ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2004 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Αν $\displaystyle{\alpha = 1, \beta =-1}$ να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων:
$\displaystyle{A = \alpha ^3 + \beta^3 + 10\alpha-7\beta\sqrt{6}}$ και $\displaystyle{B = 100(2\alpha + \beta)-(8\alpha ^3 - 2) \beta \sqrt{7}}$
και να βρείτε ποιος από τους αριθμούς $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ είναι μεγαλύτερος .

2. Στο σχήμα, τα τρίγωνα $\displaystyle{ABO}$ και $\displaystyle{\Gamma\Delta O}$ είναι ισόπλευρα πλευράς $\displaystyle{\alpha}$ .
Η $\displaystyle{BE}$ είναι κάθετη προς τη $\displaystyle{B\Delta}$ . Να υπολογίσετε:
α) Τη γωνία $\displaystyle{\widehat{AEB}}$ .
β) Τα τμήματα $\displaystyle{EA, EB}$ και $\displaystyle{E\Delta}$ συναρτήσει του $\displaystyle{\alpha}$ .

: Eykleidhs 2004 2og.png (7.25 KiB) Προβλήθηκε 1579 φορές

3. Οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta}$ είναι ακέραιοι και γνωρίζουμε ότι:
αν το εξαπλάσιο του αριθμού $\displaystyle{\beta}$ πολλαπλασιαστεί επί τον αριθμό $\displaystyle{\alpha + 1}$ ,
προκύπτει αριθμός μικρότερος του $\displaystyle{0}$ και μεγαλύτερος του $\displaystyle{-10}$ .
Να βρεθούν οι ακέραιοι $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ .

4. Στο σχήμα έχουμε κύκλο $\displaystyle{(O,R)}$ και κάθετες διαμέτρους $\displaystyle{AB \perp\Gamma\Delta}$ .
Η χορδή $\displaystyle{EZ}$ είναι μεσοκάθετος της ακτίνας $\displaystyle{O\Gamma}$ . Να υπολογίσετε:
α) Τις χορδές $\displaystyle{\Gamma Z}$ και $\displaystyle{ZB}$ συναρτήσει της ακτίνας $\displaystyle{R}$ .
β) Το εμβαδό του τριγώνου $\displaystyle{B\Gamma Z}$ συναρτήσει της ακτίνας $\displaystyle{R}$ .

: Eykleidhs 2004 4og.png (6.89 KiB) Προβλήθηκε 1579 φορές

edit
Τυπογραφικό

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:3. Οι αριθμοί $\displaystyle{\alpha,\beta}$ είναι ακέραιοι και γνωρίζουμε ότι:
αν το εξαπλάσιο του αριθμού $\displaystyle{\beta}$ πολλαπλασιαστεί επί τον αριθμό $\displaystyle{\alpha + 1}$ ,
προκύπτει αριθμός μικρότερος του $\displaystyle{0}$ και μεγαλύτερος του $\displaystyle{-10}$ .
Να βρεθούν οι ακέραιοι $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ .

$\displaystyle{-10<6\beta(\alpha+1)<0 \Leftrightarrow \frac{-10}{6}<\frac{6\beta(\alpha+1)}{6}<\frac{0}{6} \Leftrightarrow -\frac{5}{3}<\beta(\alpha+1)<0}$

κι επειδή ο αριθμός $\displaystyle{\beta(\alpha+1)}$ είναι ακέραιος αφού προκύπτει με πολλαπλασιασμό και πρόσθεση ακεραίων, αυτός θα είναι $\displaystyle{-1}$

Οπότε $\displaystyle{\beta(\alpha+1)=-1}$ κι επειδή $\displaystyle{\beta,\alpha+1}$ είναι ακέραιοι διαιρέτες του $\displaystyle{-1}$ με γινόμενο

θα έχουμε πως
είτε $\displaystyle{\beta=1}$ και $\displaystyle{\alpha+1=-1 \Leftrightarrow \alpha=-1-1=-2}$
είτε $\displaystyle{\beta=-1}$ και $\displaystyle{\alpha+1=1 \Leftrightarrow \alpha=-1+1=0}$ .

