Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

freyia · #61

achilleas έγραψε:
mathfinder έγραψε:....
3. Οι θετικοί ακέραιοι $\mu ,\nu$ με $\mu \succ \nu$ ικανοποιούν τη σχέση $EK\Pi \left(\mu ,\nu \right)+MK\Delta \left(\mu ,\nu \right)=\mu +\nu$ .
(α) Να δείξετε ότι ο $\nu$ διαιρεί το $\mu$ .
....[/tex] .
....
Το πρόβλημα αυτό είναι "γνωστό".

Yπάρχει στο βιβλίο του P.Zeitz, The Art and Craft of problem solving, 1st edition, σελ. 278, ως πρόβλημα 7.5.13 (Ρωσία 1995), αλλά κυκλοφορεί και στο διαδίκτυο σε φυλλάδιο του Zeitz με πρoβλήματα από τη Bay Area Math Olympiad...

Επίσης το δίδαξα πέρυσι το καλοκαίρι στo καλοκαιρινό σχολείο της ΕΜΕ Ημαθίας στον Άγιο Νικόλαο Νάουσας...

Φιλικά,

Αχιλλέας

Θα πω μια λύση που βρήκα, ελπίζοντας να μην χάνει κάπου:

Έστω ότι [m,n]=a , (m,n)=b

Υπάρχει ένας γνωστός τύπος στην θεωρία αριθμών που λέει ότι [m,n].(m,n)=|m|.|n|

και επειδή οι αριθμοί m,n

είναι φυσικοί, θα ισχύει ο τύπος [m,n].(m,n)=m.n

επομένως

δηλαδή
$a=\frac{mn}{b}$
Αφού δίνεται ότι $a+b=m+n \Rightarrow \frac{mn}{b}+b=m+n\Rightarrow b^{2}-(m+n)b+mn=0$ . Επομένως έχουμε εξίσωση δευτέρου βαθμού που έχει ρίζες τις m , n

. Επομένως θα είναι b=m

ή

και επειδή είναι m>n

και το

είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αριθμών m , n

έχουμε ότι b=n

. Επομένως επειδή ο

διαιρεί τον

βγαίνει το συμπέρασμα ότι ο

διαιρεί τον

gauss1988 · #62

mathfinder έγραψε:
2. Για τις διάφορες τιμές του ρητού $\alpha$ να λυθεί η εξίσωση $\left|\left|x-4 \right|-2x+8 \right|=\alpha x+4$ .

3. Οι θετικοί ακέραιοι $\mu ,\nu$ με $\mu \succ \nu$ ικανοποιούν τη σχέση $EK\Pi \left(\mu ,\nu \right)+MK\Delta \left(\mu ,\nu \right)=\mu +\nu$ .
(α) Να δείξετε ότι ο $\nu$ διαιρεί το $\mu$ .
(β) Αν επιπλέον ισχύει $\mu -\nu =10$ να βρείτε όλα τα ζεύγη $\left(\mu ,\nu \right)$ .

Για το (β) ερώτημα:

$\displaystyle{\mu -\nu =10\Rightarrow \frac{\mu }{\nu }-1=\frac{10}{\nu }}$ και αφού $\displaystyle{\nu |\mu }$ πρέπει
$\displaystyle{\nu |10\Rightarrow \nu =1,2,5,10\Rightarrow (\mu , \nu )\epsilon \left\{(11,1),(8,2),(5,5) \right\}}$
(δεδομένου ότι πρόκειται για θετικούς ακεραίους)

mariosee · #63

Και εγώ δίνω μια λύση για το (β)
Αφού ισχύει ότι ν|μ τότε μ=κν άρα μ-ν=10 <=>
κν-ν=10 <=>
ν(κ-1)=10 άρα ν={1,2,5,10}
για ν=1 έπειται κ=11 αρα μ=11 και (μ,ν)=(11,1)
για ν=2 επειται κ=6 αρα μ=12 και (μ,ν)=(12,2)
για ν=5 επειται κ=3 αρα μ=15 και (μ,ν)=(15,5)
για ν=10 επειται κ=2 αρα μ=20 και (μ,ν)=(20,10)
Συγχωρέστε με αν έχω κάνει κάποιο λάθος λόγω επιπολαιότητας

#64

mariosee έγραψε:Και εγώ δίνω μια λύση για το (β)
Αφού ισχύει ότι ν|μ τότε μ=κν άρα μ-ν=10 <=>
κν-ν=10 <=>
ν(κ-1)=10 άρα ν={1,2,5,10}
για ν=1 έπειται κ=11 αρα μ=11 και (μ,ν)=(11,1)
για ν=2 επειται κ=6 αρα μ=12 και (μ,ν)=(12,2)
για ν=5 επειται κ=3 αρα μ=15 και (μ,ν)=(15,5)
για ν=10 επειται κ=2 αρα μ=20 και (μ,ν)=(20,10)
Συγχωρέστε με αν έχω κάνει κάποιο λάθος λόγω επιπολαιότητας

Σωστά είναι τα ζεύγη που βρήκες. ο gauss1988 πρέπει να έκανε κάποιο λάθος στις πράξεις και βρήκε διαφορετικά ζεύγη

K.alexander7 · #65

Ανέβηκαν επιτέλους και η λύσεις απο την ΕΜΕ!

http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... utions.pdf

Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Re: Αρχιμήδης Καλή επιτυχία.

Μέλη σε σύνδεση