ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

parmenides51 · #1

1. Οι αριθμοί $\displaystyle{203}$ και $\displaystyle{298}$ διαιρούμενοι με το θετικό αριθμό $\displaystyle{x}$ δίνουν και οι δύο υπόλοιπο $\displaystyle{13}$ .
Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του x;

2. Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ .
Θεωρούμε τα μέσα $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{\Lambda}$ των πλευρών $\displaystyle{B\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Delta}$ , αντίστοιχα.
Η κάθετη από το $\displaystyle{B}$ προς την $\displaystyle{AK}$ τέμνει την $\displaystyle{AK}$ στο $\displaystyle{E}$ και την $\displaystyle{\Gamma\Lambda}$ στο $\displaystyle{Z}$ .
α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{AKZ\Lambda}$ είναι ισοσκελές τραπέζιο.
β) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{2(ABKZ) = (AB\Gamma\Delta)}$
γ) Αν το τετράπλευρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ είναι τετράγωνο πλευράς $\displaystyle{\alpha}$ ,
να υπολογίσετε το εμβαδόν του ισοσκελούς τραπεζίου $\displaystyle{AKZ\Lambda}$ ως συνάρτηση της πλευράς $\displaystyle{B\Gamma= \alpha}$ .

3. Αν οι $\displaystyle{x, y, z}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $\displaystyle{x^2 + y^2 + z^2 =25}$

να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή τιμή της παράστασης $\displaystyle{A= \frac{xy}{z}+ \frac{yz}{x}+ \frac{zx}{y}}$ .

4. Να προσδιορίσετε τον ρητό αριθμό $\displaystyle{\frac{\alpha}{\beta}}$ , όπου $\displaystyle{\alpha,\beta}$ θετικοί ακέραιοι, με τον ελάχιστο παρονομαστή,

που είναι τέτοιος ώστε $\displaystyle{\frac{52}{{\color{red}3}03}<\frac{\alpha}{\beta}<\frac{16}{91}}$ .

edit
Διόρθωση αριθμού στο 4ο

#2

parmenides51 έγραψε: 3. Αν οι $\displaystyle{x, y, z}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $\displaystyle{x^2 + y^2 + z^2 =25}$

να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή τιμή της παράστασης $\displaystyle{A= \frac{xy}{z}+ \frac{yz}{x}+ \frac{zx}{y}}$ .

Θα χρησιμοποιηθεί η ανισότητα $\displaystyle{(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca).}$

Είναι

$\displaystyle{\Big(\frac{xy}{z}+ \frac{yz}{x}+ \frac{zx}{y}\Big)^2\geq 3\Big(\frac{xy}{z}\cdot\frac{yz}{x}+ \frac{yz}{x}\cdot \frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}\cdot \frac{zx}{y}\Big)=3(x^2+y^2+z^2)=75\implies A\geq 5\sqrt{3}}$

και η ισότητα πιάνεται όταν $\displaystyle{x=y=z=\frac{5}{\sqrt{3}}.}$

Άρα

$\displaystyle{\boxed{A_{\min}=5\sqrt{3}}}$

Garfield · #3

parmenides51 έγραψε:1. Οι αριθμοί $\displaystyle{203}$ και $\displaystyle{298}$ διαιρούμενοι με το θετικό αριθμό $\displaystyle{x}$ δίνουν και οι δύο υπόλοιπο $\displaystyle{13}$ .
Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του x;

Από την εκφώνηση του προβλήματος έχουμε ότι: $\displaystyle{ 203=kx + 13 ,\quad \textnormal{ \gr και} \quad 298= \ell x +13 }$ όπου $k , \ell \in \mathbb Z_{>0}$ . Aκόμη πρέπει να είναι 13<x

σύμφωνα με την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης.

Με αφαίρεση κατα μέλη των δύο σχέσεων έχουμε: $\displaystyle{ 95= (\ell -k)x \implies x|95=5 \cdot 19}$ . Άρα $x \in \{ 1,5,19,5 \cdot 19=95 \}$ και επειδή έχουμε ότι x>13

παίρνουμε ότι $x \in \{19, 95 \}$ .

Οι παραπάνω δύο τιμές επαληθεύουν τις υποθέσεις του προβλήματος καθώς είναι:
$\bullet \quad \textnormal{ \gr για} \quad x=19 \to 203= 10 \cdot 19 +13, \quad 298=15 \cdot 19+13$

$\bullet \quad \textnormal {\gr για} \quad x=95 \to 203= 2 \cdot 95 +13, \quad 298= 3 \cdot 95 +13}$

Επομένως $\displaystyle{ \boxed{x=19} \quad \textnormal{\gr ή}\quad \boxed{x=95} }$ .

hlkampel · #4

parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ .
Θεωρούμε τα μέσα $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{\Lambda}$ των πλευρών $\displaystyle{B\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Delta}$ , αντίστοιχα.
Η κάθετη από το $\displaystyle{B}$ προς την $\displaystyle{AK}$ τέμνει την $\displaystyle{AK}$ στο $\displaystyle{E}$ και την $\displaystyle{\Gamma\Lambda}$ στο $\displaystyle{Z}$ .
α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $\displaystyle{AKZ\Lambda}$ είναι ισοσκελές τραπέζιο.
β) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{2(ABKZ) = (AB\Gamma\Delta)}$
γ) Αν το τετράπλευρο $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ είναι τετράγωνο πλευράς $\displaystyle{\alpha}$ ,
να υπολογίσετε το εμβαδόν του ισοσκελούς τραπεζίου $\displaystyle{AKZ\Lambda}$ ως συνάρτηση της πλευράς $\displaystyle{B\Gamma= \alpha}$ .

α) Είναι ${\rm A}\Lambda // = {\rm K}\Gamma$ (μισά των ίσων και παρ/λων ${\rm A}{\rm B},\;{\rm B}\Gamma$ ) οπότε το ${\rm A}{\rm K}\Gamma \Lambda$ είναι παραλληλόγραμμο δηλαδή ${\rm A}{\rm K}//\Lambda \Gamma \Leftrightarrow {\rm A}{\rm K}//\Lambda {\rm Z}$ (1)

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm B}{\rm Z}\Gamma$ η ${\rm Z}{\rm K}$ είναι διάμεσος στην υποτείνουσα ${\rm B}\Gamma$ , έτσι ${\rm Z}{\rm K} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{2} \Leftrightarrow {\rm Z}{\rm K} = {\rm A}\Lambda$ (2)

Από τις σχέσεις (1), (2) συμπεραίνουμε ότι το ${\rm A}{\rm K}{\rm Z}\Lambda$ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

β) Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm A}{\rm B}{\rm K}$ και ${\rm A}{\rm K}{\rm Z}$ είναι ίσα ( ${\rm A}{\rm K}$ κοινή και ${\rm Z}{\rm K} = {\rm B}{\rm K} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{2}$ ) οπότε $\left( {{\rm A}{\rm B}{\rm K}} \right) = \left( {{\rm A}{\rm K}{\rm Z}} \right)$ (3)

$\left( {{\rm A}{\rm B}{\rm K}{\rm Z}} \right) = \left( {{\rm A}{\rm B}{\rm K}} \right) + \left( {{\rm A}{\rm K}{\rm Z}} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} \left( {{\rm A}{\rm B}{\rm K}{\rm Z}} \right) = 2\left( {{\rm A}{\rm B}{\rm K}} \right) \Rightarrow 2\left( {{\rm A}{\rm B}{\rm K}{\rm Z}} \right) = 4\left( {{\rm A}{\rm B}{\rm K}} \right) \Rightarrow$

$2\left( {{\rm A}{\rm B}{\rm K}{\rm Z}} \right) = 4\frac{1}{2}{\rm A}{\rm B} \cdot {\rm B}{\rm K} \Rightarrow 2\left( {{\rm A}{\rm B}{\rm K}{\rm Z}} \right) = 2{\rm A}{\rm B}\frac{{{\rm B}\Gamma }}{2} \Rightarrow 2\left( {{\rm A}{\rm B}{\rm K}{\rm Z}} \right) = \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right)$

γ) Αν ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ τετράγωνο πλευράς $\alpha$ τότε:

Από Πυθ. θεώρημα στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}{\rm K}$ είναι:

$\displaystyle{{\rm A}{{\rm K}^2} = {\rm A}{{\rm B}^2} + {\rm B}{{\rm K}^2} \Leftrightarrow {\rm A}{{\rm K}^2} = {\alpha ^2} + \frac{{{\alpha ^2}}}{4} \Leftrightarrow {\rm A}{\rm K} = \frac{{\alpha \sqrt 5 }}{2}}$

$\left( {{\rm A}{\rm B}{\rm K}} \right) = \left( {{\rm A}{\rm K}{\rm Z}} \right) \Rightarrow \frac{1}{2}{\rm A}{\rm B} \cdot {\rm B}{\rm K} = \frac{1}{2}{\rm A}{\rm K} \cdot {\rm Z}{\rm E} \Rightarrow \alpha \cdot \frac{\alpha }{2} = \frac{{\alpha \sqrt 5 }}{2}{\rm Z}{\rm E} \Rightarrow$

$\alpha = \sqrt 5 \cdot {\rm Z}{\rm E} \Rightarrow {\rm Z}{\rm E} = \frac{{\alpha \sqrt 5 }}{5}$

Στο τρίγωνο ${\rm B}{\rm Z}\Gamma$ το ${\rm E}$ είναι μέσο της ${\rm B}\Gamma$ και ${\rm E}{\rm K}//{\rm Z}\Gamma$ , ως κάθετες στη ${\rm B}{\rm Z}$ .

Έτσι το ${\rm K}$ είναι μέσο της ${\rm B}{\rm Z}$ , δηλαδή ${\rm B}{\rm Z} = 2 \cdot {\rm Z}{\rm E} \Rightarrow {\rm B}{\rm Z} = \frac{{2\alpha \sqrt 5 }}{5}$

Από Πυθ. Θεώρημα στο τρίγωνο ${\rm B}{\rm Z}\Gamma$ είναι:

$\Gamma {{\rm Z}^2} = {\rm B}{\Gamma ^2} - {\rm B}{{\rm Z}^2} \Rightarrow \Gamma {{\rm Z}^2} = {\alpha ^2} - \frac{{4{\alpha ^2}}}{5} \Rightarrow \Gamma {\rm Z} = \frac{{\alpha \sqrt 5 }}{5}$

Επίσης : $\Lambda {\rm Z} = \Lambda \Gamma - \Gamma {\rm Z} \Rightarrow \Lambda {\rm Z} = {\rm A}{\rm K} - \Gamma {\rm Z} \Rightarrow \Lambda {\rm Z} = \frac{{\alpha \sqrt 5 }}{2} - \frac{{\alpha \sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \Lambda {\rm Z} = \frac{{3\alpha \sqrt 5 }}{{10}}$

Οπότε $\displaystyle{\left( {{\rm A}{\rm K}{\rm Z}\Lambda } \right) = \frac{1}{2}\left( {{\rm A}{\rm K} + {\rm Z}\Lambda } \right) \cdot {\rm Z}{\rm E} \Rightarrow \left( {{\rm A}{\rm K}{\rm Z}\Lambda } \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\alpha \sqrt 5 }}{2} + \frac{{3\alpha \sqrt 5 }}{{10}}} \right) \cdot \frac{{\alpha \sqrt 5 }}{5} \Rightarrow }$

