε ότι $\dfrac{101}{5}\leq P(5)\leq 31+\dfrac{6}{35}$ .

Συνεπώς, η ελάχιστη τιμή του P(5)

είναι $\dfrac{101}{5}$ και η μέγιστη $31+\dfrac{6}{35}.$

Φιλικά,

Αχιλλέας

#28

Γεωμετρία Γ Γυμνασίου

: Θαλής G.ΙΙI.2016.png (22.8 KiB) Προβλήθηκε 3331 φορές

α) Το τρίγωνο $OK\Gamma$ είναι ισοσκελές καθώς επίσης και το $K\Delta E$ και από το

άθροισμα γωνιών τριγώνου εύκολα βγαίνει ότι $\displaystyle{{\rm K}\widehat \Delta {\rm E} = \frac{{{{180}^0} - {{67,5}^0}}}{2} = {56,25^0}}$

β) Φέρνω την $\displaystyle{\Gamma {\rm H} \bot {\rm O}{\rm E}}$ και από Πυθαγόρειο θεώρημα έχω $\displaystyle{{\alpha ^2} = 2{\upsilon ^2} \Leftrightarrow \upsilon = \frac{\alpha }{{\sqrt 2 }}}$ ,

οπότε $\displaystyle{({\rm O}\Gamma {\rm E}) = \frac{1}{2}2\alpha \cdot \frac{\alpha }{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow }$ $\boxed{({\rm O}\Gamma {\rm E}) = \frac{{{\alpha ^2}\sqrt 2 }}{2}}$

JimNt. · #29

karbo έγραψε:tha mporouse kapoios na anebasei th lush apo to 4 thema b gymnasioy thalis 2016? eyxaristw

Διαγραφή απάντησης για διαφορετικό θέμα.

kostas.zig · #30

JimNt. έγραψε:
karbo έγραψε:tha mporouse kapoios na anebasei th lush apo to 4 thema b gymnasioy thalis 2016? eyxaristw
Αν δεν κάνω λάθος είναι , όπου φυσικοί

Όλα τα ψηφία λέει είναι 8 ή 9. Οπότε είναι ο 8988

JimNt. · #31

kostas.zig έγραψε:
JimNt. έγραψε:
karbo έγραψε:tha mporouse kapoios na anebasei th lush apo to 4 thema b gymnasioy thalis 2016? eyxaristw
Αν δεν κάνω λάθος είναι , όπου φυσικοί
Όλα τα ψηφία λέει είναι 8 ή 9. Οπότε είναι ο 8988

Συγνώμη αυτή είναι η λύση της Γ. Δεν διάβασα σωστά.

vasisot · #32

Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ , Πρόβλημα 3 .

Έστω ότι οι φίλοι του Γιώργου είναι $\displaystyle{x}$ και ότι ο καθένας πήρε $\displaystyle{a}$ καραμέλες, όπου $\displaystyle{x>2}$ και $\displaystyle{a}$ ακέραιοι. Τότε
$\displaystyle{(x+1)a=450= 2\cdot 3^2 \cdot 5^2}$ και ο Γιώργος πήρε $\displaystyle{a+3\cdot \dfrac{20}{100}\cdot a =1,6 a>120 }$ άρα $\displaystyle{ a>75}$ . Από τα παραπάνω θα έχουμε $\displaystyle{x+1=5 }$ και $\displaystyle{a=90}$ .
Έτσι όλοι μαζί ήταν $\displaystyle{5}$ και ο Γιώργος πήρε $\displaystyle{1,6\cdot90=144}$ καραμέλες.

JimNt. · #33

vasisot έγραψε:Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ , Πρόβλημα 3 .

Έστω ότι οι φίλοι του Γιώργου είναι $\displaystyle{x}$ και ότι ο καθένας πήρε $\displaystyle{a}$ καραμέλες, όπου $\displaystyle{x>2}$ και $\displaystyle{a}$ ακέραιοι. Τότε
$\displaystyle{(x+1)a=450= 2\cdot 3^2 \cdot 5^2}$ και ο Γιώργος πήρε $\displaystyle{a+3\cdot \dfrac{20}{100}\cdot a =1,6 a>120 }$ άρα $\displaystyle{ a>75}$ . Από τα παραπάνω θα έχουμε $\displaystyle{x+1=5 }$ και $\displaystyle{a=90}$ .
Έτσι όλοι μαζί ήταν $\displaystyle{5}$ και ο Γιώργος πήρε $\displaystyle{1,6\cdot90=144}$ καραμέλες.

Διαφορετικά. Μπορούμε να θέσουμε ως

το πλήθος όλων των παιδιών. Έτσι ο καθένας πήρε $\frac{450}{a}$ καραμέλες. Από την εκφώνηση ισχύει ότι ο Γιώργος μετα την επιστροφή έχει:
$3(\frac{450}{a} * \frac{1}{5}) + \frac{450}{a}> 120$ ή
$\frac{720}{a} > 120$ ή
6>a

και επομένως αφού $a \ge 4$ . Θα είναι είτε a=4

είτε

. Όμως επειδή το

δεν διαιρεί το 450

παίρνουμε

#34

Να προσδιορίσετε το ελάχιστο

για το οποίο ισχύει η διατύπωση του προβλήματος 4 της Α Λυκείου.

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #35

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
JimNt. έγραψε:Από την Γ γυμνασίου το 4 β μου φάνηκε λίγο δύσκολο (αλλά το έλυσα). Τι πιστεύετε;
Πράγματι ήταν δυσκολούτσικο. Θα μπορούσε να ήταν κάλλιστα θέμα Ευκλείδη.

Γενικά όμως ήταν ένας πάρα πολύ ωραίος Θαλής αν και λίγο απαιτητικός.

ΟΚ κι από μένα! Λύθηκαν όλα τα θέματα. Συμφωνώ ότι το 4β ερώτημα ήταν δύσκολο για μαθητές που δεν έχουν κάνει ειδική προετοιμασία για Μαθηματικούς Διαγωνισμούς.

Καλά αποτελέσματα σε όλους

!

Little einstein · #36

Νομίζω ότι στο 4ο θέμα της Α Λυκείου το k ισούται με 36

nikos_el · #37

Μήπως υπάρχει το πλάνο βαθμολόγησης του διαγωνισμού;

#38

Μια λύση με Αναλυτική Γεωμετρία στο Πρόβλημα 2 της Γ΄ Λυκείου

: 12-11-2016 Γεωμετρία b.png (22.44 KiB) Προβλήθηκε 3175 φορές

Έστω

.

Αφού $\displaystyle \widehat A = 45^\circ$ , είναι $\displaystyle \widehat {BAD} = 22,5^\circ$ , οπότε $\displaystyle \varepsilon \varphi 22,5^\circ = \frac{{BD}}{{AD}} \Leftrightarrow AD = \frac{1}{{\sqrt 2 - 1}} = \sqrt 2 + 1$ , άρα $\displaystyle A\left( {0,\;\sqrt 2 + 1} \right)$ .

Φέρνω $\displaystyle BE \bot AC$ , οπότε $\displaystyle \widehat {CBE} = 22,5^\circ$ άρα $\displaystyle BE:\;\;y = \varepsilon \varphi 22,5^\circ = \left( {\sqrt 2 - 1} \right)x + \sqrt 2 - 1$ .

Φέρνω $\displaystyle BZ \bot AB$ , οπότε $\displaystyle \widehat {BCZ} = 22,5^\circ$ άρα $\displaystyle CZ:\;\;y = \varepsilon \varphi \left( {180^\circ - 22,5^\circ } \right) = \left( {1 - \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 - 1$ .

Είναι $\displaystyle KA = KB = KC = \sqrt 2$ , οπότε ο περιγεγραμμένος κύκλος του ABC

έχει εξίσωση $\displaystyle {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2$

Η οριζόντια ευθεία y=1

, που διέρχεται από το

τέμνει τις BE, CZ

στα $\displaystyle N\left( { - \sqrt 2 ,\;1} \right),\;\;M\left( {\sqrt 2 ,\;1} \right)$ αντίστοιχα.

Εύκολα επαληθεύουμε ότι τα N, M

επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου και είναι τα μοναδικά που ικανοποιούν τις δοσμένες συνθήκες, ο.ε.δ.

simantiris j. · #39

Καλησπέρα σε όλους και από μένα!
Μια σκιαγράφηση για το 3ο της Γ:Θεωρούμε το πολυώνυμο Q(x)=P(x)-x^2

και παρατηρούμε ότι είναι τετάρτου βαθμού καθώς και ότι Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4)=0

άρα όλες ρίζες του είναι οι αριθμοί 1,2,3,4

.Όπότε $Q(x)=c(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\Leftrightarrow P(x)=x^2+c(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ (1) και με πράξεις καταλήγουμε στο πολυώνυμο του κ.Αχιλλέα.Από εκεί με τη 2η συνθήκη βρίσκουμε άνω και κάτω φράγμα για το

και από (1) P(5)=25+24c

από όπου παίρνουμε τις ανισώσεις που δίνουν τις ζητούμενες τιμές.
Σαν γενικό σχολιασμό,τα θέματα της Γ ήταν πολύ ωραία.Τα 1,2 ήταν βατά όπως έπρεπε,το 3 πρωτότυπο και ωραίο,ενώ το 4ο μια όμορφη θεωρία αριθμών.
Συγχαρητήρια στην επιτροπή και καλά αποτελέσματα σε όλους!

armenakisdimitris · #40

george visvikis έγραψε:Πρόβλημα 2 - Β Λυκείου

Θαλής Β.ΙΙ.2016.png
$\displaystyle{{\rm B}\widehat \Delta \Gamma = {90^0}}$ κι επειδή $\displaystyle{{\rm B}\widehat \Delta {\rm M} = {\rm A}\widehat \Delta {\rm Z} = {45^0}}$ τα σημεία $B, \Delta, Z$ είναι συνευθειακά. Είναι επίσης $\displaystyle{\Delta \Gamma ||{\rm O}{\rm K}}$

(κάθετες στην ίδια ευθεία), οπότε το είναι μέσο του $Z\Gamma$ (αφού το είναι μέσο του $\Delta Z$ ) και το ζητούμενο έπεται.

Γίνεται μήπως να εξηγηθεί με ποιον τρόπο έπεται το ζητούμενο πιο αναλυτικά ;