Θέματα της δεύτερης μέρας για την 10η τάξη.
1. Δίνεται ένα ευθύγραμμο μονοπάτι, που αποτελείται από πράσινες και κόκκινες σανίδες (μονοπάτι ευθύγραμμο τμήμα, διαμερισμένο σε σανίδες ευθύγραμμα τμήματα). Τα χρώματα των σανίδων εναλλάσσονται: η πρώτη και η τελευταία σανίδα είναι πράσινες. Είναι γνωστό ότι τα μήκη όλων των σανίδων είναι μεγαλύτερα του εκατοστού και μικρότερα του μέτρου, καθώς και ότι το μήκος κάθε επόμενης σανίδας είναι μεγαλύτερο της προηγούμενης. Ένας τζιτζίκι θέλει να μεταπηδήσει προς τα εμπρός κατά μήκος του μονοπατιού σε αυτές τις σανίδες, πατώντας σε κάθε πράσινη σανίδα τουλάχιστον μια φορά και μη πατώντας σε καμία κόκκινη (ή το όριο μεταξύ διαδοχικών σανίδων). Να αποδείξετε, ότι το τζιτζίκι μπορεί να το καταφέρει αυτό έτσι, ώστε μεταξύ των μηκών των αλμάτων του να συναντώνται το πολύ
διαφορετικές τιμές. (Τ. Κοροτσένκο)2. Δίνεται ένα παραλληλόγραμμο
. Το σημείο 
είναι το μέσο του τόξου 
του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου . Στο τμήμα 
δίνεται σημείο 
και στο τμήμα 
σημείο 
. Είναι γνωστό ότι 
. Να αποδείξετε, ότι τα σημεία 
και είναι ομοκυκλικά. (Α. Τεριέσιν)3. Έστω ότι δίνονται δυο φυσικοί (μη μηδενικοί) αριθμοί
και 
. Σε μια ευθεία δίνονται 
λευκά και 
μαύρα τμήματα, εξάλλου 
και 
. Είναι γνωστό, ότι κανένα ζεύγος τμημάτων ίδιου χρώματος δεν τέμνονται (ούτε έχουν κοινά άκρα). Επίσης είναι γνωστό, ότι για οποιαδήποτε επιλογή λευκών τμημάτων και μαύρων τμημάτων οπωσδήποτε κάποιο ζεύγος επιλεγμένων τμημάτων θα τέμνεται. Να αποδείξετε ότι 
. (Γκ. Τσελνόκοβ)
4. Δίνεται ένας φυσικός αριθμός
. Η Άννα γράφει σε κύκλο 
φυσικούς αριθμούς (μη μηδενικούς). Στην συνέχεια η Αθηνά κάνει την εξής πράξη: μεταξύ οποιονδήποτε δυο γειτονικών αριθμών 
και 
γράφει κάποιον διαιρέτη του αριθμού 
, μεγαλύτερου του 
. Ύστερα η Αθηνά σβήνει τους αρχικούς αριθμούς και αποκτά μια νέα συλλογή αριθμών, που βρίσκονται σε κύκλο. Μπορεί άραγε πάντα η Αθηνά να κάνει πράξεις με τέτοιο τρόπο, ώστε μετά από κάμποσες πράξεις όλοι οι αριθμοί να προκύψουν ίσοι μεταξύ τους; (Τ. Κοροτσένκο)