$\displaystyle{\left( {{\rm A}{\rm K}{\rm Z}\Lambda } \right) = \frac{{\alpha \sqrt 5 }}{{10}} \cdot \frac{{8\alpha \sqrt 5 }}{{10}} \Rightarrow \left( {{\rm A}{\rm K}{\rm Z}\Lambda } \right) = \frac{{40{\alpha ^2}}}{{100}} \Rightarrow \left( {{\rm A}{\rm K}{\rm Z}\Lambda } \right) = \frac{{2{\alpha ^2}}}{5}}$

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:4. Να προσδιορίσετε τον ρητό αριθμό $\displaystyle{\frac{\alpha}{\beta}}$ , όπου $\displaystyle{\alpha,\beta}$ θετικοί ακέραιοι, με τον ελάχιστο παρονομαστή,

που είναι τέτοιος ώστε $\displaystyle{\frac{52}{{\color{red}3}03}<\frac{\alpha}{\beta}<\frac{16}{91}}$ .

παρόμοια

edit

#6

4. Να προσδιορίσετε τον ρητό αριθμό $\displaystyle{\frac{\alpha}{\beta}}$ , όπου $\displaystyle{\alpha,\beta}$ θετικοί ακέραιοι, με τον ελάχιστο παρονομαστή,

που είναι τέτοιος ώστε $\displaystyle{\frac{52}{303}<\frac{\alpha}{\beta}<\frac{16}{91}}$ .

Αρκεί $\displaystyle{\frac{91}{16}a< b <\frac{303}{52}a}$ .

Για a=1

βρίσκουμε

Για

είναι

Για

είναι

.

Για

είναι

, που δίνει την ακέραια λύση b=23

Ο ελάχιστος παρονομαστής είναι λοιπόν το

και ο ζητούμενος ρητός είναι ο $\displaystyle{\frac{4}{23}}.$

Σημείωση Διόρθωσα τον παρονομαστή.

#7

Θέλει μία διόρθωση η εκφώνηση του 4ου από 503 σε 303.
Μία γενικότερη αντιμετώπιση με συνεχή κλάσματα:
$\displaystyle{\frac{52}{303}=\frac{1}{5+\frac{43}{52}}=\frac{1}{5+\frac{1}{1+\frac{9}{43}}}=\frac{1}{5+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{7}{9}}}}=\frac{1}{5+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{2}{7}}}}}=\frac{1}{5+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{3+\frac{1}{2}}}}}}=[5,1,4,1,3]}$
Όμοια, $\displaystyle{\frac{16}{91}=[5,1,2]}$
Οπότε, ανάμεσά τους, παρεμβάλεται το:
$\displaystyle{[5,1,3]=\frac{1}{5+\frac{1}{1+\frac{1}{3}}}=\frac{4}{23}}$

parmenides51 · #8

AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ έγραψε:Θέλει μία διόρθωση η εκφώνηση του 4ου από 503 σε 303.

έχεις δίκιο, διορθώθηκε, ευχαριστούμε

parmenides51 · #9

μια λύση προσαρμόζοντας την λύση από εδώ στα δεδομένα της παρούσας άσκησης

parmenides51 έγραψε:3. Αν οι $\displaystyle{x, y, z}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $\displaystyle{x^2 + y^2 + z^2 =25}$

να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή τιμή της παράστασης $\displaystyle{A= \frac{xy}{z}+ \frac{yz}{x}+ \frac{zx}{y}}$ .

Αν θέσω

τότε αρκεί να βρούμε το ελάχιστο του a+b+c

με την συνθήκη οτι ab+bc+ca=25

Όμως $(a+b+c)^2\ge 3(ab+bc+ca)=3\cdot 25$

άρα $min \, (a+b+c)=5\sqrt3$ με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle{ab=bc=ca=\frac{25}{3}\Rightarrow a=b=c=\frac{5}{\sqrt{3}}}$

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2003 - ΓΥΜΝΑΣΙΟ

Μέλη σε σύνδεση