ΘΑΛΗΣ 2022

STOPJOHN · #101

Καλημέρα

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC

προεκτείνουμε την πλευρά

προς το μέρος του

κατά τμήμα CD=AC

Η διχοτόμος της γωνίας

τέμνει την πλευρά

στο σημείο

και το ευθύγραμμο τμήμα

στο σημείο

Να αποδειχθεί ότι DZ=2ZC

ΛΥΣΗ

Αξιοποιούμε τη συμμετρία δηλαδή κατασκευάζω $DLT\perp AE$ Συνεπώς AT=AD,TB=CD,TC=BD

και το σημείο

είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ATD

Άρα $TZ=2ZC\Rightarrow ZD=2ZC$

fogsteel · #102

achilleas έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 17, 2022 11:35 pm

fogsteel έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 17, 2022 10:18 pm

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΓ προς
το μέρος του Γ κατά τμήμα ΓΔ = ΑΓ. Η διχοτόμος της γωνίας Αˆ τέμνει την
πλευρά ΒΓ στο σημείο Ε και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ στο σημείο Ζ. Να
αποδείξετε ότι: ∆Ζ = ⋅ ΖΓ 2 .
Μήπως το θέμα της γεωμετρίας της B Λυκείου έχει κάποιο λάθος ?
Διάβασε το post #84 προσεκτικά.

Το είχα ξεχάσει

.

Έστω πως η κάθετη στο $\Gamma$ στην $\displaystyle{B \Gamma$ τέμνει την $Z \Delta}$ στο

. Τότε προφανώς $\Gamma H // AZ \Leftrightarrow HZ = H\Delta$ .

Επίσης $EZ // \Gamma H \Leftrightarrow ZB = Z \Gamma = ZH \Rightarrow Z\Delta = 2* Z\Gamma$ , που είναι το ζητούμενο.

: Web capture_18-11-2022_17838_www.geogebra.org.jpeg (13.83 KiB) Προβλήθηκε 3167 φορές

fogsteel · #103

Υπόδειξη για το 3ο της Β λυκείου :

Αν $\frac{m + 7n}{7m + n} \geq 7 \Rightarrow m + 7n \geq 49m + 7n > m + 7n$ , άτοπο.
Άρα $\frac{m + 7n}{7m + n} = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6$ κτλ

#104

Θαλής Χίος Καστοριά 2022 . Αλυκείου . Πρόβλημα

.

$A = \dfrac{{5a + b}}{{2a + b}} = \dfrac{{2a + b}}{{2a + b}} + \dfrac{{3a}}{{2a + b}} = 1 + \dfrac{{2a + b}}{{2a + b}} + \dfrac{{a - b}}{{2a + b}} = 2 + \dfrac{{a - b}}{{2a + b}}$ $\left( 1 \right)$

Όμως η παράσταση $\dfrac{{a - b}}{{2a + b}}$ για όλους του θετικούς ακεραίους a,b

, έχει απόλυτη τιμή μικρότερη της μονάδας.

Άρα ο αριθμός $\boxed{A = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,a = b}$ .

#105

Για το 3 της Α Λυκείου.
Εφαρμόζοντας την παρεμβολή κλάσματος $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$ έχουμε ότι $1=\frac{b}{b}<\frac{5a+b}{2a+b}<\frac{5a}{2a}=\frac{5}{2}$ , οπότε η μόνη ακέραια τιμή του

είναι το

. Τέλος εύκολα καταλήγουμε στο ότι a=b

.

Λευτέρης Παπανικολάου · #106

Επισυνάπτω μία λύση στο 2ο πρόβλημα της Α Λυκείου για το συμπληρωματικό "ΘΑΛΗ''. Δύο σχόλια:
1ον: Θα μπορούσε να δίνεται ως βοηθητικό ζήτημα (κυρίως για να προκύψει πιο εύκολα σωστό σχήμα, αλλά και γιατί πιστεύω ότι θα είχε ενδιαφέρον) ότι το σημείο τομής Ε των διαγωνίων βρίσκεται μεταξύ του Δ και του μέσου της ΒΔ. Αλλιώς, επειδή ίσως δεν είναι μέσα στην εξεταζόμενη ύλη, θα έπρεπε, κατά τη γνώμη μου, να δίνεται ως δεδομένο.
2ον: Θα μπορούσε η εκφώνηση να είναι λίγο καλύτερη και ''πιο σωστή'' και να έχει τη διατύπωση ''οι ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ των μη παράλληλων πλευρών του ΑΔ και ΒΓ τέμνονται στο σημείο Ζ''

spatharas · #107

ΕΜΕ 83β Θαλής Λύκειο τάξη Α' - Ενδεικτικές απαντήσεις.pdf: (265.38 KiB) Μεταφορτώθηκε 528 φορές

Απαντήσεις στα θέματα του 83ου Συμπληρωματικού Διαγωνισμού "Ο Θαλής" της ΕΜΕ για την Α΄ Λυκείου.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #108

Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 3

Αν

είναι οι καραμέλες που έχει στην αρχή ο Δημήτρης τότε ο Γιώργος θα έχει

και στην σακούλα θα υπάρχουν

.
Εστω

ο αριθμός από αυτές που έφαγε και a_1

αυτές που πήρε από την σακούλα ο Γιώργος.
Εστω b_2

ο αριθμός από αυτές που έφαγε και a_2

αυτές που πήρε από την σακούλα ο Δημήτρης.

Ο Γιώργος θα έχει 7x-b_1+a_1

ο Δημήτρης x-b_2+a_2

και στην σακούλα θα υπάρχουν x-a_1-a_2

Τα δεδομένα είναι:
x-b_2+a_2=7(x_-a_1-a_2)

(1)

(2)

(3)

H (3) δίνει b_1=6x+a_2+2a_1

(4)

Η (1) γίνεται x-b_2+a_2=7x-7a_2-7a_1

η

Αρα

$6x\leq 6x+b_2=8a_2+7a_1\leq 8(a_1+a_2)$

Αυτή δίνει $\frac{3}{4}x\leq a_1+a_2$

Χρησιμοποιώντας την τελευταία η (4) δίνει:
$b_1+b_2\geq 6x+a_2+2a_1\geq 6x+a_2+a_1\geq 6x+\frac{3}{4}x=\frac{27}{4}x=\frac{3}{4}9x$

Αλλά όλες οι καραμέλες είναι

και αυτές που έφαγαν b_1+b_2

.
Ετσι δείξαμε το ζητούμενο.

Σημείωση:
Η λύση αυτή δίνει επιπλέον πληροφορίες:

α)Οι καραμέλες που έφαγε μόνο ο Γιώργος είναι τουλάχιστον $\frac{3}{4}$ όλων.

β)Αυτές που πήραν από την σακούλα είναι τουλάχιστον $\frac{3}{4}$ αυτών που περιείχε στην αρχή.

elenipappa · #109

zyfprois έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 15, 2022 7:56 pm
Εδω θα βρείτε τα θέματα του διαγωνισμού Θαλή που ειδικά για τη Χίο και την Καστοριά έγινε στις 12 Νοεμβρίου 2022 λόγω τοπικής αργιας στις 11
Σύντομα ήρθε και μια διορθωση
Στο 2ο θέμα τησ Β΄ Λυκείου πρέπει να γίνει η διόρθωση
¨ το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ" να γίνει: ¨το ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ"

Μια λύση στο Π3 ΒΛ
$7\nu +\mu =\left ( 7\mu +\nu \right )\kappa$ $\Leftrightarrow$
$\nu \left ( 7-\kappa \right )+\mu \left ( 1-7\kappa \right )=0$
Αν $\nu \left ( 7-\kappa \right )=0$ και $\mu \left ( 1-7\kappa \right )=0$
άτοπο. Άρα $\nu \left ( 7-\kappa \right )\neq 0$
ή $\mu \left ( 1-7\kappa \right )\neq 0$
Άν $\nu \left ( 7-\kappa \right )< 0$ και $\mu \left ( 1-7\kappa \right )> 0\Leftrightarrow$ $7< \kappa < \frac{1}{7}$ άτοπο
Άρα $\nu \left ( 7-\kappa \right )> 0$ και $\mu\left ( 1-7\kappa \right )< 0\Leftrightarrow 7> \kappa > \frac{1}{7}$
Τότε $\kappa =1,2,3,4,5,6$ Άρα A=1,2,3,4,5,6
Άν $\kappa =1$ ,τότε $\nu =\mu$
Άν $\kappa =2$ ,τότε $\nu =\frac{13\mu }{5}$
Άν $\kappa =3$ ,τότε $\nu =5\mu$
Άν $\kappa =4$ ,τότε $\nu =9\mu$
Άν $\kappa =5$ ,τότε $\nu =17\mu$
Άν $\kappa =6$ ,τότε $\nu =41\mu$

#110

elenipappa έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 23, 2022 10:47 pm

zyfprois έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 15, 2022 7:56 pm
Εδω θα βρείτε τα θέματα του διαγωνισμού Θαλή που ειδικά για τη Χίο και την Καστοριά έγινε στις 12 Νοεμβρίου 2022 λόγω τοπικής αργιας στις 11
Σύντομα ήρθε και μια διορθωση
Στο 2ο θέμα τησ Β΄ Λυκείου πρέπει να γίνει η διόρθωση
¨ το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ" να γίνει: ¨το ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ"
Μια λύση στο Π3 ΒΛ
$7\nu +\mu =\left ( 7\mu +\nu \right )\kappa$ $\Leftrightarrow$
$\nu \left ( 7-\kappa \right )+\mu \left ( 1-7\kappa \right )=0$
Αν $\nu \left ( 7-\kappa \right )=0$ και $\mu \left ( 1-7\kappa \right )=0$
άτοπο. Άρα $\nu \left ( 7-\kappa \right )\neq 0$
και $\mu \left ( 1-7\kappa \right )\neq 0$

Καλημέρα. Στο σημείο αυτό υπάρχει ένα λάθος μαθημ. λογικής. Αντί "και" χρειάζεται το διαζευκτικό "η"
Οπότε χρειάζεται μια μικρή ακόμα παρέμβαση στην απόδειξη

Αγγελα · #111

Γειά σας . Μήπως γνωρίζει κανείς ποσους βαθμους χρειαζεσαι για να περασεις στην επόμενη φάση (αρχιμηδη) στην Γ γυμνασιου

#112

Αγγελα έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 27, 2022 8:55 pm
Γειά σας . Μήπως γνωρίζει κανείς ποσους βαθμους χρειαζεσαι για να περασεις στην επόμενη φάση (αρχιμηδη) στην Γ γυμνασιου

Δεν γνωρίζει κάποιος αυτή την περίοδο. Οι βάσεις καθορίζονται ανά τάξη μετά τη βαθμολόγηση όλων των γραπτών.

#113

Τα αποτελέσματα έγιναν διαθέσιμα εδώ.

Θερμά συγχαρητήρια στους επιτυχόντες και επιτυχία στον ΑΡΧΙΜΗΔΗ στις 18/2!

Καλή συνέχεια και μελέτη σε όλους τους διαγωνιζόμενους.

ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Re: ΘΑΛΗΣ 2022

Μέλη σε σύνδεση