Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2023 (6η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης
Θέματα της 6ης τάξης για την 2η φάση, 19 Φεβρουαρίου 2023.


1. Μερικοί πειρατές μοίρασαν μεταξύ τους ένα θησαυρό: ο καθένας τους έλαβε πέντε πολύτιμους λίθους συνολικής αξίας πιάστρων. Προέκυψε, ότι οποιονδήποτε πειρατή και αν πάρουμε, αυτός θα έχει τρεις λίθους, οι οποίοι στο σύνολο αξίζουν λιγότερο, από ότι στο σύνολο αξίζουν κάποιοι δυο λίθοι που ανήκουν σε κάποιους δυο άλλους πειρατές. Να αποδείξετε, ότι κάποιος από τους πειρατές θα έχει στην κατοχή του λίθο, ο οποίος αξίζει πάνω από πιάστρα.

2. Σε κύκλο βρίσκονται παιδιά με μπλε καπέλο και με κόκκινο. Είναι γνωστό, ότι τα αγόρια με μπλε καπέλο και τα κορίτσια με κόκκινο λένε πάντα την αλήθεια και τα υπόλοιπα παιδιά ψεύδονται. Κάθε αγόρι αναφώνησε: «όλοι οι γείτονες μου είναι με κόκκινα καπέλα». Κάθε κορίτσι αναφώνησε: «όλοι οι γείτονές μου είναι με μπλε καπέλα». Πόσα αγόρια μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των παιδιών;

3. Θα ονομάσουμε ενδιαφέρον έναν φυσικό (μη μηδενικό) αριθμό , που κατέχει την εξής ιδιότητα: αν διαλέξουμε οποιονδήποτε φυσικό (μη μηδενικό) αριθμό , που διαιρείτε με τον και μεταξύ οποιονδήποτε δυο ψηφίων του τοποθετήσουμε τρια μηδενικά, τότε προκύπτει αριθμός που επίσης διαιρείται με τον . Για παράδειγμα, ο αριθμός είναι ενδιαφέρον. Να βρείτε τον μεγαλύτερο ενδιαφέρον αριθμό, που δεν διαιρείτε με το .

4. Σε κύκλο είναι τοποθετημένα ποτήρια, το καθένα περιέχει νερό ή χυμό λεύκας. Είναι γνωστό, ότι δεν υπάρχουν τρία ποτήρια στην σειρά με το ίδιο περιεχόμενο. Με μια δοκιμή επιτρέπεται να πιούμε από οποιοδήποτε ποτήρι και να καταλάβουμε, τι είναι το περιεχόμενό του. Μπορούμε άραγε με δοκιμές να προσδιορίσουμε το περιεχόμενο όλων των ποτηριών;

Καταληκτική αίθουσα

5. Ο Τοτός εξηγεί, ότι μια φορά τοποθέτησε στα κελιά ενός πίνακα τους αριθμούς από το έως το και ύστερα άρχισε έναν, έναν να τους σβήνει. Με μια κίνηση διάλεγε μια γραμμή (στήλη ή γραμμή), στην οποία είχε μείνει έστω ένας αριθμός και έσβηνε τον μικρότερο αριθμό σε αυτή τη γραμμή. Μετά από μερικές κινήσεις στον πίνακα απόμειναν οι αριθμοί από το έως και μόνον αυτοί. Για ποιο ελάχιστο το γεγονός που περιγράφει ο Τοτός ΔΕΝ θα μπορούσε να συμβεί;

6. Στην οθόνη ενός υπολογιστή είναι γραμμένος ο φυσικός αριθμός , μεγαλύτερος του . Κάθε δευτερόλεπτο ο υπολογιστής αφαιρεί από τον αριθμό, που προκύπτει από τον αφαιρώντας τα δυο τελευταία ψηφία του και αντικαθιστά στην οθόνη τον αριθμό με την διαφορά που προέκυψε. Όταν ο γίνει μικρότερος του , ο υπολογιστής σταματάει. Μπορεί άραγε να προκύψει έτσι, ώστε κατά την χρονική διάρκεια λειτουργίας του υπολογιστή σε καμία στιγμή ο αριθμός να μην λήγει σε δυο μηδενικά;


Πηγή

[Demetres]

4. Σε κύκλο είναι τοποθετημένα ποτήρια, το καθένα περιέχει νερό ή χυμό λεύκας. Είναι γνωστό, ότι δεν υπάρχουν τρία ποτήρια στην σειρά με το ίδιο περιεχόμενο. Με μια δοκιμή επιτρέπεται να πιούμε από οποιοδήποτε ποτήρι και να καταλάβουμε, τι είναι το περιεχόμενό του. Μπορούμε άραγε με δοκιμές να προσδιορίσουμε το περιεχόμενο όλων των ποτηριών;

Ναι μπορούμε. Ξεκινάω δοκιμάζοντας από το πρώτο και το τρίτο ποτήρι. Αν είναι ίδια τότε ξέρω τι έχει το δεύτερο ποτήρι. Αν είναι διαφορετικά τότε δοκιμάζω το δεύτερο ποτήρι. Θα είναι ίδιο είτε με το πρώτο είτε με το τρίτο και έτσι θα ξέρω τι έχει είτε το τελευταίο είτε το τέταρτο. Σε κάθε περίπτωση με τρεις το πολύ δοκιμές ξέρω τι έχουν τέσσερα διαδοχικά ποτήρια. Χωρίς βλάβη της γενικότητας ξέρω τι έχουν τα ποτήρια και . Δοκιμάζω τώρα το ποτήρι .

Περίπτωση 1: Αν τα και είναι διαφορετικά, δοκιμάζω το . Χωρίς βλάβη είναι το ίδιο με το . Τότε ξέρω το και δοκιμάζω το .

Περίπτωση 2: Αν τα και είναι ίδια, δοκιμάζω το . Αν είναι ίδιο με το ξέρω το και δοκιμάζω το . Αν είναι διαφορετικό τότε τα και είναι διαφορετικά. Δοκιμάζω το και θα ξέρω μετά σίγουρα το .

Σε κάθε μια από τις δύο πιο πάνω περιπτώσεις με συνολικά τρεις περισσότερες δοκιμές έμαθα τι έχουν τα ποτήρια με . Συνεχίζοντας επαγωγικά μπορώ να ξέρω τι έχουν τα ποτήρια μέχρι με δοκιμές. Άρα δοκιμές είναι αρκετές.