Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Al.Koutsouridis · #1

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021/22.
Θέματα της 1ης μέρας της 3ης φάσης για την 10η τάξη. 4 Φεβρουαρίου 2022.

1. Ο Πέτρος έγραψε στον πίνακα δέκα θετικούς ακέραιους, μεταξύ των οποίων δεν υπάρχουν δυο ίση. Είναι γνωστό, ότι μεταξύ αυτών των δέκα αριθμών μπορούμε να διαλέξουμε τρεις αριθμούς, που διαιρούνται με το

. Επίσης είναι γνωστό, ότι μεταξύ των δέκα γραμμένων αριθμών μπορούμε να διαλέξουμε τέσσερεις αριθμούς, που διαιρούνται με το

. Μπορεί το άθροισμα όλων των αριθμών γραμμένων στο πίνακα να είναι μικρότερο του

; (Π. Κοζέβνικοβ)

2. Δίνεται ένα δευτεροβάθμιο τριώνυμο P(x)

. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ανά δυο διαφορετικοί αριθμοί

,

και

τέτοιοι, ώστε να ικανοποιούνται οι ισότητες

P(b+c)=P(a)

,

. (Ν. Αγκαχάνοβ)

3. Ο Βασίλης έχει

καραμέλες μερικών γεύσεων, όπου $n \geq 145$ . Είναι γνωστό ότι αν από τις δεδομένες καραμέλες διαλέξουμε οποιαδήποτε ομάδα, που περιέχει τουλάχιστον 145

καραμέλες (ως ειδική περίπτωση, μπορεί να επιλεχθεί ομάδα με όλες τις

καραμέλες), τότε υπάρχει τέτοια γεύση καραμέλας, ώστε η επιλεγθείσα ομάδα να περιέχει ακριβώς

καραμέλες αυτής της γεύσης. Να βρείτε την μέγιστη δυνατή τιμή του

. (Α. Αντρόποβ)

4. ‘Εστω $P(x) = a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + a_{1}x+a_{0}$ , όπου

μη μηδενικός φυσικός αριθμός. Είναι γνωστό ότι οι αριθμοί $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}$ είναι ακέραιοι, εξάλλου $a_{n} \neq 0$ , $a_{n-k}=a_{k}$ για όλα τα $k=0,1, \ldots , n$ και $a_{n}+a_{n-1}+ \ldots +a_{1}+a_{0} =0$ . Να αποδείξετε ότι ο αριθμός P(2022)

διαιρείται με το τετράγωνου κάποιου φυσικού αριθμού μεγαλύτερου του

. (Ε. Χολμογκόροβ)

5. Στον κύκλο $\Omega$ είναι εγγεγραμμένο το εξάγωνο AECDBF

. Είναι γνωστό ότι το σημείο

είναι το μέσο του τόξου

και τα τρίγωνα ABC

και

έχουν κοινό εγγεγραμμένο κύκλο. Η ευθεία

τέμνει τα τμήματα

και

στα σημεία

,

και η ευθεία

τέμνει τα τμήματα

,

στα σημεία

και

αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία X,Y,T,Z

βρίσκονται στον ίδιο κύκλο. (Ντ. Μπρόντσκϊι)

#2

Το πρώτο το είδαμε εδώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 17, 2022 11:12 pm
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021/22.
Θέματα της 1ης μέρας της 3ης φάσης για την 10η τάξη. 4 Φεβρουαρίου 2022.

4. ‘Εστω $P(x) = a_{n}x^n + a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + a_{1}x+a_{0}$ , όπου μη μηδενικός φυσικός αριθμός. Είναι γνωστό ότι οι αριθμοί $a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n}$ είναι ακέραιοι, εξάλλου $a_{n} \neq 0$ , $a_{n-k}=a_{k}$ για όλα τα $k=0,1, \ldots , n$ και $a_{n}+a_{n-1}+ \ldots +a_{1}+a_{0} =0$ . Να αποδείξετε ότι ο αριθμός διαιρείται με το τετράγωνου κάποιου φυσικού αριθμού μεγαλύτερου του . (Ε. Χολμογκόροβ)

Παραπλανητικό.
P(1)=0

Με παραγώγους η με την διαίρεση βρίσκουμε ότι το (x-1)^2

διαιρεί το P(x)

Τα υπόλοιπα απλά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 17, 2022 11:12 pm
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021/22.
Θέματα της 1ης μέρας της 3ης φάσης για την 10η τάξη. 4 Φεβρουαρίου 2022.

2. Δίνεται ένα δευτεροβάθμιο τριώνυμο . Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ανά δυο διαφορετικοί αριθμοί , και τέτοιοι, ώστε να ικανοποιούνται οι ισότητες

, , . (Ν. Αγκαχάνοβ)

Θα παραλείψω τις πράξεις.
Ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής δεν παίζει κανένα ρόλο.
Ετσι P(x)=x^2+Ax+B

Χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι P(x+y)=P(x)+P(y)+2xy-B

από τις τρεις σχέσεις προκύπτει ότι a+b+c+A=0

Αν πάρουμε τα a,b

αυθαίρετα και το

από την προηγούμενη ετσι ώστε να μην είναι ισα
ανα δύο εύκολα τσεκάρουμε ότι ισχύουν οι τρεις σχέσεις.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 17, 2022 11:12 pm
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021/22.
Θέματα της 1ης μέρας της 3ης φάσης για την 10η τάξη. 4 Φεβρουαρίου 2022.