edit
Ευχαριστώ τον socrates για την διόρθωση.

parmenides51 · #3

parmenides51 έγραψε:1. Αν $\displaystyle{\alpha = 1, \beta =-1}$ να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων:
$\displaystyle{A = \alpha ^3 + \beta^3 + 10\alpha-7\beta\sqrt{6}}$ και $\displaystyle{B = 100(2\alpha + \beta)-(8\alpha ^3 - 2) \beta \sqrt{7}}$
και να βρείτε ποιος από τους αριθμούς $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ είναι μεγαλύτερος .

Για $\displaystyle{\alpha = 1, \beta =-1}$ :

$\displaystyle{A = \alpha ^3 + \beta^3 + 10\alpha-7\beta\sqrt{6}}$
$\displaystyle{A = 1 ^3 + (-1)^3 + 10\cdot 1-7(-1)\sqrt{6}}$
$\displaystyle{A = 1 -1 + 10\cdot 1-7(-1)\sqrt{6}}$
$\displaystyle{A = 1 -1 + 10+7\sqrt{6}}$
$\displaystyle{A = 10+7\sqrt{6}}$

$\displaystyle{B = 100(2\alpha + \beta)-(8\alpha ^3 - 2) \beta \sqrt{7}}$
$\displaystyle{B = 100[2\cdot 1 +(-1)]-(8\cdot 1 ^3 - 2)(-1) \sqrt{7}}$
$\displaystyle{B = 100(2 -1)-(8\cdot 1 - 2)(-1) \sqrt{7}}$
$\displaystyle{B = 100\cdot 1-(8 - 2)(-1) \sqrt{7}}$
$\displaystyle{B = 100\cdot 1-6(-1) \sqrt{7}}$
$\displaystyle{B = 100+ 6\sqrt{7}}$

$\displaystyle{7\sqrt{6}=\sqrt{49}\sqrt{6}=\sqrt{49\cdot 6}=\sqrt{294}<\sqrt{324}=18}$ άρα

$\displaystyle{7\sqrt{6}<18 \Leftrightarrow 10+7\sqrt{6}}<10+18 \Leftrightarrow A<28}$ (1)

$\displaystyle{6\sqrt{7}=\sqrt{36}\sqrt{7}=\sqrt{36\cdot 7}=\sqrt{252}>\sqrt{225}=15}$ άρα

$\displaystyle{6\sqrt{7}>15 \Leftrightarrow 100+6\sqrt{7}>100+15 \Leftrightarrow B>115}$ (2)

Από (1),(2) έχουμε πως $\displaystyle{A<B}$

Garfield · #4

parmenides51 έγραψε:
2. Στο σχήμα, τα τρίγωνα $\displaystyle{ABO}$ και $\displaystyle{\Gamma\Delta O}$ είναι ισόπλευρα πλευράς $\displaystyle{\alpha}$ .
Η $\displaystyle{BE}$ είναι κάθετη προς τη $\displaystyle{B\Delta}$ . Να υπολογίσετε:
α) Τη γωνία $\displaystyle{\widehat{AEB}}$ .
β) Τα τμήματα $\displaystyle{EA, EB}$ και $\displaystyle{E\Delta}$ συναρτήσει του $\displaystyle{\alpha}$ .

(α) Επειδή το τρίγωνο ABO

είναι ισόπλευρο θα είναι $\displaystyle{ \widehat{ ABO} =60^{o}= \widehat{ABO} = \widehat{AOB}}$ και άρα στο ορθογώνιο τρίγωνο EBO

θα έχουμε ότι

$\displaystyle{ \widehat{AEB} + \widehat{ABO} =90^{o} \implies \boxed{ \widehat{AEB} =30^{o}}}$

(β) Ισχύει ότι $\displaystyle{ \widehat{EBA} + \widehat{ABO}= \widehat{EBO} =90^{o} \implies \widehat{EBA}=30^{o}= \widehat{AEB} \implies }$ το τρίγωνο EBA

είναι ισοσκελές και άρα $\displaystyle{\boxed{EA=AB= \alpha}}$

Είναι $EO=EA+AO=2 \alpha$ και εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο EBO

έχουμε: $\displaystyle{ EO^{2} = EB^{2} +OB^{2} \implies 4 \alpha ^{2} =EB^{2} +\alpha ^{2} \implies \boxed{ EB=\sqrt{3} \alpha}}$

Είναι $\displaystyle{ \Delta B= OB + \Delta O = 2 \alpha}$ και εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο $E \Delta B$ παίρνουμε

$\displaystyle{ E \Delta ^{2} = EB^{2} +B \Delta ^{2} \imlpies 3 \alpha^{2} + 4 \alpha^{2} = 7 \alpha^{2} \implies \boxed{ E \Delta = \sqrt{7} \alpha} }$

pito · #5

4. Στο σχήμα έχουμε κύκλο $\displaystyle{(O,R)}$ και κάθετες διαμέτρους $\displaystyle{AB \perp\Gamma\Delta}$ .
Η χορδή $\displaystyle{EZ}$ είναι μεσοκάθετος της ακτίνας $\displaystyle{O\Gamma}$ . Να υπολογίσετε:
α) Τις χορδές $\displaystyle{\Gamma Z}$ και $\displaystyle{ZB}$ συναρτήσει της ακτίνας $\displaystyle{R}$ .
β) Το εμβαδό του τριγώνου $\displaystyle{B\Gamma Z}$ συναρτήσει της ακτίνας $\displaystyle{R}$ .

Φέρνω $Z\Lambda$ κάθετη στην

και έστω $\Theta$ το ίχνος της καθέτου από το

προς την $O\Gamma$

Αφού η $Z\Theta$ μεσοκάθετος της $O\Gamma$ , το τρίγωνο $O\Gamma Z$ είναι ισοσκελές με $OZ=Z\Gamma =R$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\Theta Z\Gamma : \Theta \Gamma =\frac{R}{2}=\frac{Z\Gamma }{2}$ , άρα και
$\widehat{\Gamma Z\Theta }=30^{0}=\widehat{\Theta ZO}$ .

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle \Theta ZO: \sigma \upsilon \nu 30^{0}=\frac{\Theta Z}{OZ}\Leftrightarrow \Theta Z=\frac{R\sqrt{3}}{2}$

Το $O\Lambda \Theta Z$ είναι ορθογώνιο με $O\Lambda =\Theta Z=\frac{R\sqrt{3}}{2}, \Lambda Z=\frac{R}{2}, B\Lambda =R-\frac{R\sqrt{3}}{2}$

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $B\Lambda Z$ από πυθαγόρειο
$\displaystyle BZ^{2}=\frac{R^{2}(2-\sqrt{3})^{2}}{4}+\frac{R^{2}}{4}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow BZ=R\sqrt{2-\sqrt{3}}$

Β) Είναι $\displaystyle (OBZ\Theta )=\frac{(\frac{R}{2}+\frac{R\sqrt{3}}{2})\frac{R}{2}}{2}=\frac{R^{2}(2+\sqrt{3})}{8}$ αφού αυτό είναι τραπέζιο με βάσεις τις
$OB,\Theta Z$

$\displaystyle (\Theta Z\Gamma )=\frac{\frac{R}{2}\frac{R\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{R^{2}\sqrt{3}}{8}$

$\displaystyle (OB\Gamma )=\frac{RR}{2}=\frac{R^{2}}{2}$

Έτσι $\displaystyle (BZ\Gamma )=(OB\Theta Z)+(\Theta Z\Gamma )-(OB\Gamma )=...=\frac{R^{2}(\sqrt{3}-1)}{4}$

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2004 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2004 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2004 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2004 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2004 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Re: ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2004 - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση