Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1986

parmenides51 · #1

1. Ισόπλευρο τρίγωνο και τετράγωνο έχουν την ίδια περίμετρο. Μπορεί να έχουν και το ίδιο εμβαδόν;

2. Στο επίπεδο θεωρούμε τρία σημεία $\displaystyle{A,B,\Gamma}$ . Να βρείτε το σύνολο των σημείων $\displaystyle{M}$ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ότι $\displaystyle{MA>MB>M\Gamma}$ .

3, 4. Οι μαθητές της Γ' Γυμνασίου επιλέγουν δυο από τα θέματα της Α΄ Λυκείου (εδώ).

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Ισόπλευρο τρίγωνο και τετράγωνο έχουν την ίδια περίμετρο. Μπορεί να έχουν και το ίδιο εμβαδόν;

Όχι

χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε οτι
το τετράγωνο έχει περίμετρο $\displaystyle{12 \,\, cm}$ οπότε θα έχει πλευρά $\displaystyle{\alpha=3 \,\, cm}$ ,
άρα το ισόπλευρο τρίγωνο θα έχει πλευρά $\displaystyle{\beta=4}$ cm αφού εχουν ίδια περίμετρο.

Το τετράγωνο πλευράς $\displaystyle{\alpha=3\,\,cm }$ έχει εμβαδόν $\displaystyle{E_1=\alpha^2=3^2=9 \,\, cm^2}$ ,

ενώ το ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς $\displaystyle{\beta=4 \,\, cm}$ έχει εμβαδόν $\displaystyle{E_2=\frac{\alpha^2\sqrt3}{4}=\frac{4^2\sqrt3}{4}=4\sqrt3 \,\, cm^2}$ .

Υ.Γ. Εικάζω πως δεν υπάρχουν διαφορετικά επίπεδα σχήματα ισεμβαδικά (θετικού εμβαδού) και ισοπεριμετρικά ταυτόχρονα .

#3

parmenides51 έγραψε:
parmenides51 έγραψε:1. Ισόπλευρο τρίγωνο και τετράγωνο έχουν την ίδια περίμετρο. Μπορεί να έχουν και το ίδιο εμβαδόν;
Όχι

χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε οτι
το τετράγωνο έχει περίμετρο $\displaystyle{12 \,\, cm}$ οπότε θα έχει πλευρά $\displaystyle{\alpha=3 \,\, cm}$ ,
άρα το ισόπλευρο τρίγωνο θα έχει πλευρά $\displaystyle{\beta=4}$ cm αφού εχουν ίδια περίμετρο.

Το τετράγωνο πλευράς $\displaystyle{\alpha=3\,\,cm }$ έχει εμβαδόν $\displaystyle{E_1=\alpha^2=3^2=9 \,\, cm^2}$ ,

ενώ το ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς $\displaystyle{\beta=4 \,\, cm}$ έχει εμβαδόν $\displaystyle{E_2=\frac{\alpha^2\sqrt3}{4}=\frac{4^2\sqrt3}{4}=4\sqrt3 \,\, cm^2}$ .

Υ.Γ. Εικάζω πως δεν υπάρχουν διαφορετικά επίπεδα σχήματα ισεμβαδικά (θετικού εμβαδού) και ισοπεριμετρικά ταυτόχρονα .

Καλά απόγευμα Parmenides.
Αν δεν έκανα κάποια απροσεξία, η εικασία δεν πρέπει να ισχύει.
Για παράδειγμα, αν πάρεις ένα ισοσκελές τραπέζιο με μεγάλη βάση 9, μικρή βάση 3 και ύψος 4 , τότε εύκολα βρίσκουμε ότι έχει περίμετρο 22 και εμβαδόν 24
Τώρα αν πάρεις ένα ορθογώνιο με διαστάσεις 8 και 3, έχει και αυτό περίμετρο 22 και εμβαδόν 24.

#4

parmenides51 έγραψε: Εικάζω πως δεν υπάρχουν διαφορετικά επίπεδα σχήματα ισεμβαδικά (θετικού εμβαδού) και ισοπεριμετρικά ταυτόχρονα .

Υπάρχουν. Για παράδειγμα το ορθογώνιο τρίγωνο $3, \, 4, \, 5$ έχει την ίδια περίμετρο και το ίδιο εμβαδόν με το ορθογώνιο $\displaystyle{(3+\sqrt3)\times (3-\sqrt 3)}$ .

Αυτό που είναι σωστό είναι ότι δεν υπάρχουν κανονικά πολύγωνα με την ίδια περίμετρο και το ίδιο εμβαδόν (στην αρχική ερώτηση, τα δύο ήσαν κανονικά). Το αποτέλεσμα αυτό ήταν γνωστό την αρχαιότητα καθώς υπάρχει (σε καλύτερη μορφή) στο Περί ισοπεριμέτρων σχημάτων του Ζηνόδωρου. Συγκεκριμένα ο αρχαίος γεωμέτρης δείχνει ότι στα ισοπεριμετρικά κανονικά πολύγωνα, το εμβαδόν είναι γνήσια αύξουσα συνάρτηση του πλήθους

των πλευρών, και ότι ο κύκλος είναι ακόμα μεγαλύτερος από όλα.

Φιλικά,

Μιχάλης

parmenides51 · #5

'Εχετε δίκιο, εύκολα καταρρίφθηκε η εικασία μου.
Ευχαριστώ

petros r · #6

Το 2 είναι τόσο trivial ή μου φαίνεται? Έχουμε το τρίγωνο ABC

και φέρνουμε τους μεσοκαθέτους σε όλες τις πλευρές και για να ισχύουν οι ανισότητες βλέπουμε ότι το ζητούμενο χωρίο είναι αυτό που ορίζεται απο το περίκεντρο και απο τις μεσοκαθέτους του ΑΒ και BC (που επεκτείνονται προς την ΒC και κάτω)

kwpap · #7

parmenides51 έγραψε:1. Ισόπλευρο τρίγωνο και τετράγωνο έχουν την ίδια περίμετρο. Μπορεί να έχουν και το ίδιο εμβαδόν;

Μία ακόμη προσέγγιση:

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο ABC

με

και τετράγωνο EFGH

με

και το ύψος του τριγώνου $AD=2a\sqrt{3}$ (από πυθαγόρειο θεώρημα), και τα δύο σχήματα έχουν περίμετρο ίση με 12a

Εμβαδόν τριγώνου $\displaystyle=\frac{4a\cdot 2a\sqrt{3}}{2}=4a^2\sqrt{3}$

Εμβαδόν τετραγώνου =(3a)^2=9a^2

Για να έχουν ίδιο εμβαδόν πρέπει $4a^2\sqrt{3}=9a^2$

$4a^2\sqrt{3}=9a^2\Rightarrow a^2(9-4\sqrt{3})=0\Rightarrow a^2=0 \Rightarrow a=0$

Άρα για να ισχύει η υπόθεση πρέπει το τρίγωνο και το τετράγωνο να έχουν και τα δύο μηδενική περίμετρο και εμβαδόν, άρα δεν γίνεται.

Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1986

Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1986

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1986

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1986

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1986

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1986

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1986

Re: Π.Μ.Δ.Μ. Γ' Γυμνασίου 1986

Μέλη σε σύνδεση