Θέματα προκριματικού νέων 2026

[Pistodoulos]

Πρόβλημα 1:
Να βρείτε όλα τα ζευγάρια μη αρνητικών ακεραίων που επαληθεύουν την εξίσωση:

Πρόβλημα 2:
Έστω τρίγωνο με . Στην προέκταση του προς το βρίσκεται σημείο ώστε .
Επίσης υπάρχει σημείο στην ίδια ευθεία στην προέκταση της από το ώστε . Η παράλληλη από το στο τμήμα τέμνει την σε σημείο . Στην ημιευθεία υπάρχει σημείο ώστε . Αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι ομοκυκλά
Πρόβλημα 3:
Έστω πραγματικοί αριθμοί ώστε και
Αποδείξετε ότι
Πρόβλημα 4:
Έχουμε ένα ρομπότ το οποίο βρίσκεται σε ένα αριθμημένο από το ως το πλέγμα , όπως αυτό δίπλα. Το ρομπότ μπορεί να κινείται μόνο σε γειτονικά τετράγωνα και δεν μπορεί να πάει σε ένα τετράγωνο δύο φορές. Αν το ρομπότ βρίσκεται στο τετράγωνο αριθμημένο και πρέπει να καταλήξει στο τετράγωνο αριθμημένο να βρείτε το μέγιστο άθροισμα των αριθμών που θα περάσει το ρομπότ και να αντιγράψετε το πλέγμα στο χαρτί σας με μια διαδρομή που το επιτυγχάνει.

ChatGPT Image Apr 7, 2026, 08_35_06 AM.png (322.63 KiB) Προβλήθηκε 1117 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Καλώς ήλθες στο φόρουμ.

Ευχαριστούμε για την ανάρτηση των θεμάτων.

Θα σε παρακαλέσω να γράψεις (διορθώσεις) το παραπάνω κείμενό σου ώστε να είναι σε latex, όπως πολύ σωστά ορίζουν οι κανονισμοί μας. Δεν είναι της ώρας για να εξηγώ γιατί είναι σωστός αυτός ο κανονισμός, πάντως είναι ο ίδιος για όλους μας και τον τηρούν όλοι.

[Fotis34]

Πρόβλημα 1:
Να βρείτε όλα τα ζευγάρια μη αρνητικών ακεραίων που επαληθεύουν την εξίσωση:

Λύση 1
Θέτουμε:


Η εξίσωση γίνεται:


Γράφουμε:


Άρα:


Μεταφέρουμε:


Παίρνουμε κοινό παράγοντα :


Επομένως:


Άρα:


Έλεγχος:

-
-

Οι υπόλοιπες τιμές δεν δίνουν λύσεις.



Λύση 2

Θέτουμε:


Η εξίσωση γίνεται:


Αναπτύσσουμε:


Θεωρούμε δευτεροβάθμια εξίσωση ως προς :


Η διακρίνουσα είναι:


Άρα:


Θέλουμε τέλειο τετράγωνο:


Λύνοντας προκύπτουν:


Έλεγχος δίνει:




Λύση 3

Θέτουμε:


Από την εξίσωση:


παίρνουμε:


Κάνουμε διαίρεση:


Άρα:


Για να είναι ακέραιος:


Επομένως:


Έλεγχος δίνει:

[Mihalis_Lambrou]

Πρόβλημα 4:
Έχουμε ένα ρομπότ το οποίο βρίσκεται σε ένα αριθμημένο από το ως το πλέγμα , όπως αυτό δίπλα. Το ρομπότ μπορεί να κινείται μόνο σε γειτονικά τετράγωνα και δεν μπορεί να πάει σε ένα τετράγωνο δύο φορές. Αν το ρομπότ βρίσκεται στο τετράγωνο αριθμημένο και πρέπει να καταλήξει στο τετράγωνο αριθμημένο να βρείτε το μέγιστο άθροισμα των αριθμών που θα περάσει το ρομπότ και να αντιγράψετε το πλέγμα στο χαρτί σας με μια διαδρομή που το επιτυγχάνει.
ChatGPT Image Apr 7, 2026, 08_35_06 AM.png

μέγ αθρ.png (32.05 KiB) Προβλήθηκε 875 φορές

.
Βάφουμε τα τετράγωνα του πλαισίου λευκά/μαύρα σαν σε μία σκακίερα, όπως στην εικόνα. Μια κατάλληλη διαδρομή από τετράγωνο σε γειτονικό τετράγωνο πηγαίνει εναλλάξ από λευκό σε μαύρο τετράγωνο και αντίστροφα. Αφού θέλουμε να αρχίζει και να τελειώνει σε λευκό, σημαίνει ότι πρέπει να μην επισκεφθεί τουλάχιστον ένα τετράγωνο (γιατί αν περνούσε από όλα, και τα , θα έπρεπε το τελευταίο να είναι μαύρο). Θα βρούμε διαδρομή που αφήνει έξω μόνο ένα τετράγωνο. Το τετράγωνο αυτό πρέπει να είναι μαύρο αφού τα λευκά είναι περισσότερα δεδομένου ότι, όπως επισημάναμε, η διαδρομή αρχίζει και να τελειώνει σε λευκό.

