Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2011 (10η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

LXXIV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
Θέματα της 10ης τάξης, 13 Μαρτίου 2011.


Πρόβλημα 1. Υπάρχει άραγε αριθμητική πρόοδος αποτελούμενη από θετικούς ακέραιους, στην οποία το πλήθος των αριθμών, που διαιρούνται με το , να είναι μικρότερο των αριθμών, που διαιρούνται με το και το τελευταίο με την σειρά, μικρότερο του πλήθους των αριθμών, που διαιρούνται με το ;


Πρόβλημα 2. Ένας πίνακας είναι καλυμμένος με ντόμινο . Μερικά από τα ντόμινο είναι τοποθετημένα οριζόντια, μερικά κατακόρυφα. Να αποδείξετε, ότι το σύνορο των οριζόντιων ντόμινο με τα κατακόρυφα έχει άρτιο μήκος.


Πρόβλημα 3. Στο τρίγωνο έχουν αχθεί οι διχοτόμοι και . Είναι γνωστό, ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου τριγώνου βρίσκεται επί της ευθείας . Να βρείτε την γωνία του τριγώνου.


Πρόβλημα 4. Ο Τομ και ο Τζέρι έχουν από τρεις ράβδους συνολικού μήκους μέτρου ο καθένας. Και ο Τομ και ο Τζέρι μπορούν να σχηματίσουν με τις ράβδους τους τρίγωνο. Το βράδυ στο σπίτι τους τρύπωσε ο Τουίτι, πήρε μια ράβδο από τον Τομ και μια ράβδο από τον Τζέρι και τις αντάλλαξε θέση. Το πρωί προέκυψε ότι ο Τομ δεν μπορεί να σχηματίσει τρίγωνο με τις ράβδους του. Μπορούμε να εγγυηθούμε, ότι ο Τζέρι από τις δικές του θα μπορέσει;


Πρόβλημα 5. Ένας κύβος είναι διαμερισμένος σε ορθογώνια παραλληλεπίπεδα έτσι, ώστε για οποιαδήποτε δυο παραλληλεπίπεδα οι προβολές τους σε κάποια έδρα του κύβου να επικαλύπτονται (δηλαδή τέμνονται κατά σχήμα μη μηδενικού εμβαδού). Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τρία παραλληλεπίπεδα θα βρεθεί τέτοια έδρα του κύβου, ώστε οι προβολές οποιονδήποτε δυο εξ αυτών σε αυτήν την έδρα να μην επικαλύπτονται.


Πρόβλημα 6. Δυο εταιρείες με την σειρά προσλαμβάνουν προγραμματιστές, μεταξύ των οποίων υπάρχουν ιδιοφυές. Τον πρώτο προγραμματιστή κάθε εταιρεία των προσλαμβάνει τυχαία, αλλά κάθε επόμενος θα πρέπει να είναι γνώριμος με κάποιον ήδη προσληφθέντα από την δεδομένη εταιρία. Αν μια εταιρεία δεν μπορεί να προβεί σε πρόσληψη υπό αυτούς τους κανόνες, τότε σταματάει τις προσλήψεις ή άλλη μπορεί να συνεχίσει. Η λίστα των προγραμματιστών και οι γνωριμίες τους είναι εκ των προτέρων γνωστά. Μπορούν άραγε οι γνωριμίες να είναι δομημένες έτσι, ώστε η εταιρεία, που ξεκινάει τις προσλήψεις δεύτερη, να μπορέσει να προσλάβει τουλάχιστον ιδιοφυές, ανεξάρτητα το πως θα δράσει η πρώτη εταιρεία;



Πηγή

[S.E.Louridas]

LXXIV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
Θέματα της 10ης τάξης, 13 Μαρτίου 2011.
...................................................................

Πρόβλημα 3. Στο τρίγωνο έχουν αχθεί οι διχοτόμοι και . Είναι γνωστό, ότι το κέντρο του περιγεγραμμένου τριγώνου βρίσκεται επί της ευθείας . Να βρείτε την γωνία του τριγώνου.

............................................................

Έστω το κέντρο του κύκλου. Τότε άρα τα σημεία είναι ομοκυκλικά. Αυτό οδηγεί στις ισότητες: που σημαίνει ότι το ισοσκελές τρίγωνο είναι ισόπλευρο. Τελικά