Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2023 (6η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

LXXXVI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
XXXIV Μαθηματική Γιορτή - 19 Φεβρουαρίου 2023 6η τάξη


Πρόβλημα 1. Στον πίνακα είναι γραμμένα δυο αθροίσματα





Προσδιορίστε ποιο από τα δυο είναι μεγαλύτερο (ή αν είναι ίσα); ( [4 μόρια] Γκ. Α. Γκαλπερίν)


Πρόβλημα 2. Ο Νίκος κατά την διάρκεια δέκα ημερών έλυνε προβλήματα, κάθε μέρα τουλάχιστον ένα. Κάθε μέρα (εκτός της πρώτης), αν ο καιρός ήταν συννεφιασμένος έλυνε ένα πρόβλημα περισσότερο, από την προηγούμενη και αν ήταν ηλιόλουστος, ένα πρόβλημα λιγότερο. Τις πρώτες μέρες ο Νίκος έλυσε προβλήματα. Τι καιρό είχε την δέκατη μέρα; [5 μόρια] (Μπ. Ρ. Φρένκιν)


Πρόβλημα 3. Τα εκατό καθίσματα ενός καρουζέλ είναι τοποθετημένα σε κύκλο ανά ίσα διαστήματα. Το καθένα από αυτά είναι χρωματισμένο με κίτρινο, μπλε ή κόκκινο χρώμα. Τα καθίσματα του ίδιου χρώματος είναι τοποθετημένα με την σειρά και είναι αριθμημένα κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού. Το μπλε κάθισμα είναι απέναντι από το κόκκινο και το κίτρινο απέναντι από το κόκκινο . Να βρείτε, πόσα κίτρινα, πόσα μπλε και πόσα κόκκινα καθίσματα έχει το καρουζέλ. ([6 μόρια] Α.Β. Σαποβάλοβ)


Πρόβλημα 4. Να κόψετε το «μπισκότο» σε ίσα κομμάτια (ίδια σε μέγεθος και σχήμα). Τα κοψίματα δεν είναι απαραίτητο να είναι ευθύγραμμα. ([6 μόρια] Τ.Ι. Γκολενίτσεβα-Κουτούζοβα)

Screen Shot 2023-02-25 at 12.59.31.png (18.99 KiB) Προβλήθηκε 1554 φορές

Πρόβλημα 5. Η φιγούρα «βιολιστής» ενοχλεί το κελί αριστερά κατά πλευρά (με τον αγκώνα) και το κελί διαγώνια δεξιά πάνω (με το δοξάρι) , αν είναι δεξιός και το αντίστροφο, το δεξί κελί κατά πλευρά και το διαγώνια αριστερά πάνω, αν είναι αριστερός ( όλοι οι βιολιστές κάθονται κατά πρόσωπο σε μας). Τοποθετήστε όσο τον δυνατόν περισσότερους «βιολιστές» σε μια «ορχήστρα» κελιών, ώστε να μην ενοχλούν ο ένας τον άλλον. (Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιοδήποτε αριθμό τόσο δεξιών, όσο και αριστερών βιολιστών.) ( [7 μόρια] Μ.Α. Χατσατουριάν)

