Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2011 (6η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

LXXIV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2011 - 6η τάξη


Πρόβλημα 1. «Αυτό είναι νωρίς ακόμα να το δείτε», είπε η κακιά μάγισσα στους 33 μαθητές της και τους πρόσταξε: «Κλείστε τα μάτια!» το δεξί μάτι έκλεισαν όλα τα αγόρια και το ένα τρίτο των κοριτσιών. Το αριστερό μάτι έκλεισαν όλα τα κορίτσια και το ένα τρίτο των αγοριών. Πόσοι μαθητές παρόλα αυτά είδαν αυτό, που ήταν ακόμα νωρίς να δουν;

Πρόβλημα 2. Να διαμερίσετε ένα τετράγωνο διαστάσεων σε τρι-τετράγωνες γωνίες (βλέπε σχήμα) έτσι, ώστε κανένα ζεύγος γωνιών να μην σχηματίζει ορθογώνιο .

mmo_2011_class6_pr2.png (4.76 KiB) Προβλήθηκε 1647 φορές

Πρόβλημα 3. Πριν τον ποδοσφαιρικό αγώνα μεταξύ των κλιμακίων Βορρά και Νότου δόθηκαν πέντε προγνωστικά:

Α) δεν θα υπάρξει ισοπαλία
Β) θα σκοράρουν στο τέρμα του Νότου
Γ) ο Βορράς θα κερδίσει
Δ) ο Βορράς δεν θα χάσει
Ε) στον αγώνα θα σημειωθούν ακριβώς τρία τέρματα

Μετά τον αγώνα προέκυψε, ότι αληθής ήταν ακριβώς τρεις προγνώσεις. Με τι σκορ τελείωσε ο αγώνας;


Πρόβλημα 4. Να βρείτε όλες τις λύσεις του εικονογρίφου



(ίδια γράμματα αντιστοιχούν σε ίδια ψηφία, διαφορετικά σε διαφορετικά.)


Πρόβλημα 5. Ο δράκος κλείδωσε στην σπηλιά έξη νάνους και είπε: «Έχω εφτά καπέλα με τα εφτά χρώματα του ουράνιου τόξου. Αύριο το πρωί θα σας δέσω τα μάτια, θα φορέσω στον καθένα από ένα καπέλο και ένα καπέλο θα το κρύψω. Έπειτα θα σας λύσω τα μάτια και θα μπορέσετε να δείτε τα καπέλα των άλλων, αλλά δε θα σας αφήσω να επικοινωνήσετε μεταξύ σας. Μετά από αυτό ο καθένας κρυφά από τους άλλους θα μου πει το χρώμα του κρυμμένου καπέλου. Αν το μαντέψουν τουλάχιστον τρεις, θα σας ελευθερώσω όλους. Αν λιγότεροι θα σας φάω για γεύμα». Πως πρέπει εκ των προτέρων να συνεννοηθούν μεταξύ τους οι νάνοι, ώστε να σωθούν;


Πρόβλημα 6. Μια ξύλινη δοκός κόπηκε με τρία κοψίματα σε οχτώ μικρότερες δοκούς. Στο σχήμα φαίνεται το εμβαδόν επιφανείας εφτά εξ αυτών. Ποιο το εμβαδόν επιφανείας της μη ορατού δοκού;

mmo_2011_class6_pr6.png (32.95 KiB) Προβλήθηκε 1647 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Πρόβλημα 2. Να διαμερίσετε ένα τετράγωνο διαστάσεων σε τρι-τετράγωνες γωνίες (βλέπε σχήμα) έτσι, ώστε κανένα ζεύγος γωνιών να μην σχηματίζει ορθογώνιο .

[Demetres]

LXXIV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2011 - 6η τάξη

Πρόβλημα 3. Πριν τον ποδοσφαιρικό αγώνα μεταξύ των κλιμακίων Βορρά και Νότου δόθηκαν πέντε προγνωστικά:

Α) δεν θα υπάρξει ισοπαλία
Β) θα σκοράρουν στο τέρμα του Νότου
Γ) ο Βορράς θα κερδίσει
Δ) ο Βορράς δεν θα χάσει
Ε) στον αγώνα θα σημειωθούν ακριβώς τρία τέρματα

Μετά τον αγώνα προέκυψε, ότι αληθής ήταν ακριβώς τρεις προγνώσεις. Με τι σκορ τελείωσε ο αγώνας;

Αν το αποτέλεσμα ήταν ισοπαλία, τότε τα Α,Γ,Ε θα ήταν λανθασμένα. Άρα αληθείς θα ήταν το πολύ δύο προτάσεις. Άτοπο.
Αν κέρδισε ο Βορράς, τότε τα Α,Β,Γ,Δ είναι αληθή. Άτοπο.

Οπότε κέρδισε ο Νότος. Άρα η Α είναι αληθής ενώ οι Γ,Δ είναι ψευδείς. Αναγκαστικά οι Β και Γ πρέπει να είναι αληθείς. Άρα κέρδισε ο Νότος, μπήκαν ακριβώς τρία τέρματα, και σκόραρε ο Βορράς.

Οπότε το αποτέλεσμα ήταν 2-1 υπέρ του Νότου.

[KDORTSI]

LXXIV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2011 - 6η τάξη
.......................................................................
Πρόβλημα 6. Μια ξύλινη δοκός κόπηκε με τρία κοψίματα σε οχτώ μικρότερες δοκούς.
Στο σχήμα φαίνεται το εμβαδόν επιφανείας εφτά εξ αυτών.
Ποιο το εμβαδόν επιφανείας της μη ορατού δοκού;

Καλημέρα...
Εργαζόμαστε σε ένα σχήμα που έγινε τυχαία για τις ανάγκες του συγκεκριμένου προβλήματος,
Σχεδιάστηκε δηλαδή ένα τυχαίο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο και "κόπηκε" έτσι όπως το βλέπει
ο αναγνώστης, πάνω σε ένα επίπεδο δάπεδο.

Μ.Ο. Μόσχας, πρόβλημα 6,1.png (37.59 KiB) Προβλήθηκε 1454 φορές

Από τα οχτώ στερεά αυτά σχήματα που είναι ορθογώνια παραλληλεπίπεδα, βλέπουμε
μόνον τα τα εφτά, κι από αυτά βλέπουμε μόνο μερικά στοιχεία των.

Αν είχαμε και το δυναμικό σχήμα και αλλάζαμε τη θέση παρατήρησης, τότε κάθε φορά
θα επιλέγαμε να προσέξουμε κι άλλα στοιχεία του όλου αυτού σχήματος.

Οι διαστάσεις των εδρών τοποθετήθηκαν μια φορά και είναι οι πέντε μεταβλητές:



Με βάση τις τιμές αυτές, καθώς και τις τιμές των ολικών εμβαδών των εφτά στερεών που φαίνονται
καθώς και με λίγη προσπάθεια καταλήγουμε στις ακόλουθες εξισώσεις:















Επιπλέον για στερεό που δεν φαίνεται έχουμε τη σχέση:



όπου η ζητούμενη επιφάνεια του στερεού αυτού που ζητάμε.

Για καλύτερη λειτουργία των πράξεων οι εξισώσεις αυτές γράφονται:



(*)





(*)



(*)

και τέλος



Προσθέτοντας τώρα κατά μέλη τις (2,1), (5,1), και (7,1) προκύπτει:



ή ακόμα



και σύμφωνα με τις (1,1), (6,1) και (4,1) θα είναι ακόμα:



και μετά από πράξεις:



και σύμφωνα με την (3,1) τελικά είναι:



Δηλαδή:



Κώστας Δόρτσιος

ΥΓ. Ευχαριστώ τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για τη διόρθωση της αβλεψίας μου, όπου στη σχέση (5) θεώρησα
τον αριθμό αντί του ορθού της εκφώνησης .

[Demetres]

LXXIV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2011 - 6η τάξη

Πρόβλημα 6. Μια ξύλινη δοκός κόπηκε με τρία κοψίματα σε οχτώ μικρότερες δοκούς. Στο σχήμα φαίνεται το εμβαδόν επιφανείας εφτά εξ αυτών. Ποιο το εμβαδόν επιφανείας της μη ορατού δοκού;

Πολύ καλό!!

Ας το δούμε και διαφορετικά.

Χωρίζω τις δοκούς σε δύο ομάδες.

Στην πρώτη ομάδα βάζω τις δοκούς: Μπροστά-Κάτω-Αριστερά, Μπροστά-Πάνω-Δεξιά, Πίσω-Κάτω-Δεξιά, Πίσω-Πάνω-Αριστερά.

Στην δεύτερη ομάδα βάζω τις υπόλοιπες.

Τώρα απλά παρατηρώ ότι το άθροισμα των εμβαδών των επιφανειών της πρώτης ομάδας ισούται με αυτό της δεύτερης. Άρα το ζητούμενο εμβαδόν ισούται με:

.

[Demetres]

LXXIV Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2011 - 6η τάξη


Πρόβλημα 5. Ο δράκος κλείδωσε στην σπηλιά έξη νάνους και είπε: «Έχω εφτά καπέλα με τα εφτά χρώματα του ουράνιου τόξου. Αύριο το πρωί θα σας δέσω τα μάτια, θα φορέσω στον καθένα από ένα καπέλο και ένα καπέλο θα το κρύψω. Έπειτα θα σας λύσω τα μάτια και θα μπορέσετε να δείτε τα καπέλα των άλλων, αλλά δε θα σας αφήσω να επικοινωνήσετε μεταξύ σας. Μετά από αυτό ο καθένας κρυφά από τους άλλους θα μου πει το χρώμα του κρυμμένου καπέλου. Αν το μαντέψουν τουλάχιστον τρεις, θα σας ελευθερώσω όλους. Αν λιγότεροι θα σας φάω για γεύμα». Πως πρέπει εκ των προτέρων να συνεννοηθούν μεταξύ τους οι νάνοι, ώστε να σωθούν;

Ας αριθμήσουμε τα χρώματα από το 1 μέχρι το 7. Κάθε νάνος βλέπει όλα τα χρώματα εκτός από δύο, έστω τα με . Αν , τότε ο νάνος μαντεύει το . Αλλιώς μαντεύει το .

Αν το κρυμμένοι καπέλο είναι το , τότε όσοι φοράνε τα μαντεύουν σωστά.
Αν το κρυμμένοι καπέλο είναι το , τότε όσοι φοράνε τα μαντεύουν σωστά.
Αν το κρυμμένοι καπέλο είναι το , τότε όσοι φοράνε τα μαντεύουν σωστά.
Αν το κρυμμένοι καπέλο είναι το , τότε όσοι φοράνε τα μαντεύουν σωστά.
Αν το κρυμμένοι καπέλο είναι το , τότε όσοι φοράνε τα μαντεύουν σωστά.
Αν το κρυμμένοι καπέλο είναι το , τότε όσοι φοράνε τα μαντεύουν σωστά.
Αν το κρυμμένοι καπέλο είναι το , τότε όσοι φοράνε τα μαντεύουν σωστά.