3. Ο Βασίλης έχει καραμέλες μερικών γεύσεων, όπου $n \geq 145$ . Είναι γνωστό ότι αν από τις δεδομένες καραμέλες διαλέξουμε οποιαδήποτε ομάδα, που περιέχει τουλάχιστον καραμέλες (ως ειδική περίπτωση, μπορεί να επιλεχθεί ομάδα με όλες τις καραμέλες), τότε υπάρχει τέτοια γεύση καραμέλας, ώστε η επιλεγθείσα ομάδα να περιέχει ακριβώς καραμέλες αυτής της γεύσης. Να βρείτε την μέγιστη δυνατή τιμή του . (Α. Αντρόποβ)

Απάντηση $n_{max}=160$ .
Αρχικά τους επιλέγουμε όλους επομένως υπάρχει γεύση A_1

με ακριβώς

καραμέλες, στη συνέχεια επιλέγω όλους εκτός από έναν της γεύσης A_1

οπότε αν τύχει και $n-1\geq 145$ βρήκα ακόμη μια γεύση A_2

με ακριβώς

καραμέλες (συνολικά) μιας και η γεύση A_1

έχει μόνο

μεταξύ αυτών που διάλεξα. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο παίρνουμε τελικά πως υπάρχουν τουλάχιστον n-145+1=n-144=m

γεύσεις η κάθε μια εκ των οποίων έχει συνολικά ακριβώς

καραμέλες, επιλέγοντας λοιπόν

καραμέλες από την κάθε τέτοια γεύση δεν πρέπει να διαλέξουμε $\geq 145$ καραμέλες καθώς κάθε γεύση που εμφανίζεται έχει ακριβώς

καραμέλες στο σύνολο, άρα $9m<145\Rightarrow m\leq 16\Rightarrow n\leq 160$ .
Για n=160

η κατασκευή είναι απλή, θεωρούμε

γεύσεις η κάθε μια εκ των οποίων έχει ακριβώς

καραμέλες, αν επιλέξουμε σύνολο από $\geq 145$ καραμέλες τότε αναγκαστικά θα έχουμε επιλέξει κάποια γεύση ολόκληρη μιας και $9\cdot 16=144<145$ και τελειώσαμε.

Ορέστης Λιγνός · #6

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 17, 2022 11:12 pm
Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2021/22.
Θέματα της 1ης μέρας της 3ης φάσης για την 10η τάξη. 4 Φεβρουαρίου 2022.

5. Στον κύκλο $\Omega$ είναι εγγεγραμμένο το εξάγωνο . Είναι γνωστό ότι το σημείο είναι το μέσο του τόξου και τα τρίγωνα και έχουν κοινό εγγεγραμμένο κύκλο. Η ευθεία τέμνει τα τμήματα και στα σημεία , και η ευθεία τέμνει τα τμήματα , στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα σημεία βρίσκονται στον ίδιο κύκλο. (Ντ. Μπρόντσκϊι)

Έστω

το κοινό έκκεντρο των τριγώνων ABC

και

. Είναι,

$\angle ADF \equiv \angle IDF=\angle IDE \equiv \angle ADE,$

οπότε το σημείο

είναι το μέσον του τόξου

. Αποδεικνύουμε τώρα δύο Ισχυρισμούς:

Ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο XYEF

είναι εγγράψιμο.
Απόδειξη: Πράγματι, είναι

$\angle FEY=\angle FEB+\angle BED=\angel FCX+\angle CFD=\angle FXB,$

συνεπώς $\angle FEY=\angle FXB$ , οπότε το τετράπλευρο XYEF

είναι εγγράψιμο $\blacksquare$

Ισχυρισμός 2: Το τετράπλευρο ZTCB

είναι εγγράψιμο.
Απόδειξη: Πράγματι, είναι

$\angle ATZ=\angle AET+\angle TAE=\angle ABE+\angle EBC=\angle B,$

συνεπώς $\angle ATZ=\angle B$ , οπότε το τετράπλευρο ZTCB

είναι εγγράψιμο $\blacksquare$

Στο πρόβλημά μας, αν $K \equiv FE \cap BC$ (αν ισχύει ότι $FE \parallel BC$ τότε λόγω συμμετρίας το τρίγωνο ABC

είναι ισοσκελές και εύκολα προκύπτει ότι το τετράπλευρο ZTYX

είναι ισοσκελές τραπέζιο, άρα και εγγράψιμο), τότε από τα αποτελέσματα των δύο Ισχυρισμών είναι:

$KX \cdot KY=KE \cdot KF=KB \cdot KC=KZ \cdot KT,$

συνεπώς και το τετράπλευρο ZTYX

είναι εγγράψιμο, όπως θέλαμε.

Σημείωση: Θα ήθελα αρχικά να ευχαριστήσω τον Αλέξανδρο για τα καλά του λόγια και τις ευχές του. Επιπλέον, τον ευχαριστώ που τόσα χρόνια αναρτά άοκνα τα προβλήματα όλων των Ρωσικών Ολυμπιάδων (Πανρωσική, Αγίας Πετρούπολης, Μόσχας, Ανοιχτή Ολυμπιάδα ΦΜΛ), προσφέροντας σε όλους μας την δυνατότητα να δοκιμάσουμε αυτά τα προβλήματα χωρίς να χρειαστεί να... βγάλουμε τα μάτια μας με το Google Translate

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2022 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Μέλη σε σύνδεση