Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 (8η τάξη, 1η φάση)

Al.Koutsouridis · #1

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024
Θέματα της 1ης φάσης για την 8η τάξη, 18 Νοεμβρίου 2023

1. Το σχολείο $\text No 1$ του οικισμού Μετέλκινο έχει 800

θέσεις και φοιτούν σε αυτό 1450

μαθητές. Το σχολείο $\text No 2$ έχει 900

θέσεις και φοιτούν 1350

μαθητές. Αν το ένα τρίτο το κοριτσιών του σχολείου $\text No 1$ μεταφερθεί στο σχολείο $\text No 2$ , τότε και τα δυο σχολεία θα είναι υπερπλήρη κατά τον ίδιο αριθμό παιδιών. Μετά την κατασκευή στο Μετέλκινο νέου σχολείου για κορίτσια των 1300 θέσεων, προέκυψε, ότι μπορούν να κατανεμηθούν τα παιδιά στα σχολεία έτσι, ώστε να μην υπάρχουν υπερπλήρη σχολεία. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κοριτσιών που μπορεί να φοιτούσε στο σχολείο $\text No 2$ πριν την κατασκευή του νέου σχολείου;

2. Για τους θετικούς αριθμούς $a \geq b \geq c$ να αποδείξετε, ότι

$3a^2+5bc \geq 3b^2+5ac$ .

3. Ο Φώτης μελετάει έναν φυσικό αριθμό

. Ισχυρίζεται, ότι για οποιαδήποτε διαμέριση του αριθμού 4000

σε άθροισμα δυο διαφορετικών φυσικών αριθμών (μη μηδενικών) ο αριθμός

διαιρείτε με ακριβώς έναν από αυτούς. Να αποδείξετε, ότι σφάλει.

4. Στο τρίγωνο ABC

φέρθηκε η διχοτόμος

. Στο τμήμα

διαλέχθηκε τέτοιο σημείο

, ώστε $CL \cdot EL = AL^2$ . Προέκυψε, ότι BC=CE+AB

. Να αποδείξετε, ότι το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές.

5. Από ένα λευκό πίνακα διαστάσεων $100 \times 100$ αποκόπηκαν τα κελιά, που βρίσκονται στην τομή γραμμών με άρτιο αριθμό και στηλών με περιττό. Με μια κίνηση η Κατερίνα χρωματίζει δυο γειτονικά κατά πλευρά κελιά (μη αποκομμένα) του πίνακα: το ένα με κόκκινο χρώμα και το άλλο με πράσινο. Ένα ήδη χρωματισμένο κελί επιτρέπεται να χρωματιστεί εκ νέου (συμπεριλαμβανομένου και με άλλο χρώμα), αλλά κάθε κελί επιτρέπεται να χρωματιστεί το πολύ δυο φορές. Τα χρώματα είναι αδιαφανή: για παράδειγμα, κελί, χρωματισμένο με κόκκινο πάνω σε πράσινο, καθίσταται κόκκινο. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός πράσινων κελιών, που μπορεί να προκύψει στο πίνακα μετά από μερικές κινήσεις;

Πηγή

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 09, 2024 10:30 pm

2. Για τους θετικούς αριθμούς $a \geq b \geq c$ να αποδείξετε, ότι

$3a^2+5bc \geq 3b^2+5ac$ .

Έχουμε

$=\underset {\ge 0}{\underbrace {(a-b)}} [3\underset {\ge 0}{\underbrace {(a-c)}}+ 3\underset {\ge 0}{\underbrace {(b-c)}}+\underset {\ge 0}{\underbrace {c}}] \ge 0$ .

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 09, 2024 10:30 pm

3. Ο Φώτης μελετάει έναν φυσικό αριθμό . Ισχυρίζεται, ότι για οποιαδήποτε διαμέριση του αριθμού σε άθροισμα δυο διαφορετικών φυσικών αριθμών (μη μηδενικών) ο αριθμός διαιρείτε με ακριβώς έναν από αυτούς. Να αποδείξετε, ότι σφάλει.

Ίσως υπάρχει οικονομικότερος τρόπος, αλλά τέτοια ώρα δεν τον βρίσκω.

