Ανισότητα με ολοκλήρωμα

#1

Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ με $\displaystyle{f'(x)=\frac{e^x-1}{x}}$ για κάθε $x\ne 0.$
Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\int_0^1f(x)dx<f(0)+f'(0).}$

KARKAR · #2

Είναι : $\displaystyle\int_{0}^{1}x'f(x)dx=f(1)-\int_{0}^{1}x(\frac{e^x-1}{x})dx=f(1)-e+2$ και : f'0)=1

.

Θέλω λοιπόν : f(1)-e+2<f(0)+1

ή αλλιώς : $\dfrac{f(1)-f(0)}{1-0}<e-1$ .

Αλλά από Θ.Μ.Τ. , για κάποιο $\xi \in (0,1)$ θέλω : $\dfrac{e^\xi-1}{\xi}<e-1$ , το οποίο προκύπτει εύκολα ,

θεωρώντας και μελετώντας την συνάρτηση : g(x)=e^x-(e-1)x-1

, η οποία είναι αρνητική στο (0,1)

.

Tolaso J Kos · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 31, 2022 7:08 pm
.

Αν θεωρήσουμε ότι f'(0)=1

τότε ΟΚ αλλά δε λέει πουθενά ότι η

είναι συνεχής.

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Re: Ανισότητα με ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση