Επαρχιακός Διαγωνισμός Λυκείων 2022 (Κύπρος)

#1

Σήμερα είχαμε τον Επαρχιακό Διαγωνισμό της Κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας. Αναρτώ εδώ τα θέματα του Λυκείου. Θα αναρτήσω αργότερα και των άλλων τάξεων.

Manolis Petrakis · #2

Πρόβλημα 1 - Γ' Λυκείου
Είναι $f(x)=\dfrac{3x^2+x^4}{(1+x^2)^2}$
Προφανώς $f(x)\geq 0$ με την ισότητα να ισχύει για x=0

.
Για το μέγιστο θα δείξουμε ότι $f(x)\leq \dfrac{9}{8}$
$\Leftrightarrow \dfrac{3x^2+x^4}{(1+x^2)^2}\leq \dfrac{9}{8}$
$\Leftrightarrow 9(1+x^2)^2\geq 8(3x^2+x^4)$
$\Leftrightarrow 9x^4+18x^2+9\geq 8x^4+24x^2$
$\Leftrightarrow x^4-6x^2+9\geq 0$
$\Leftrightarrow (x^2-3)^2\geq 0$
Το οποίο ισχύει, ενώ έχουμε ισότητα για $x=\sqrt 3$ ή $x=-\sqrt 3$ .
Για το 2ο ερώτημα, είναι $g(x)=ax-\dfrac{x^3}{x^2+1}$
Επομένως $g'(x)=a-\dfrac{3x^2+x^4}{(1+x^2)^2}=a-f(x)$ .
Πρέπει $g'(x)\geq 0\Leftrightarrow a\geq f(x)$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , άρα και για $x=\sqrt 3$ , δηλαδή $a\geq \dfrac{9}{8}.$

fogsteel · #3

Για το 1ο της Β Λυκείου.

Για n = 1

έχουμε πως 5^2 + 3 - 1 = 27

, το οποίο είναι πολλαπλάσιο του 9.

Έστω ότι ισχύει για κάποιο $n = k , k \geq 1$ .

Τότε για n = k + 1

έχουμε :

$\displaystyle{A =5^{2n + 2} + 3(n + 1) - 1 = 25*5^{2n} + 3n + 3 - 1 }$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow A =(24* 5^{2n} + 3) + (5^{2n} + 3n - 1) = 3(8*5^{2n} + 1) + 5^{2n} + 3n - 1 }$

Αρκέι να δείξουμε ότι $8*5^{2n} + 1$ είναι πολλαπλάσιο του

, που ισχύει αφού $25^n \equiv 1\ \textrm{mod}\ 3 \Rightarrow 8*25^n + 1 \equiv -1 + 1\ \textrm{mod}\ 3 \Rightarrow 8*25^n - 1 \equiv 0 \ \textrm{mod}\ 3$

Άρα ισχύει για κάθε θετικό ακέραιο

CarlusMagnsenYourDad22 · #4

Π1 Β ΛΥΚΕΙΟΥ:

Παρατηρούμε(mod 9):
n, 5^2n, 3n, -1
1, 7, 3, -1
2, 4, 6, -1
3, 1, 0, -1
4, 7, 3, -1
...
Άρα σε κάθε περίπτωση 5^2n+3n-1=0 (mod 9)και το ζητούμενο έπεται.

fogsteel · #5

Για το 4ο της Γ λυκείου

Αρκεί να αποδείξουμε ότι f'(x) = g'(x)

.

$f(x) = g(x) \Leftrightarrow h(x) = 1 \Rightarrow h^2(x) = 1 \Leftrightarrow h'(x) = 0$

Αφού g(x) = h(x)f(x)

τότε

Άρα για κάθε αριθμό

ώστε

, ισχύει επίσης ότι h(y) = 1 , h'(y) = 0

.
Οπότε

, και το ζητούμενο έπεται.

CarlusMagnsenYourDad22 · #6

Π4 Β ΛΥΚΕΙΟΥ:
Φέρνω ΒΔ=ΒΑ=γ στην προέκταση της ΓΒ.
ΑΒΓ όμοιο με ΑΔΓ από Γ-Γ. Άρα β/α=(α+γ)/β και το ζητούμενο έπεται.

#7

Χαίρομαι που στη Γεωμετρια της Β Λυκειου τέθηκε κλιμακωτά το θεώρημα της σπασμένης χορδής του Αρχιμήδη κάτι που νομίζω ότι αξίζει να αναφερθεί στις λύσεις, έτσι για την ιστορία κλπ.

Καλά αποτελέσματα !

S.E.Louridas · #8

Και μία άλλη λύση για το 1ο πρόβλημα της Β' Λυκείου, εκτός εκείνης με την τέλεια επαγωγή, για να δούμε και τη δύναμη του διωνύμου.

$A = {5^{2n}} + 3n - 1 \Leftrightarrow A = {\left( {{5^n} - {2^n}} \right)^2} + 2 \cdot {10^n} - {4^n} + 3n - 1,\;{{\mu \varepsilon }}\;9|{\left( {{5^n} - {2^n}} \right)^2},$ οπότε αρκεί $9|2 \cdot {10^n} - {4^n} + 3n - 1,$ ή αρκεί $9|2 \cdot ({10^n} - 1) - {4^n} + 3n + 1,$ οπότε αρκεί $9|{4^n} - 4 - 3n + 3 \Leftrightarrow 9|4 \cdot 3\left( {{4^{n - 2}} + {4^{n - 3}} + ... + 4 + 1} \right) - 3\left( {n - 1} \right),$ άρα αρκεί $3|\underbrace {\left( {{4^{n - 1}} - 1} \right) + \left( {{4^{n - 2}} - 1} \right) + ... + \left( {4 - 1} \right)}_{(n - 1) - times},$ που είναι καθαρό ότι ισχύει.

S.E.Louridas · #9

Για το 4ο πρόβλημα της Β’ Λυκείου:

Θεωρούμε την διχοτόμο $B\Delta.$ Θέλουμε να ισχύει ${\beta ^2} - {\alpha ^2} = \alpha \gamma .$
Έχουμε ${\rm B}\Delta = \Delta {\rm A} \Rightarrow {\alpha ^2} = \beta \left( {\beta - \Delta {\rm A}} \right) \Rightarrow {\beta ^2} - {a^2} = \beta \,\Delta {\rm A}.$
Όμως $\vartriangle {\rm A}{\rm B}\Gamma \sim \vartriangle \Delta {\rm B}\Gamma ,$ άρα ${\beta ^2} - {a^2} = \beta \,\Delta {\rm A} = \alpha \gamma .$

Henri van Aubel · #10

Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 2.
Έχουμε:

$\displaystyle A=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}y^{2}}.$

$x^{3}+y^{3}=\left ( x+y \right )^{3}-3xy\left ( x+y \right )=4^{3}-12xy=100\Leftrightarrow \boxed{xy=-3}(1)$

$x^{2}+y^{2}=\left ( x+y \right )^{2}-2xy=4^{2}-2\cdot \left ( -3 \right )\Leftrightarrow \boxed{x^{2}+y^{2}=22}(2)$

$\displaystyle (1),(2)\Rightarrow A=\frac{22}{9}$

Επαρχιακός Διαγωνισμός Λυκείων 2022 (Κύπρος)

Επαρχιακός Διαγωνισμός Λυκείων 2022 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λυκείων 2022 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λυκείων 2022 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λυκείων 2022 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λυκείων 2022 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λυκείων 2022 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λυκείων 2022 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λυκείων 2022 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λυκείων 2022 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Λυκείων 2022 (Κύπρος)

Μέλη σε σύνδεση