Αδύνατη Καταμέτρηση!!!

WLOG · #1

Με πόσους τρόπους μπορούμε να γεμίσουμε μια τσάντα με n φρούτα ακολουθώντας τους παρακάτω κανόνες:

1) Ο αριθμός των μήλων είναι άρτιος.
2) Ο αριθμός των μπανανών είναι πολλαπλάσιο του 5.
3) Υπάρχουν το πολύ 4 πορτοκάλια.
4) Υπάρχει το πολύ ένα αχλάδι.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

WLOG έγραψε:Με πόσους τρόπους μπορούμε να γεμίσουμε μια τσάντα με n φρούτα ακολουθώντας τους παρακάτω κανόνες:

1) Ο αριθμός των μήλων είναι άρτιος.
2) Ο αριθμός των μπανανών είναι πολλαπλάσιο του 5.
3) Υπάρχουν το πολύ 4 πορτοκάλια.
4) Υπάρχει το πολύ ένα αχλάδι.

Το πρόβλημα είναι απλό αν χρησιμοποιήσουμε γεννήτριες συναρτήσεις.

Για τα μήλα έχουμε $1+x^{2}+x^{4}+....=\dfrac{1}{1-x^{2}}$

Για τις μπανάνες $1+x^{5}+x^{10}+....=\dfrac{1}{1-x^{5}}$

Για τα πορτοκάλια $1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}=\dfrac{1-x^{5}}{1-x}$

Για τα αχλάδια 1+x

Η γεννήτρια συνάρτηση είναι

$\dfrac{1}{1-x^{2}}\dfrac{1}{1-x^{5}}\dfrac{1-x^{5}}{1-x}(1+x)=(1-x)^{-2}$

Ο ζητούμενος αριθμός είναι ο συντελεστής του $x^{n}$ στο ανάπτυγμα του $(1-x)^{-2}$

Αλλά $(1-x)^{-2}=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\binom{-2}{k}x^{k}$

Αρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο $(-1)^{n}\binom{-2}{n}=(-1)^{n}\dfrac{(-2)(-2-1)....(-2-n+1)}{n!}=n+1$

Ελπίζω να μην έκανα καμία πατάτα.

#3

Τώρα που βρέθηκε η απάντηση, ας δούμε και μια «συνδυαστική απόδειξη».

Έστω

ο αριθμός των μήλων και των αχλαδιών. Έστω

ο αριθμός των μπανανών και των πορτοκαλιών. Υπάρχουν ακριβώς n+1

λύσεις της εξίσωσης x+y=n

στους μη αρνητικούς ακεραίους. (Υπάρχουν n+1

επιλογές για το

και μετά το

καθορίζεται πλήρως.)

Αν όμως γνωρίζουμε το

τότε γνωρίζουμε και τον αριθμό των μήλων και των αχλαδιών αφού είναι το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του

με το

. Ομοίως αν γνωρίζουμε το

γνωρίζουμε και τον αριθμό των μπανανών και πορτοκαλιών.

Άρα έχουμε n+1

τρόπους να γεμίσουμε την τσάντα.

WLOG · #4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
WLOG έγραψε:Με πόσους τρόπους μπορούμε να γεμίσουμε μια τσάντα με n φρούτα ακολουθώντας τους παρακάτω κανόνες:

1) Ο αριθμός των μήλων είναι άρτιος.
2) Ο αριθμός των μπανανών είναι πολλαπλάσιο του 5.
3) Υπάρχουν το πολύ 4 πορτοκάλια.
4) Υπάρχει το πολύ ένα αχλάδι.
Το πρόβλημα είναι απλό αν χρησιμοποιήσουμε γεννήτριες συναρτήσεις.

Για τα μήλα έχουμε $1+x^{2}+x^{4}+....=\dfrac{1}{1-x^{2}}$

Για τις μπανάνες $1+x^{5}+x^{10}+....=\dfrac{1}{1-x^{5}}$

Για τα πορτοκάλια $1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}=\dfrac{1-x^{5}}{1-x}$

Για τα αχλάδια

Η γεννήτρια συνάρτηση είναι

$\dfrac{1}{1-x^{2}}\dfrac{1}{1-x^{5}}\dfrac{1-x^{5}}{1-x}(1+x)=(1-x)^{-2}$

Ο ζητούμενος αριθμός είναι ο συντελεστής του $x^{n}$ στο ανάπτυγμα του $(1-x)^{-2}$

Αλλά $(1-x)^{-2}=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\binom{-2}{k}x^{k}$

Αρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο $(-1)^{n}\binom{-2}{n}=(-1)^{n}\dfrac{(-2)(-2-1)....(-2-n+1)}{n!}=n+1$

Ελπίζω να μην έκανα καμία πατάτα.

Αυτό ακριβώς έκανα και εγώ!!!! Πολύ όμορφη λύση

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

WLOG έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
WLOG έγραψε:Με πόσους τρόπους μπορούμε να γεμίσουμε μια τσάντα με n φρούτα ακολουθώντας τους παρακάτω κανόνες:

1) Ο αριθμός των μήλων είναι άρτιος.
2) Ο αριθμός των μπανανών είναι πολλαπλάσιο του 5.
3) Υπάρχουν το πολύ 4 πορτοκάλια.
4) Υπάρχει το πολύ ένα αχλάδι.
Το πρόβλημα είναι απλό αν χρησιμοποιήσουμε γεννήτριες συναρτήσεις.

Για τα μήλα έχουμε $1+x^{2}+x^{4}+....=\dfrac{1}{1-x^{2}}$

Για τις μπανάνες $1+x^{5}+x^{10}+....=\dfrac{1}{1-x^{5}}$

Για τα πορτοκάλια $1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}=\dfrac{1-x^{5}}{1-x}$

Για τα αχλάδια

Η γεννήτρια συνάρτηση είναι

$\dfrac{1}{1-x^{2}}\dfrac{1}{1-x^{5}}\dfrac{1-x^{5}}{1-x}(1+x)=(1-x)^{-2}$

Ο ζητούμενος αριθμός είναι ο συντελεστής του $x^{n}$ στο ανάπτυγμα του $(1-x)^{-2}$

Αλλά $(1-x)^{-2}=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\binom{-2}{k}x^{k}$

Αρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο $(-1)^{n}\binom{-2}{n}=(-1)^{n}\dfrac{(-2)(-2-1)....(-2-n+1)}{n!}=n+1$

Ελπίζω να μην έκανα καμία πατάτα.
Αυτό ακριβώς έκανα και εγώ!!!! Πολύ όμορφη λύση

Δεν νομίζω.Εκτός αν βάλουμε στον Δημήτρη $10^{10}/10$

WLOG · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
WLOG έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
WLOG έγραψε:Με πόσους τρόπους μπορούμε να γεμίσουμε μια τσάντα με n φρούτα ακολουθώντας τους παρακάτω κανόνες:

1) Ο αριθμός των μήλων είναι άρτιος.
2) Ο αριθμός των μπανανών είναι πολλαπλάσιο του 5.
3) Υπάρχουν το πολύ 4 πορτοκάλια.
4) Υπάρχει το πολύ ένα αχλάδι.
Το πρόβλημα είναι απλό αν χρησιμοποιήσουμε γεννήτριες συναρτήσεις.

Για τα μήλα έχουμε $1+x^{2}+x^{4}+....=\dfrac{1}{1-x^{2}}$

Για τις μπανάνες $1+x^{5}+x^{10}+....=\dfrac{1}{1-x^{5}}$

Για τα πορτοκάλια $1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}=\dfrac{1-x^{5}}{1-x}$

Για τα αχλάδια

Η γεννήτρια συνάρτηση είναι

$\dfrac{1}{1-x^{2}}\dfrac{1}{1-x^{5}}\dfrac{1-x^{5}}{1-x}(1+x)=(1-x)^{-2}$

Ο ζητούμενος αριθμός είναι ο συντελεστής του $x^{n}$ στο ανάπτυγμα του $(1-x)^{-2}$

Αλλά $(1-x)^{-2}=\sum_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\binom{-2}{k}x^{k}$

Αρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο $(-1)^{n}\binom{-2}{n}=(-1)^{n}\dfrac{(-2)(-2-1)....(-2-n+1)}{n!}=n+1$

Ελπίζω να μην έκανα καμία πατάτα.
Αυτό ακριβώς έκανα και εγώ!!!! Πολύ όμορφη λύση
Δεν νομίζω.Εκτός αν βάλουμε στον Δημήτρη $10^{10}/10$

Και ο κύριος Δημήτρης έκανε μια εξαιρετική λυση

#7

Και εγώ αρχικά με γεννήτριες συναρτήσεις το έκανα.

Αδύνατη Καταμέτρηση!!!

Αδύνατη Καταμέτρηση!!!

Re: Αδύνατη Καταμέτρηση!!!

Re: Αδύνατη Καταμέτρηση!!!

Re: Αδύνατη Καταμέτρηση!!!

Re: Αδύνατη Καταμέτρηση!!!

Re: Αδύνατη Καταμέτρηση!!!

Re: Αδύνατη Καταμέτρηση!!!

Μέλη σε σύνδεση