α) Από την διάσπαση 4000=1000+3000

συμπεραίνουμε ότι ο

είναι πολλαπλάσιο του 1000

και όχι του 3000

(αφού το ανάποδο δεν γίνεται).
Ειδικά συμπεραίνουμε ότι ο

είναι άρτιος (ως πολλαπλάσιο του 1000

) αλλά δεν είναι πολλαπλάσιο του

(γιατί αν ήταν, θα ήταν πολλαπλάσιο του

και του

, και άρα του 3000

, ενώ δεν είναι).

β) Από την διάσπαση 4000= 1003+2997

συμπεραίνουμε ότι ο

είναι πολλαπλάσιο του 1003

διότι δεν είναι πολλαπλάσιο του 2997

(αφού το τελευταίο είναι πολλαπλάσιο του

ενώ ο

δεν είναι (το είδαμε στο α).

γ) Αφού λοιπόν ο

είναι πολλαπλάσιο του 1003

και είναι άρτιος (το είδαμε στο α), θα είναι πολλαπλάσιο του $2\cdot 1003=2006$ .

δ) Από την διάσπαση 4000=2006+1994

και αφού ο

είναι πολλαπλάσιο του 2006

(το είδαμε στο γ), σημαίνει ότι δεν είναι πολλαπλάσιο του 1994

και άρα ούτε του $2\cdot 1994 = 3988$ .

ε) Από την διάσπαση 4000=12+3988

και αφού ο

δεν είναι πολλαπλάσιο του 3988

(το είδαμε στο δ) σημαίνει ότι είναι πολλαπλάσιο του

και άρα του

. Άτοπο γιατί στο α) είδαμε ότι δεν είναι πολλαπλάσιο του

.

Al.Koutsouridis · #4

4. Στο τρίγωνο φέρθηκε η διχοτόμος . Στο τμήμα διαλέχθηκε τέτοιο σημείο , ώστε $CL \cdot EL = AL^2$ . Προέκυψε, ότι . Να αποδείξετε, ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Θεωρούμε σημείο

στην πλευρά

, ώστε

. Για τα τρίγωνα ABL

,

ισχύει

κοινή πλευρά, $\angle ABL =\angle DBL$ , BA=BD

. Άρα είναι ίσα και επομένως είναι ίσα και τα τμήματα LA, LD

.

Η σχέση $CL \cdot EL = AL^2$ , τότε μπορεί να γραφεί ως $\displaystyle{CL \cdot EL = LD^2}$ . Διαιρούμε και τα δυο μέλη αυτής της ισότητας με $LD \cdot LE$ και βρίσκουμε ότι $\dfrac{LC}{LD} =\dfrac{LD}{LE}$ . Οπότε τα τρίγωνα DLE

και

, που έχουν κοινή την γωνία $\angle DLC=\angle CLD$ είναι όμοια. Επομένως

$\angle DEL= \angle CDL= 180^0-\angle BDL=180^0-\angle BAL$ . Άρα οι ευθείες

και

είναι παράλληλες. Επομένως θα είναι όμοια και τα τρίγωνα CDE

και

. Όμως

, δηλαδή το τρίγωνο CDE

είναι ισοσκελές. Άρα ισοκελές θα είναι και το τρίγωνο ABC

.

: spmo_2024_round1_class8_pr4.png (131.62 KiB) Προβλήθηκε 1547 φορές

Dimessi · #5

Πρόβλημα 4- αλλιώς. Από Θ. εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο ABC

παίρνουμε $\displaystyle \frac{AL}{LC}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow \frac{AL}{b}=\frac{c}{a+c}\Rightarrow \boxed{AL=\frac{bc}{a+c}}\wedge \boxed{LC=\frac{ab}{a+c}},$ άρα $\displaystyle LE=\frac{LA^{2}}{LC}=\frac{\displaystyle \frac{b^{2}c^{2}}{\left ( a+c \right )^{2}}}{\displaystyle \frac{ab}{a+c}}=\frac{bc^{2}}{a\left ( a+c \right )}\Rightarrow \boxed{CE=LC-LE=\frac{a^{2}b}{a\left ( a+c \right )}-\frac{bc^{2}}{a\left ( a+c \right )}=\frac{b\left ( a-c \right )}{a}}\left ( 1 \right ).$ Αφού $\displaystyle CE=BC-AB=a-c\overset{\left ( 1 \right )}\Rightarrow a-c=\frac{b\left ( a-c \right )}{a}\Leftrightarrow \boxed{\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )=0}(2).$ Είναι $\displaystyle LE< LC\Rightarrow \frac{LA^{2}}{LC}< LC\Rightarrow \frac{LA}{LC}=\frac{c}{a}< 1\Rightarrow c< a\overset{\left ( 2 \right )}\Rightarrow \boxed{a=b}$ και το ζητούμενο έπεται.

#6

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 09, 2024 10:30 pm
Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024
Θέματα της 1ης φάσης για την 8η τάξη, 18 Νοεμβρίου 2023

3. Ο Φώτης μελετάει έναν φυσικό αριθμό . Ισχυρίζεται, ότι για οποιαδήποτε διαμέριση του αριθμού σε άθροισμα δυο διαφορετικών φυσικών αριθμών (μη μηδενικών) ο αριθμός διαιρείτε με ακριβώς έναν από αυτούς. Να αποδείξετε, ότι σφάλει.

Ίδιο σκεπτικό με τη λύση του Μιχάλη αλλά πιο σύντομο.

Από το 4000 = 1000 + 3000

παίρνουμε ότι ο

διαιρείται με το 1000

και όχι με το 3000

, άρα $3 \nmid N$ .

Από το 4000 = 500 + 3500

παίρνουμε ότι ο

διαιρείται με το 500

και όχι με το 3500

, άρα $7 \nmid N$ .

Τότε όμως στη διαμέριση 4000 = 1200+2800

κανένας από τους αριθμούς δεν διαιρεί τον

αφού $3|1200 \implies 1200 \nmid N$ και $7|2800 \implies 2800 \nmid N$ .

#7

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 09, 2024 10:30 pm
Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024

4. Στο τρίγωνο φέρθηκε η διχοτόμος . Στο τμήμα διαλέχθηκε τέτοιο σημείο , ώστε $CL \cdot EL = AL^2$ . Προέκυψε, ότι . Να αποδείξετε, ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Πηγή

Παρόμοια με του Αλέξανδρου. Λίγο πιο σύντομα.

Θεωρώ σημείο της ώστε οπότε Αρκεί να δείξω ότι

: ΟΑΠ 2024-8.png (14.4 KiB) Προβλήθηκε 1245 φορές

Η

είναι μεσοκάθετη της BL,

άρα το

είναι χαρταετός και $\omega=\widehat A.$

Η δοσμένη σχέση γράφεται $\displaystyle L{D^2} = LE \cdot LC$ που σημαίνει ότι η

εφάπτεται στον περίκυκλο του EDC.

Άρα $\theta=\widehat C.$ Αναγκαστικά λοιπόν $\widehat B=E\widehat DC$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

#8

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 09, 2024 10:30 pm
Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024

4. Στο τρίγωνο φέρθηκε η διχοτόμος . Στο τμήμα διαλέχθηκε τέτοιο σημείο , ώστε $CL \cdot EL = AL^2$ . Προέκυψε, ότι . Να αποδείξετε, ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Πηγή

Θεωρώ σημείο

της

ώστε

οπότε

Αρκεί να δείξω ότι DE||AB.

Η

είναι μεσοκάθετη της BL,

άρα το

είναι χαρταετός και $AL=LD, \omega=\widehat A.$

: ΟΑΠ 2024-8β.png (14.35 KiB) Προβλήθηκε 1233 φορές

Η

τέμνει την

στο

και εύκολα διαπιστώνουμε ότι $\displaystyle FL = LC,AF = DC.$

$\displaystyle A{L^2} = CL \cdot EL \Leftrightarrow \frac{{AL}}{{EL}} = \frac{{CL}}{{AL}} = \frac{{LF}}{{LD}} \Leftrightarrow AF||DE,$ και το ζητούμενο έπεται.

#9

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 09, 2024 10:30 pm
Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024
Θέματα της 1ης φάσης για την 8η τάξη, 18 Νοεμβρίου 2023

5. Από ένα λευκό πίνακα διαστάσεων $100 \times 100$ αποκόπηκαν τα κελιά, που βρίσκονται στην τομή γραμμών με άρτιο αριθμό και στηλών με περιττό. Με μια κίνηση η Κατερίνα χρωματίζει δυο γειτονικά κατά πλευρά κελιά (μη αποκομμένα) του πίνακα: το ένα με κόκκινο χρώμα και το άλλο με πράσινο. Ένα ήδη χρωματισμένο κελί επιτρέπεται να χρωματιστεί εκ νέου (συμπεριλαμβανομένου και με άλλο χρώμα), αλλά κάθε κελί επιτρέπεται να χρωματιστεί το πολύ δυο φορές. Τα χρώματα είναι αδιαφανή: για παράδειγμα, κελί, χρωματισμένο με κόκκινο πάνω σε πράσινο, καθίσταται κόκκινο. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός πράσινων κελιών, που μπορεί να προκύψει στο πίνακα μετά από μερικές κινήσεις;

Πηγή

Πολύ ωραίο! Μπορούμε να πετύχουμε 5000

πράσινα κελιά αλλά όχι περισσότερα.

Μένουν

οριζόντιες γραμμές και

κάθετες. Σε κάθε γραμμή τα 100

κελιά εναλλάξ είτε ανήκουν μόνο στη γραμμή είτε είναι κοινά και με μια άλλη γραμμή. Μπορούμε λοιπόν τα

που ανήκουν μόνο σε αυτή να τα κάνουμε πράσινα και τα υπόλοιπα κόκκινα. Κάθε κελί θα χρωματιστεί το πολύ δύο φορές. Τα 2500

κοινά θα χρωματιστούν κόκκινα και τα υπόλοιπα 5000

πράσινα.

Υπάρχουν και πολλοί άλλοι τρόποι να έχουμε 5000

πράσινα. Θα δείξουμε ότι δεν μπορούμε να έχουμε περισσότερα.

Κατασκευάζω ένα γράφημα με κορυφές τα 7500

που έχουν απομείνει και ακμές μεταξύ κελιών που είναι γειτονικά κατά πλευρά. Το γράφημα είναι διμερές με το ένα μέρος, έστω το

, να έχει

κελιά (αυτά που ανήκουν και σε οριζόντιες και σε κάθετες γραμμές) και το άλλο μέρος, έστω το

να έχει

κελιά.

Τώρα σβήνω κάποιες από τις ακμές και κρατάω μόνο αυτές που αντιστοιχούν σε ζεύγη κελιών που χρωμάτισα ταυτόχρονα. Επειδή κάθε κελί χρωματίζεται το πολύ δύο φορές, το γράφημα που μένει είναι ένα σύνολο από μονοπάτια και κύκλους. Σε κάθε τέτοιο μονοπάτι ή κύκλο πρέπει να έχω τουλάχιστον ένα κόκκινο κελί. Επίσης αν αυτό το μονοπάτι ή κύκλος έχει

κορυφές στο σύνολο

, τότε έχει το πολύ k+1

στο σύνολο

, και άρα το πολύ

πράσινα κελιά.

Γενικά λοιπόν αν έχουμε

τέτοια μονοπάτια/κύκλους με $k_1,k_2,\ldots,k_n$ κορυφές στο σύνολο

, θα έχουμε συνολικά το πολύ $2(k_1 + \cdots + k_n) \leqslant 5000$ πράσινα κελιά.

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 (8η τάξη, 1η φάση)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 (8η τάξη, 1η φάση)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 (8η τάξη, 1η φάση)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 (8η τάξη, 1η φάση)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 (8η τάξη, 1η φάση)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 (8η τάξη, 1η φάση)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 (8η τάξη, 1η φάση)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 (8η τάξη, 1η φάση)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 (8η τάξη, 1η φάση)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2024 (8η τάξη, 1η φάση)

Μέλη σε σύνδεση