Παρατηρούμε ότι τα μαύρα τετράγωνα είναι αριθμημένα με τους αριθμούς έως . Συνεπώς θα πετύχουμε το μέγιστο δυνατό άθροισμα αν αφήσουμε έξω από την διαδρομή μας εκείνο το μαύρο τετράγωνο που έχει τον μικρότερο αριθμό, δηλαδή τον . Μία τέτοια διαδρομή έχει σχεδιαστεί, και είναι η ζητούμενη. Το μέγιστο, λοιπόν, άθροισμα είναι το

[STOPJOHN]

Πρόβλημα 1:
Να βρείτε όλα τα ζευγάρια μη αρνητικών ακεραίων που επαληθεύουν την εξίσωση:

Πρόβλημα 2:
Έστω τρίγωνο με . Στην προέκταση του προς το βρίσκεται σημείο ώστε .
Επίσης υπάρχει σημείο στην ίδια ευθεία στην προέκταση της από το ώστε . Η παράλληλη από το στο τμήμα τέμνει την σε σημείο . Στην ημιευθεία υπάρχει σημείο ώστε . Αποδείξετε ότι τα σημεία και είναι ομοκυκλά
Πρόβλημα 3:
Έστω πραγματικοί αριθμοί ώστε και
Αποδείξετε ότι
Πρόβλημα 4:
Έχουμε ένα ρομπότ το οποίο βρίσκεται σε ένα αριθμημένο από το ως το πλέγμα , όπως αυτό δίπλα. Το ρομπότ μπορεί να κινείται μόνο σε γειτονικά τετράγωνα και δεν μπορεί να πάει σε ένα τετράγωνο δύο φορές. Αν το ρομπότ βρίσκεται στο τετράγωνο αριθμημένο και πρέπει να καταλήξει στο τετράγωνο αριθμημένο να βρείτε το μέγιστο άθροισμα των αριθμών που θα περάσει το ρομπότ και να αντιγράψετε το πλέγμα στο χαρτί σας με μια διαδρομή που το επιτυγχάνει.
ChatGPT Image Apr 7, 2026, 08_35_06 AM.png

Καλημέρα Χρόνια Πολλά με υγεία

Εστω

Στο τρίγωνο



Προσθέτω ενα δεύτερο ερώτημα Να αποδειχθεί οτι ο κύκλος

εφάπτεται στην

[Fotis34]

Πρόβλημα 4:
Έχουμε ένα ρομπότ το οποίο βρίσκεται σε ένα αριθμημένο από το ως το πλέγμα , όπως αυτό δίπλα. Το ρομπότ μπορεί να κινείται μόνο σε γειτονικά τετράγωνα και δεν μπορεί να πάει σε ένα τετράγωνο δύο φορές. Αν το ρομπότ βρίσκεται στο τετράγωνο αριθμημένο και πρέπει να καταλήξει στο τετράγωνο αριθμημένο να βρείτε το μέγιστο άθροισμα των αριθμών που θα περάσει το ρομπότ και να αντιγράψετε το πλέγμα στο χαρτί σας με μια διαδρομή που το επιτυγχάνει.
ChatGPT Image Apr 7, 2026, 08_35_06 AM.png

Καλησπέρα. Θα ήθελα να κάνω μια ερώτηση: αν γράψεις ότι, με δοκιμές, βρίσκω μέγιστο άθροισμα με παράλειψη μόνο το κουτάκι με τον αριθμό είναι εντάξει; Παίρνει όλες τις μονάδες;

[Τσιαλας Νικολαος]

Καλησπέρα Φώτη. Οι δοκιμές δεν αποδεικνύουν κάτι. Οπότε δεν νομίζω ότι θα έπαιρνες κάτι αν το έγραφες.

[Fotis34]

Καλησπέρα Φώτη. Οι δοκιμές δεν αποδεικνύουν κάτι. Οπότε δεν νομίζω ότι θα έπαιρνες κάτι αν το έγραφες.

Σας ευχαριστώ.

[Fotis34]

Αποτελέσματα ΜΕΓΑΛΩΝ:

https://hms.gr/wp-content/uploads/2026/ ... Y-2026.pdf

Θερμά συγχαρητήρια σε όλους και ιδιαίτερα σε όλα τα μέλη του !!!

Edit 9:55μμ. Τα αποτελέσματα των ΜΙΚΡΩΝ πότε να τα περιμένουμε;

[Ορέστης Λιγνός]

Συγχαρητήρια στον φίλο μου Λάζαρο Καραγεωργίου που προκρίθηκε ως πρώτος στην φετινή ΒΜΟ Περιμένουμε...