Μοναδική κοινή εφαπτομένη
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3352
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Μοναδική κοινή εφαπτομένη
Πιθανώς έχει ξανατεθεί: να δειχθεί ότι η εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση έχουν μοναδική κοινή εφαπτομένη* με κλίση μεταξύ και .
*συν την συμμετρική αυτής
*συν την συμμετρική αυτής
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Λέξεις Κλειδιά:
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1758
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Μοναδική κοινή εφαπτομένη
Θεωρούμε τα σημεία
Οι εφαπτόμενες προς τις γραφικές παραστάσεις είναι αντίστοιχα
και
Οι ευθείες αυτές ταυτίζονται αν και μόνο αν ισχύει :
και . Επομένως :
Θέλουμε να δείξουμε ότι υπάρχουν αριθμοί , με , οι οποίοι ικανοποιούν και τις δυο εξισώσεις .
Θεωρούμε τη συνάρτηση , με
H είναι συνεχής με
Επομένως από θεώρημα Bolzano έχουμε ότι υπάρχει ώστε
Ομοίως δειχνουμε ότι υπάρχει ώστε
Άρα η εξίσωση έχει δυο τουλάχιστον ρίζες .
Ακόμα η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη με και , οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα .
Είναι , επομένως από θεώρημα Bolzano έχουμε ότι υπάρχει ώστε , όπου το είναι μοναδικό λόγω μονοτονίας της .
Από τον πίνακα μονοτονίας βλέπουμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο και γνησίως φθίνουσα στο .
Επειδή και οι ρίζες είναι μοναδικές .
Άρα η εξίσωση έχει δυο ακριβώς ρίζες , οπότε το σύστημα έχει δύο ακριβώς ζεύγη λύσεων , άρα υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες .
Kαλαθάκης Γιώργης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης