ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

#1

Καλημέρα σας!

Επισυνάπτω και τα θέματα των μικρών!

Καλή επιτυχία και καλά αποτελέσματα σε όλους τους διαγωνιζόμενους!

Ευχαριστώ τον Αλέξανδρο Συγκελάκη για την αποστολή τους!

Αχιλλέας

Nick Math · #2

Μήπως ξέρετε που θα κυμανθεί η βάση στους μικρούς;

Eukleidis · #3

Πρόβλημα 2

Αφαιρώντας κατά μέλη τις δοσμένες έχουμε $\displaystyle{{x^2} - {z^2} + y\left( {x - z} \right) = 0 \Rightarrow x + y + z = 0}$ αφού $\displaystyle{x \ne z}$ .
Άρα $\displaystyle{A = \frac{{{{\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)}^3}}}{{{{\left( {xyz} \right)}^3}}} = {\left( {\frac{{3xyz}}{{xyz}}} \right)^3} = 27}$ από την ταυτότητα του Euler

Eukleidis · #4

Πρόβλημα 4

Έστω $\displaystyle{H}$ το σημείο τομής των $\displaystyle{{\rm B}\Gamma ,\Delta {\rm Z}}$ .
Στο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}\Delta {\rm Z}}$ είναι $\displaystyle{{\rm B}{\rm H} = \frac{{{\rm A}\Delta }}{2}}$ .
Επίσης $\displaystyle{{\rm B}{\rm M} = {\rm M}{\rm Z} - {\rm B}{\rm Z} = \frac{{{\rm E}{\rm Z} - {\rm A}{\rm Z}}}{2} = \frac{{{\rm E}{\rm A}}}{2}}$ .
Άρα τα τρίγωνα $\displaystyle{{\rm M}{\rm B}{\rm H},{\rm E}{\rm A}\Delta }$ είναι όμοια αφού έχουν δύο ζεύγη πλευρών ανάλογα και την περιεχόμενη γωνία ίση.
Άρα $\displaystyle{\widehat {{\rm B}{\rm M}{\rm H}} = \widehat {{\rm A}{\rm E}\Delta } \Rightarrow {\rm M}{\rm H}//{\rm E}\Gamma }$ .
Στο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm M}\Gamma {\rm Z}}$ το Η είναι ορθόκεντρο. Άρα η $\displaystyle{{\rm M}{\rm H} \bot {\rm Z}\Gamma }$ .
Συνεπώς λόγω παραλληλίας και $\displaystyle{{\rm E}\Gamma \bot {\rm Z}\Gamma }$

KARKAR · #5

Πρόβλημα 3

: Αρχιμήδης μικρός σωστός.png (27.87 KiB) Προβλήθηκε 5053 φορές

... Συνεπώς B,S,D,E

ομοκυκλικά , όπως και τα Z,B,S,C

.

Είναι $\theta=\phi$ ( εξωτερική εγγεγραμμένου ) και $\theta=\eta$ ( βαίνουν στο ίδιο τόξο ) .

Άρα $\eta+\omega=\phi+\omega=90^0$

Harrya · #6

Nick Math έγραψε:Μήπως ξέρετε που θα κυμανθεί η βάση στους μικρούς;

Ισως στα 2 θέματα;

Nick Math · #7

και εγώ καπού εκεί νομίζω. Πόσο βρήκατε στο 4ο προβλημα?

#8

Μέχρι να διορθωθούν όλα τα γραπτά δεν μπορούμε να ξέρουμε τις βάσεις.

Η απάντηση στο τέταρτο είναι 365

.

Nick Math · #9

Μήπως να μπορούσατε να μου πείτε πως προέκυψε αυτό;

Nick Math · #10

Εγώ προσωπικά βρίσκω τα περσινά θέματα πολύ πιο εύκολα. Με ενάμισι θέματα γίνεται κάποιος να περάσει στην επόμενη φάση;

#11

Δίνω υπόδειξη για μια απόδειξη:

Για κάθε $k \in \{0,1,2,\ldots,6\}$ βρες πόσες εξάδες πληρούν τις συνθήκες και έχουν ακριβώς

άσσους.

Nick Math · #12

Εννοείτε τις συνθήκες της εκφώνησης;

#13

Nick Math έγραψε:Εννοείτε τις συνθήκες της εκφώνησης;

Ναι.

Nick Math · #14

και άσσους φαντάζομαι εννοείτε 1αρια

Nick Math · #15

Για κ=0, όλες οι εξάδες αριθμών έχουν άθροισμα άρτιο
Μπορείτε να γίνετε πιο σαφης είμαι μαθητής β γυμνασίου.

Παναγιώτης Χ. · #16

Nick Math έγραψε:Μήπως να μπορούσατε να μου πείτε πως προέκυψε αυτό;

Αφού το άθροισμα είναι άρτιο, σημαίνει ότι υπάρχουν άρτιο πλήθος άσσοι.

Αν δεν υπάρχει κανένας άσσος, υπάρχουν περιπτώσεις (δύο τιμές, 0 ή 2 για έξι θέσεις).
Για δύο άσσους, που μπορούν να τοποθετηθούν με 15 τρόπους, υπάρχουν περιπτώσεις για τους υπόλοιπους αριθμούς.
Τέσσερις άσσοι τοποθετούνται πάλι με 15 τρόπους, και για κάθε έναν, υπάρχουν περιπτώσεις.
Τέλος, μία ακόμα περίπτωση όταν όλοι οι αριθμοί είναι ίσοι με 1.

Συνολικά είναι $2^6 + 15\cdot2^4 + 15\cdot2^2 + 1 = 365$ διατεταγμένες εξάδες.
Αυτή είναι η δικιά μου λύση. Μπορεί κάποιος να μου πει αν είναι σωστή;

Nick Math · #17

Δεν έχω επίγνωση της ύλης της γ λυκείου.

Nick Math · #18

στο 1ο πρόβλημα πόσους n αριθμούς βρήκες;

Little einstein · #19

Νομίζω είναι όλοι οι πρώτοι φυσικοι αριθμοί.

Harrya · #20

Παναγιώτης Χ. έγραψε:
Nick Math έγραψε:Μήπως να μπορούσατε να μου πείτε πως προέκυψε αυτό;
Αφού το άθροισμα είναι άρτιο, σημαίνει ότι υπάρχουν άρτιο πλήθος άσσοι.
Αν δεν υπάρχει κανένας άσσος, υπάρχουν περιπτώσεις (δύο τιμές, 0 ή 2 για έξι θέσεις).

Για δύο άσσους, που μπορούν να τοποθετηθούν με 15 τρόπους, υπάρχουν περιπτώσεις για τους υπόλοιπους αριθμούς.

Τέσσερις άσσοι τοποθετούνται πάλι με 15 τρόπους, και για κάθε έναν, υπάρχουν περιπτώσεις.

Τέλος, μία ακόμα περίπτωση όταν όλοι οι αριθμοί είναι ίσοι με 1.
Συνολικά είναι $2^6 + 15\cdot2^4 + 15\cdot2^2 + 1 = 365$ διατεταγμένες εξάδες.
Αυτή είναι η δικιά μου λύση. Μπορεί κάποιος να μου πει αν είναι σωστή;

Θεωρώ ότι είναι απόλυτα σωστή.

Επίσης θα ήθελα την γνώμη και άλλων για το αν φέτος ηταν πιό δύσκολα η εύκολα από πέρυσι

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2016-ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΚΡΩΝ

Μέλη σε σύνδεση