83ος Π.Μ.Δ.Μ. ''ΘΑΛΗΣ'' συμπληρωματικός Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Ο Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά ''Ο Θαλής'' για τη σχολική χρονιά 2022-2023 διεξήχθη εντός των
σχολικών μονάδων στις 11 Νοεμβρίου 2022. Λόγω μιας τοπικής αργίας οι περιοχές Χίου και Καστοριάς δεν έλαβαν μέρος.
Για αυτές τις δύο περιοχές δόθηκαν άλλα θέματα στις 12 Νοεμβρίου 2022.
Η παρούσα δημοσίευση προτείνει τα θέματα της Α' Λυκείου.

Πρόβλημα 1 (Μονάδες 6)

Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς x,y

που ικανοποιούν την εξίσωση

$25x^{2}+8y^{2}-20xy-10x-12y+17=0$

Πρόβλημα 2 (Μονάδες 7)

Δίνεται τραπέζιο $AB\Gamma\Delta$ τέτοιο ώστε $AB\parallel \Gamma\Delta$ και $B\Gamma=\Gamma\Delta.$
Επίσης, αν

το σημείο τομής των διαγωνίων του, ισχύει ότι $A\Delta=AE.$
Oι μη παράλληλες πλευρές του $A\Delta$ και $B\Gamma$ τέμνονται στο σημείο

Nα αποδείξετε ότι $A\Gamma=\Delta Z.$

Πρόβλημα 3 (Μονάδες 7)

Nα προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακέραιους $a,\beta$ για τους οποίους ο αριθμός

$\displaystyle A=\frac{5a+\beta}{2a+\beta}$ είναι ακέραιος.

Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του

;

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 20, 2024 2:34 pm
Ο Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά ''Ο Θαλής'' για τη σχολική χρονιά 2022-2023 διεξήχθη εντός των
σχολικών μονάδων στις 11 Νοεμβρίου 2022. Λόγω μιας τοπικής αργίας οι περιοχές Χίου και Καστοριάς δεν έλαβαν μέρος.
Για αυτές τις δύο περιοχές δόθηκαν άλλα θέματα στις 12 Νοεμβρίου 2022.
Η παρούσα δημοσίευση προτείνει τα θέματα της Α' Λυκείου.

Πρόβλημα 1 (Μονάδες 6)

Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς που ικανοποιούν την εξίσωση

$25x^{2}+8y^{2}-20xy-10x-12y+17=0$

$\displaystyle 5{(2x - y)^2} + 5{(x - 1)^2} + 3{(y - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=1,y=2}$

KARKAR · #3

: anapl.png (40.33 KiB) Προβλήθηκε 506 φορές

#4

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 20, 2024 2:34 pm
Ο Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά ''Ο Θαλής'' για τη σχολική χρονιά 2022-2023 διεξήχθη εντός των
σχολικών μονάδων στις 11 Νοεμβρίου 2022. Λόγω μιας τοπικής αργίας οι περιοχές Χίου και Καστοριάς δεν έλαβαν μέρος.
Για αυτές τις δύο περιοχές δόθηκαν άλλα θέματα στις 12 Νοεμβρίου 2022.
Η παρούσα δημοσίευση προτείνει τα θέματα της Α' Λυκείου.

Πρόβλημα 2 (Μονάδες 7)

Δίνεται τραπέζιο $AB\Gamma\Delta$ τέτοιο ώστε $AB\parallel \Gamma\Delta$ και $B\Gamma=\Gamma\Delta.$
Επίσης, αν το σημείο τομής των διαγωνίων του, ισχύει ότι $A\Delta=AE.$
Oι μη παράλληλες πλευρές του $A\Delta$ και $B\Gamma$ τέμνονται στο σημείο
Nα αποδείξετε ότι $A\Gamma=\Delta Z.$

Από παραλληλίες και από ισοσκελή τρίγωνα οι γωνίες $\theta$ είναι ίσες μεταξύ τους, όπως και οι γωνίες $\omega.$

: Θαλής Α 2022 (συμπλ).png (13.32 KiB) Προβλήθηκε 505 φορές

$\displaystyle Z\widehat DC = 180^\circ - (\omega + \theta ) = A\widehat CB,Z\widehat CD = A\widehat BC = 2\theta$ και επειδή DC=BC,

τα τρίγωνα ABC, ZCD

είναι ίσα, άρα $\boxed{AC=ZD}$

Με πρόλαβε ο Θανάσης. Το αφήνω για τον κόπο του σχήματος.

panosgl2006 · #5

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 20, 2024 2:34 pm
Ο Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά ''Ο Θαλής'' για τη σχολική χρονιά 2022-2023 διεξήχθη εντός των
σχολικών μονάδων στις 11 Νοεμβρίου 2022. Λόγω μιας τοπικής αργίας οι περιοχές Χίου και Καστοριάς δεν έλαβαν μέρος.
Για αυτές τις δύο περιοχές δόθηκαν άλλα θέματα στις 12 Νοεμβρίου 2022.
Η παρούσα δημοσίευση προτείνει τα θέματα της Α' Λυκείου.

Πρόβλημα 3 (Μονάδες 7)

Nα προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακέραιους $a,\beta$ για τους οποίους ο αριθμός

$\displaystyle A=\frac{5a+\beta}{2a+\beta}$ είναι ακέραιος.

Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του ;

Εχουμε οτι $A=\frac{3a+2a+b}{2a+b}\Rightarrow 2a+b|3a \Rightarrow 3a\geq2a+b \Rightarrow a\geq b\quad (1)$
ομοια εχουμε οτι
$A=\frac{6a+3b-(a+2b)}{2a+b}\Rightarrow 2a+b|a+2b\Rightarrow a+2b\geq 2a+b\Rightarrow b\geq a\quad (2)$
απο (1)

και

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #6

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 20, 2024 2:34 pm
Ο Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός στα Μαθηματικά ''Ο Θαλής'' για τη σχολική χρονιά 2022-2023 διεξήχθη εντός των
σχολικών μονάδων στις 11 Νοεμβρίου 2022. Λόγω μιας τοπικής αργίας οι περιοχές Χίου και Καστοριάς δεν έλαβαν μέρος.
Για αυτές τις δύο περιοχές δόθηκαν άλλα θέματα στις 12 Νοεμβρίου 2022.
Η παρούσα δημοσίευση προτείνει τα θέματα της Α' Λυκείου.

Πρόβλημα 3 (Μονάδες 7)

Nα προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακέραιους $a,\beta$ για τους οποίους ο αριθμός

$\displaystyle A=\frac{5a+\beta}{2a+\beta}$ είναι ακέραιος.

Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του ;

Θέλω να γράψω τη δική μου λύση...

Aφού $a,\beta$ θετικοί και

θετικός.

Από την ισότητα $\displaystyle 5a+\beta=\frac{5}{2}\left( 2a+\beta \right)-\frac{3}{2}\beta$ προκύπτει ότι

$\displaystyle \frac{5a+\beta}{2a+\beta}=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}\frac{\beta}{2a+\beta}$

Eπομένως $\displaystyle A=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}\frac{\beta}{2a+\beta}<\frac{5}{2}$ και αφού ο

είναι ακέραιος οι μόνες τιμές που μπορεί να πάρει είναι το

και το

$\displaystyle A=1\Leftrightarrow\frac{5a+\beta}{3a+\beta}=1\Leftrightarrow 5a+\beta=3a+\beta\Leftrightarrow a=0$

Ο

όμως δόθηκε θετικός, άρα ο

δεν μπορεί να πάρει την τιμή

$\displaystyle A=2\Leftrightarrow\frac{5a+\beta}{3a+\beta}=2\Leftrightarrow 5a+\beta=2\left(3a+\beta \right)\Leftrightarrow 5a+\beta=6a+2\beta\Leftrightarrow a=\beta$

Tελικά η μόνη τιμή που μπορεί να πάρει ο

είναι το

και αυτό αν και μόνον αν $a=\beta.$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 20, 2024 2:34 pm

Nα προσδιορίσετε όλους τους θετικούς ακέραιους $a,\beta$ για τους οποίους ο αριθμός

$\displaystyle A=\frac{5a+\beta}{2a+\beta}$ είναι ακέραιος.

Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του ;

Αν

τότε προκύπτει a=0

άτοπο.Άρα

Από την δοθείσα σχέση ισοδύναμα έχουμε a(2A-5)=b(1-A)

απ όπου $2A-5<0\Rightarrow A< \dfrac{5}{2}$

Έτσι η μόνη ακέραια τιμή του

με $1< A< \dfrac{5}{2}$ είναι A=2

και λαμβάνεται όταν a=b

83ος Π.Μ.Δ.Μ. ''ΘΑΛΗΣ'' συμπληρωματικός Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

83ος Π.Μ.Δ.Μ. ''ΘΑΛΗΣ'' συμπληρωματικός Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 83ος Π.Μ.Δ.Μ. ''ΘΑΛΗΣ'' συμπληρωματικός Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 83ος Π.Μ.Δ.Μ. ''ΘΑΛΗΣ'' συμπληρωματικός Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 83ος Π.Μ.Δ.Μ. ''ΘΑΛΗΣ'' συμπληρωματικός Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 83ος Π.Μ.Δ.Μ. ''ΘΑΛΗΣ'' συμπληρωματικός Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 83ος Π.Μ.Δ.Μ. ''ΘΑΛΗΣ'' συμπληρωματικός Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 83ος Π.Μ.Δ.Μ. ''ΘΑΛΗΣ'' συμπληρωματικός Α' ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση