Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Β' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

#1

Πρόβλημα 1

Ίδιο με το 2 της Α' Λυκείου. (Δείτε εδώ.) Μόνο που ζητήθηκε απευθείας το (β).

Πρόβλημα 2

Ίδιο με το 3 της Α' Λυκείου. (Δείτε εδώ.)

Πρόβλημα 3

Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων κατασκευάζουμε ισόπλευρο τρίγωνο OAB

με

, όπου

η αρχή των αξόνων, και

στο 1ο τεταρτημόριο. Από τυχαίο σημείο $P(2\rho,0)$ της πλευράς $OB\,\, (0 < \rho < 3)$ φέρουμε παράλληλη προς την

, που τέμνει την πλευρά

στο σημείο

. Αν $\Delta$ είναι το σημείο τομής των διαμέσων του τριγώνου OMP

και

το μέσον του

, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου $B\Delta E$ .

Πρόβλημα 4

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με πλευρές $AB = \gamma, B\Gamma = \alpha, \Gamma A = \beta$ και $\alpha < \beta < \gamma$ .

(i) Να αποδείξετε ότι $\anlge A < 60^{\circ}$ .

(ii) Αν $\mu$ είναι το μήκος της διαμέσου $A\Delta$ , να αποδείξετε ότι $4\mu^2 = \beta^2 + \gamma^2 + 2\beta\gamma \text{\gr συν}(A)$ .

(iii) Να αποδείξετε ότι $\mu^2 > \frac{3\beta\gamma}{4}$ .

#2

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 16, 2017 1:31 pm

Πρόβλημα 4

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με πλευρές $AB = \gamma, B\Gamma = \alpha, \Gamma A = \beta$ και $\alpha < \beta < \gamma$ .

(i) Να αποδείξετε ότι $\angle A < 60^{\circ}$ .

(ii) Αν $\mu$ είναι το μήκος της διαμέσου $A\Delta$ , να αποδείξετε ότι $4\mu^2 = \beta^2 + \gamma^2 + 2\beta\gamma \text{\gr συν}(A)$ .

(iii) Να αποδείξετε ότι $\mu^2 > \frac{3\beta\gamma}{4}$ .

(i) Είναι
$\displaystyle \alpha < \beta < \gamma \Rightarrow \widehat {\rm A} < \widehat {\rm B} < \widehat \Gamma \Rightarrow 3\widehat {\rm A} < \widehat {\rm A} + \widehat {\rm B} + \widehat \Gamma = {180^ \circ } \Rightarrow \widehat {\rm A} < {60^ \circ }.$ (ii) Από το 1ο Θεώρημα Διαμέσων και το Νόμο των Συνημιτόνων έχουμε ότι:
$\displaystyle {\beta ^2} + {\gamma ^2} = 2{\mu ^2} + \frac{{{\alpha ^2}}}{2} \Leftrightarrow 2\left( {{\beta ^2} + {\gamma ^2}} \right) = 4{\mu ^2} + {\alpha ^2} \Leftrightarrow 2\left( {{\beta ^2} + {\gamma ^2}} \right) = 4{\mu ^2} + {\beta ^2} + {\gamma ^2} - 2\beta \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A} \Leftrightarrow$ $\displaystyle \Leftrightarrow 4{\mu ^2} = {\beta ^2} + {\gamma ^2} + 2\beta \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A}.$ (iii) Είναι:
$\displaystyle \widehat {\rm A} < {60^ \circ } \Rightarrow \sigma \upsilon \nu {\rm A} > \frac{1}{2} \Rightarrow 4{\mu ^2} = {\beta ^2} + {\gamma ^2} + 2\beta \gamma \sigma \upsilon \nu {\rm A} > {\beta ^2} + {\gamma ^2} + \beta \gamma \ge 2\beta \gamma + \beta \gamma = 3\beta \gamma \Rightarrow$ $\displaystyle \Rightarrow {\mu ^2} > \frac{{3\beta \gamma }}{4}.$

#3

Μια λύση στο πρόβλημα 3 , με υπερβολική χρήση Αναλυτικής Γεωμετρίας. Πιθανόν να υπάρχει πιο κομψή γεωμετρική λύση.

: 18-11-2017 Διαγωνισμοί.png (48.53 KiB) Προβλήθηκε 1495 φορές

Αφού

ισόπλευρο, είναι $\displaystyle A\left( {3,\;3\sqrt 3 } \right)$ .

PM // BA

άρα

ισόπλευρο, οπότε $\displaystyle M\left( {p,\;p\sqrt 3 } \right)$ , άρα το βαρύκεντρο

του

έχει συντεταγμένες $\displaystyle D\left( {p,\;\frac{{p\sqrt 3 }}{3}} \right)$ .

Το μέσο

του

έχει συντεταγμένες $\displaystyle E\left( {\frac{{2p + 3}}{2},\;\frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)$ .

Είναι $\displaystyle \overrightarrow {DE} = \left( {\frac{3}{2},\;\frac{{9\sqrt 3 - 2p\sqrt 3 }}{6}} \right)$ και $\displaystyle \overrightarrow {BE} = \left( {\frac{{2p - 9}}{2},\;\frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right)$ .

Είναι $\displaystyle \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {BE} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{2p - 9}}{2} + \;\frac{{9\sqrt 3 - 2p\sqrt 3 }}{6} \cdot \;\frac{{3\sqrt 3 }}{2} = \frac{{6p - 27}}{4} + \frac{{27 - 6p}}{4} = 0$ , άρα $\displaystyle \widehat {DEB} = 90^\circ$ .

Στο EBD

είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \left( {EDB} \right) = \frac{{\left( {BE} \right)}}{{\left( {DE} \right)}} = ... = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {EDB} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {DBE} = 30^\circ$ .

Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Β' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Β' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Β' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Re: Επαρχιακός Διαγωνισμός Μαθηματικών Β' Λυκείου 2017 (Κύπρος)

Μέλη σε σύνδεση