Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 (9η τάξη, 1η φάση)

[Al.Koutsouridis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024
Θέματα της 1ης φάσης για την 9η τάξη, 18 Νοεμβρίου 2023

1. Ο Αλέξανδρος σημείωσε σε μια ευθεία σημεία και για κάθε δυο σημεία σημείωσε στο τετράδιο την απόσταση μεταξύ τους. Όλοι οι σημειωμένοι αριθμοί στο τετράδιο προέκυψαν ακέραιοι και ένας από αυτούς είναι ίσος με . Ο Αλέξανδρος υπογράμμισε όλους τους αριθμούς, που δεν διαιρούνται με το . Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός υπογραμμισμένων αριθμών που μπορεί να προέκυψαν στο τετράδιο;

2. Στο κάστρο του Κοσέι του Αθάνατου γύρο από στρόγγυλο τραπέζι κάθονται Βασιλίσσες. Η κάθε μια στην μορφή είτε πριγκίπισσας, είτε στην μορφή βατράχου. Μια φορά σε κάθε λεπτό όλες οι Βασιλίσσες μεταμορφώνονται ταυτόχρονα σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα: αν μια Βασιλίσσα καθόταν μεταξύ δυο βατράχων, τότε στο επόμενο λεπτό θα είναι στην μορφή βατράχου, σε άλλη περίπτωση θα είναι πριγκίπισσα ή βάτραχος σύμφωνα με την θέληση του Κοσέι. Στην αρχή μια Βασιλίσσα ήταν πριγκίπισσα και όλες οι υπόλοιπες βάτραχοι. Πόσες το πολύ πριγκίπισσες μπορεί να εξασφαλίσει στο τραπέζι του ο Κοσέι;

3. Θα ονομάσουμε ένα φυσικό αριθμό παράξενο, αν ικανοποιείτε η ακόλουθη συνθήκη:

Για οποιαδήποτε διαμέριση του αριθμού 20242023 σε άθροισμα δυο φυσικών όρων ο αριθμός διαιρείτε ακριβώς με έναν από αυτούς τους όρους.

Ο Δημήτρης έγραψε σε αύξουσα σειρά τους πρώτους παράξενους αριθμούς. Να βρείτε τον λόγο του διακοσιοστού παράξενου αριθμού προς τον πρώτο. (οι φυσικοί στο πρόβλημα είναι μη μηδενικοί)

4. Το σημείο διαλέχθηκε στο εσωτερικό και το σημείο στο εξωτερικό ενός ορθογωνίου έτσι, ώστε το τμήμα να τέμνει την πλευρά . Είναι γνωστό, ότι και . Επιπλέον . Να βρείτε την .

5. Υπάρχει άραγε αύξουσα ακολουθία μη μηδενικών φυσικών αριθμών τέτοια, ώστε για όλα τα να ισχύει

;


Πηγή

[KARKAR]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024
Θέματα της 1ης φάσης για την 9η τάξη, 18 Νοεμβρίου 2023

Πετρούπολη 24.png (33.91 KiB) Προβλήθηκε 1683 φορές

4. Το σημείο διαλέχθηκε στο εσωτερικό και το σημείο στο εξωτερικό ενός ορθογωνίου έτσι, ώστε το

τμήμα να τέμνει την πλευρά . Είναι γνωστό, ότι και .

Επιπλέον . Να βρείτε την .

Παραθέτω σχήμα για την άσκηση , διατυπώνοντας μια απορία : Μπορούμε να βρούμε εκείνη την αναλογία

πλάτους - μήκους του ορθογωνίου , για την οποία το σχήμα είναι κατασκευάσιμο ;

[αρψ2400]

5. Υπάρχει άραγε αύξουσα ακολουθία μη μηδενικών φυσικών αριθμών a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots τέτοια, ώστε για όλα τα m,n >1 να ισχύει

a_{m}a_{n} < a_{mn} < 1,001a_{m}a_{n};

Πρόβλημα 5

Ορίζουμε





Εφόσον για ισχύει ,

οπότε


Θέλουμε να δείξουμε ότι:

δηλαδή:


Πολλαπλασιάζουμε με :


Αρκεί να δείξουμε:


Πράγματι, αν , τότε:

οπότε:


Τέλος, αν , τότε:


Άρα η ανίσωση ισχύει και για .

[αρψ2400]

Στο κάστρο του Κοσέι του Αθάνατου γύρο από στρόγγυλο τραπέζι κάθονται 100 Βασιλίσσες. Η κάθε μια στην μορφή είτε πριγκίπισσας, είτε στην μορφή βατράχου. Μια φορά σε κάθε λεπτό όλες οι Βασιλίσσες μεταμορφώνονται ταυτόχρονα σύμφωνα με τον ακόλουθο κανόνα: αν μια Βασιλίσσα καθόταν μεταξύ δυο βατράχων, τότε στο επόμενο λεπτό θα είναι στην μορφή βατράχου, σε άλλη περίπτωση θα είναι πριγκίπισσα ή βάτραχος σύμφωνα με την θέληση του Κοσέι. Στην αρχή μια Βασιλίσσα ήταν πριγκίπισσα και όλες οι υπόλοιπες βάτραχοι. Πόσες το πολύ πριγκίπισσες μπορεί να εξασφαλίσει στο τραπέζι του ο Κοσέι;

Πρόβλημα 2ο

50 . Οι πριγκίπισες έχουν πάντα άρτια ή περιττή ομοτιμία.(Αποδεικνύεται εύκολα επαγωγικά.Σε κάθε βήμα οι πριγκίπισες της ίδιας ομοτιμίας σβήνονται και υπάρχει επιλογή μεταμόρφωσης για την άλλη μόνο ομοτιμία)).Όλο το θέμα είναι στην πρώτη μεταμόρφωση.Άν οι βασίλισες ήταν περιττός , 101 για παράδειγμα , θα μπορούσαν να γίνουν ολες πριγγίπισες , αφου μετά από 50 βήματα θα συναντιούνταν κυκλικά σε διαφορετικές ομοτιμίες δύο πριγκίπισες.Αυτό το δίδυμο δεν θα άλλαζε σε (βελτιστη στρατηγική) και θα μετάτρεπε σταδιακά επεκτεινόμενο όλους τους βατράχους σε πριγκίπισες.