Screen Shot 2023-02-25 at 13.27.56.png (13.63 KiB) Προβλήθηκε 1554 φορές

Πρόβλημα 6. Ο Κασέι φυλάκισε ένα πλήθος αιχμαλώτων και τους είπε: «Αύριο θα υποβληθείτε σε μια δοκιμασία. Θα διαλέξω μερικούς από σας (όποιον θελήσω, αλλά τουλάχιστον τρεις), θα σας καθίσω σε ένα στρογγυλό τραπέζι με κάποια σειρά (όποια επιθυμώ) και τον καθένα στο μέτωπο θα κολλήσω ένα χαρτάκι με ζωγραφισμένο σε αυτό ένα σχήμα. Τα σχήματα μπορεί να επαναλαμβάνονται, αλλά κανένα ζεύγος διαφορετικών σχημάτων δεν θα είναι κολλημένα σε ίσο αριθμό ατόμων. Ο καθένας θα κοιτάξει τα σχήματα των υπολοίπων, αλλά το δικό του δε θα το δει. Απαγορεύτε να δίνει οποιοδήποτε σημάδι ο ένας στον άλλον. Μετά από αυτό θα αφαιρέσω τα χαρτάκια και θα διατάξω όλους να τοποθετηθούν σε διαφορετικά κελιά. Εκεί ο καθένας θα πρέπει σε ένα φύλλο χαρτί να ζωγραφίσει ένα σχήμα. Αν έστω και ένας ζωγραφίσει το σχήμα που ήταν κολλημένο στο μέτωπό του, θα τους ελευθερώσω όλους. Διαφορετικά θα παραμείνετε εδώ αιώνια.» Πως πρέπει να συνεννοηθούν να δράσουν οι αιχμάλωτοι, ώστε να σωθούν; ([8 μόρια] Τ.Ι. Κγολενίτσεβα-Κουτούζοβα, Τ.Β Καζίτσινα)

[Henri van Aubel]

Πρόβλημα 2

Αν την πρώτη έλυσε προβλήματα, τότε τις πρώτες τέσσερις μέρες έλυσε προβλήματα, άτοπο
Άρα την πρώτη έλυσε προβλήματα
Περιπτώσεις:

Αν την πρώτη έλυσε προβλήματα, τότε στις εννέα πρώτες μέρες έλυσε τουλάχιστον προβλήματα, άτοπο
Αν την πρώτη έλυσε προβλήματα, τότε στις εννέα πρώτες μέρες έλυσε τουλάχιστον προβλήματα, άτοπο
Αν την πρώτη έλυσε προβλήματα, τότε στις εννέα πρώτες μέρες έλυσε τουλάχιστον προβλήματα, άτοπο
Άρα, την πρώτη έλυσε ένα πρόβλημα και την δεύτερη δύο. Τώρα, αν κάποια άλλη μέρα έλυνε τρία ή παραπάνω προβλήματα, τότε στις εννέα πρώτες μέρες θα έλυνε τουλάχιστον προβλήματα, άτοπο. Συνεπώς, καμία μέρα μέρα δεν έλυσε τρία ή παραπάνω προβλήματα. Επομένως, έλυσε ένα την πρώτη, δύο τη δεύτερη, ένα την τρίτη, δύο την τέταρτη, ..., ένα την ένατη. Αφού την ένατη έλυσε ένα, έπεται ότι την δέκατη έλυσε δύο, αναγκαστικά, αφού δεν γίνεται να έλυσε ένα , ούτε μηδέν. Επομένως, η δέκατη μέρα ήταν ηλιόλουστη!

[Henri van Aubel]

Πρόβλημα 3
Έστω τα πλήθη των κίτρινων, μπλε, κόκκινων αντίστοιχα. Τότε, είναι και

Οπότε, είναι μπλε, κίτρινα και κόκκινα καθίσματα!

[Henri van Aubel]

Πρόβλημα 1

Είναι απλό ότι και έστω

'Εχουμε άρα

[Al.Koutsouridis]

'Εχουμε άρα

Δεν είναι ακριβώς φανερό το τι κάνετε με τους υπόλοιπους όρους του αθροίσματος.

[Al.Koutsouridis]

Αφού την ένατη έλυσε ένα, έπεται ότι την δέκατη έλυσε δύο, αναγκαστικά, αφού δεν γίνεται να έλυσε ένα , ούτε μηδέν. Επομένως, η δέκατη μέρα ήταν ηλιόλουστη!

Ωραία! Εδώ υπάρχει τυπογραφικό στην τελική απάντηση, η δέκατη μέρα είναι συννεφιασμένη.

Υγ. Να σημειώσουμε ότι η έννοια άτοπο καθώς και το σύμβολο ισοδυναμίας , που χρησιμοποιείται στην λύση του τρίτου προβλήματος, εισάγονται στο Λύκειο. Επειδή το το παρακολουθούν μαθητές και γονείς καλό θα ήταν στις ευαίσθητες μικρές τάξεις, οι λύσεις να είναι κοντά στην ορολογία των αντίστοιχων τάξεων.

[Mihalis_Lambrou]

Πρόβλημα 2. Ο Νίκος κατά την διάρκεια δέκα ημερών έλυνε προβλήματα, κάθε μέρα τουλάχιστον ένα. Κάθε μέρα (εκτός της πρώτης), αν ο καιρός ήταν συννεφιασμένος έλυνε ένα πρόβλημα περισσότερο, από την προηγούμενη και αν ήταν ηλιόλουστος, ένα πρόβλημα λιγότερο. Τις πρώτες μέρες ο Νίκος έλυσε προβλήματα. Τι καιρό είχε την δέκατη μέρα; [5 μόρια] (Μπ. Ρ. Φρένκιν)

Πιο απλά: Αφού κάθε μέρα λύνει διαφορετικό πλήθος ασκήσεων από την προηγούμενη (ακριβέστερα ) σημαίνει ότι τις πρώτες μέρες είχε συνολικά το πολύ μέρες με μία άσκηση. Άρα τις υπόλοιπες είχε τουλάχιστον ασκήσεις (αφού οι ασκήσεις απαγορεύονται), σύνολο ή παραπάνω με ισότητα μόνο αν ήταν ακριβώς μέρες με μία άσκηση και τέσσερις με . Κάθε άλλη εκδοχή δίνει τουλάχιστον μία παραπάνω άσκηση, και άρα αποκλείεται. Με άλλα λόγια έλυσε, με αυτή την σειρά, . Άρα την δέκατη μέρα έλυσε ασκήσεις (αφού δεν μπορεί ). Συννεφιασμένη μέρα.

[Henri van Aubel]

'Εχουμε άρα

Δεν είναι ακριβώς φανερό το τι κάνετε με τους υπόλοιπους όρους του αθροίσματος.

Ναι, όμως είναι πολύ απλό, αλλά μακρινάρι και δεν χωράει σε μία γραμμή.

[Manolis Petrakis]

Πρόβλημα 1. Στον πίνακα είναι γραμμένα δυο αθροίσματα





Προσδιορίστε ποιο από τα δυο είναι μεγαλύτερο (ή αν είναι ίσα); ( [4 μόρια] Γκ. Α. Γκαλπερίν)

Έχουμε
και
Το άθροισμα των μονάδων των προσθετέων του είναι , όπως και του .
Το άθροισμα των δεκάδων των προσθετέων του είναι , όπως και του .
Το άθροισμα των εκατοντάδων των προσθετέων του είναι , όπως και του .
Συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο στις χιλιάδες, δεκάδες χιλιάδες κλπ. και βρίσκουμε ότι τελικά τα είναι ίσα.

[Mihalis_Lambrou]

Πρόβλημα 1. Στον πίνακα είναι γραμμένα δυο αθροίσματα





Προσδιορίστε ποιο από τα δυο είναι μεγαλύτερο (ή αν είναι ίσα); ( [4 μόρια] Γκ. Α. Γκαλπερίν)

Μετά την ωραία λύση του Μανώλη, δίνω άλλη μία.

Κοιτάμε τα 9-ρια. Στον A βρίσκονται (μετρώντας από το τέλος, δηλαδή από δεξιά προς τα αριστερά) στην πρώτη, δεύτερη, τρίτη, ... , έννατη θέση. Στον Β βρίσκονται ακριβώς στις ίδιες θέσεις (κοιτάχτε!).

Για τα 8-ρια, στον A βρίσκονται (μετρώντας από το τέλος) στην πρώτη, δεύτερη, τρίτη, ... , όγδοη θέση. Στον Β βρίσκονται ακριβώς στις ίδιες θέσεις (κοιτάχτε!).

Συμβαίνει το αντίστοιχο για τα 7-ρια, 6-ρια, ... , 2-ρια και τον άσσο.

Άρα τα δύο αθροίσματα έχουν ακριβώς τα ίδια ψηφία, ακριβώς στις ίδιες θέσεις. Άρα τα δύο αθροίσματα είναι ίσα.