Ακρότατα υπό συνθήκη

#1

Έστω ότι τα $\displaystyle x,y\in R$ ικανοποιούν την $\displaystyle 4{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}=3$
Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της ποσότητας : $\displaystyle A={{x}^{2}}+2xy-{{y}^{2}}$

Ορέστης Λιγνός · #2

exdx έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 02, 2020 7:57 pm
Έστω ότι τα $\displaystyle x,y\in R$ ικανοποιούν την $\displaystyle 4{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}=3$
Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της ποσότητας : $\displaystyle A={{x}^{2}}+2xy-{{y}^{2}}$

Μία εκτός φακέλου

Ισχυρίζομαι ότι η μέγιστη τιμή είναι

και η ελάχιστη τιμή

.

Μέγιστη τιμή: Αρκεί να δείξουμε ότι $x^2+2xy-y^2 \leqslant 1$ . Όμως, είναι $3=4x^2+2xy+y^2=(x-2y)^2+3(x^2+2xy-y^2) \geqslant 3(x^2+2xy-y^2)$ , οπότε $x^2+2xy-y^2 \leqslant 1$ . Η ισότητα, προφανώς μπορεί να ισχύει (όταν x=2y

και

).

Ελάχιστη τιμή: Αρκεί να δείξουμε ότι $x^2+2xy-y^2 \geqslant -6$ . Όμως, είναι $6=2(4x^2+2xy+y^2)=-(x^2+2xy-y^2)+(3x+y)^2 \geqslant -(x^2+2xy-y^2)$ , οπότε $x^2+2xy-y^2 \geqslant -6$ . Και εδώ η ισότητα προφανώς μπορεί να ισχύει.

User#0000 · #3

Η ποσότητα

γράφεται:

άρα

ή

είναι η σχέση (1)

Η

γίνεται

ή

είναι η σχέση (2)

η σχέση

γίνεται

ή

είναι η σχέση (3)

η

γίνεται

ή

είναι η σχέση (4)

Προσθέτωντας κατά μέλη τις σχέσεις (3)

και

έχουμε:

ή

ή...ή

είναι η σχέση (5)

Προσθέτωντας κατά μέλη τις σχέσεις (2)

και

προκύπτει:
-8-4√3≤A≤3

οπότε

Η ελάχιστη τιμή της ποσότητας

είναι:
$A_{minimum}=-8-4√3$

Η μέγιστη τιμή της ποσότητας

είναι:
$A_{maximum}=3$

Λάμπρος Κατσάπας · #4

nikhtas30 έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 03, 2020 7:01 am
Η ποσότητα γράφεται:
άρα

ή
είναι η σχέση

Η γίνεται
ή
είναι η σχέση

η σχέση γίνεται
ή
είναι η σχέση

η γίνεται
ή
ή ή
ή είναι η σχέση

Προσθέτωντας κατά μέλη τις σχέσεις και έχουμε:
ή ή ή
ή...ή
είναι η σχέση

Προσθέτωντας κατά μέλη τις σχέσεις και προκύπτει:
οπότε

Η ελάχιστη τιμή της ποσότητας είναι:
$A_{minimum}=-8-4√3$

Η μέγιστη τιμή της ποσότητας είναι:
$A_{maximum}=3$

Καλημέρα!
Χρειάζεται προσοχή! Δεν έχεις αποδείξει ότι το μέγιστο και το ελάχιστο είναι οι αριθμοί που βρήκες. Είναι σαν να έχεις δείξει ότι ένας άνθρωπος είναι μεταξύ

και

μέτρων σε ύψος, που προφανώς είναι σωστό. Όταν προσθέτεις κατά μέλη χάνεται η ισοδυναμία οπότε δεν μπορείς να γυρίσεις τά βήματα προς τα πίσω και να δεις πότε και αν ισχύει η ισότητα.

User#0000 · #5

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 03, 2020 12:21 am

exdx έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 02, 2020 7:57 pm
Έστω ότι τα $\displaystyle x,y\in R$ ικανοποιούν την $\displaystyle 4{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}=3$
Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της ποσότητας : $\displaystyle A={{x}^{2}}+2xy-{{y}^{2}}$
Μία εκτός φακέλου

Ισχυρίζομαι ότι η μέγιστη τιμή είναι και η ελάχιστη τιμή .

Μέγιστη τιμή: Αρκεί να δείξουμε ότι $x^2+2xy-y^2 \leqslant 1$ . Όμως, είναι $3=4x^2+2xy+y^2=(x-2y)^2+3(x^2+2xy-y^2) \geqslant 3(x^2+2xy-y^2)$ , οπότε $x^2+2xy-y^2 \leqslant 1$ . Η ισότητα, προφανώς μπορεί να ισχύει (όταν και ).

Ελάχιστη τιμή: Αρκεί να δείξουμε ότι $x^2+2xy-y^2 \geqslant -6$ . Όμως, είναι $6=2(4x^2+2xy+y^2)=-(x^2+2xy-y^2)+(3x+y)^2 \geqslant -(x^2+2xy-y^2)$ , οπότε $x^2+2xy-y^2 \geqslant -6$ . Και εδώ η ισότητα προφανώς μπορεί να ισχύει.

Να ρωτήσω κάτι,(πραγματικά θέλω να μάθω)
θεωρώ ότι η λύση δεν είναι επαρκώς επεξηγηματική αφού,
π.χ.
για να αποδειχθεί πως η μέγιστη τιμή είναι το

νομίζω θα έπρεπε για κάθε $x,y \in{R}$ :
*το x^2+2xy-y^2>1

να μας οδηγεί σε άτοπο αλλά δεν μπήκες στην διαδικασία να το αποδείξεις, χωρίς να αμφισβητώ πως δεν μπορείς να το δείξεις αν θες.
και
*το x^2+2xy-y^2≤1

να ισχύει, μαλλον το απέδειξες δυσκολεύομαι να παρακολουθήσω.
Με ομοίο τρόπο θα εργαζόμασταν και για το ελάχιστο.

Αν είπα κάτι λάθος μέχρι εδώ παρακαλώ διορθώστε με.

Όμως, έτυχε και βρήκαμε κατά τύχη τα ακρότατα; πώς; δεν θεωρείται αποδειξη. και που ξέρω ότι δεν είναι ακρότατο το

ή το

;

Σέβομαι ότι πας Β γυμνασίου λύνοντας Γ λυκείου πρόβλημα και ότι κερδίζεις διαγωνισμούς και σε έχω σε υψηλή εκτίμηση.
Φιλικά

#6

nikhtas30 έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 03, 2020 9:24 am

για να αποδειχθεί πως η μέγιστη τιμή είναι το νομίζω θα έπρεπε για κάθε $x,y \in{R}$ :
*το να μας οδηγεί σε άτοπο αλλά δεν μπήκες στην διαδικασία να το αποδείξεις

.
Νικήτα, το παραπάνω δεν είναι ακριβές. Είναι ένας τρόπος αλλά υπάρχει και δεύτερος. Συγκεκριμένα να αποδείξεις ότι
$x^2+2xy-y^2\le 1$ και μετά να αποδείξεις ότι δεν υπάρχει κάποιος μικρότερος αριθμός στην θέση του

(δεξιά). Αυτό το πετυχαίνεις
δίχνοντας ότι για κάποιες τιμές των x,y

έχεις ισότητα x^2+2xy-y^2= 1

. Το λοιπόν, αυτό ακριβώς έκανε ο Ορέστης. Είναι στο βήμα
.

Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 03, 2020 12:21 am
Η ισότητα, προφανώς μπορεί να ισχύει (όταν και ).

.
Με άλλα λόγια όταν x=2y

και

. Ποιες εϊναι αυτές οι τιμές των x,y

; Μα είναι προφανές, όπως σωστά λέει η λύση του Ορέστη. Υπόδειξη: Η τελευταία γράφεται 21y^2=1

.

Όμοια για το ελάχιστο.

User#0000 · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 03, 2020 9:46 am

nikhtas30 έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 03, 2020 9:24 am

για να αποδειχθεί πως η μέγιστη τιμή είναι το νομίζω θα έπρεπε για κάθε $x,y \in{R}$ :
*το να μας οδηγεί σε άτοπο αλλά δεν μπήκες στην διαδικασία να το αποδείξεις
.
Νικήτα, το παραπάνω δεν είναι ακριβές. Είναι ένας τρόπος αλλά υπάρχει και δεύτερος. Συγκεκριμένα να αποδείξεις ότι
$x^2+2xy-y^2\le 1$ και μετά να αποδείξεις ότι δεν υπάρχει κάποιος μικρότερος αριθμός στην θέση του (δεξιά). Αυτό το πετυχαίνεις
δίχνοντας ότι για κάποιες τιμές των έχεις ισότητα . Το λοιπόν, αυτό ακριβώς έκανε ο Ορέστης. Είναι στο βήμα
.
Ορέστης Λιγνός έγραψε: ↑
Πέμ Σεπ 03, 2020 12:21 am
Η ισότητα, προφανώς μπορεί να ισχύει (όταν και ).

.
Με άλλα λόγια όταν και . Ποιες εϊναι αυτές οι τιμές των ; Μα είναι προφανές, όπως σωστά λέει η λύση του Ορέστη. Υπόδειξη: Η τελευταία γράφεται .

Όμοια για το ελάχιστο.

Σας ευχαριστώ για την διευκρίνιση κύριε Λάμπρου

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

exdx έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 02, 2020 7:57 pm
Έστω ότι τα $\displaystyle x,y\in R$ ικανοποιούν την $\displaystyle 4{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}=3$
Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της ποσότητας : $\displaystyle A={{x}^{2}}+2xy-{{y}^{2}}$

Μετά την καταπληκτική λύση του Ορέστη με ύλη Α Λυκείου
ας δούμε μια με ύλη Β Λυκείου.

Εχουμε συνθήκη

$\displaystyle x^2+(\frac{x+y}{\sqrt{3}})^2=1$

και θέλουμε τα ακρότατα της

$\displaystyle A=(x+y)^2-2y^2$

Θέτουμε

$\displaystyle x=\cos \theta ,\frac{x+y}{\sqrt{3}}=\sin \theta$

Είναι
$\displaystyle A=-2-(\sin \theta )^2+4\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta =-2-(\sin \theta )4\sqrt{3}(-\cos \theta+\frac{\sin \theta }{4\sqrt{3}})$

Παίρνοντας οξεία γωνία με
$\tan \varphi =\frac{1}{4\sqrt{3}}$
βρίσκουμε

$A=-2+\frac{2\sqrt{3}}{\cos \varphi }(\sin (2\theta +\varphi ))-\sin \varphi )$

Μετά όλα είναι εύκολα.

#9

exdx έγραψε: ↑
Τετ Σεπ 02, 2020 7:57 pm
Έστω ότι τα $\displaystyle x,y\in R$ ικανοποιούν την $\displaystyle 4{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}=3$
Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της ποσότητας : $\displaystyle A={{x}^{2}}+2xy-{{y}^{2}}$

$\displaystyle {(x + y)^2} = 3 - 3{x^2} \Leftrightarrow y = - x \pm \sqrt {3 - 3{x^2}}$

$\displaystyle A = {(x + y)^2} - 2{y^2} = 3 - 3{x^2} - 2{y^2} \Leftrightarrow A = {x^2} - 3 \pm 4x\sqrt {3 - 3{x^2}}$

Έστω $\displaystyle A = f(x) = {x^2} - 3 + 4x\sqrt {3 - 3{x^2}}$ με $\displaystyle f'(x) = \frac{2}{{\sqrt {3 - 3{x^2}} }}\left( {6 - 12{x^2} + x\sqrt {3 - 3{x^2}} } \right),$ όπου

διαπιστώνουμε ότι παρουσιάζει μέγιστο $\boxed{{A_{\max }} = 1}$ για $\boxed{x = \frac{2}{{\sqrt 7 }}}$ και ελάχιστο $\boxed{{A_{\min }} = -6}$ για $\boxed{x = \frac{\sqrt 3}{{\sqrt 7 }}}$

Ομοίως και για $\displaystyle A = f(x) = {x^2} - 3 - 4x\sqrt {3 - 3{x^2}}$

ksofsa · #10

Καλησπέρα!

Μια λύση με τριγωνομετρία και διαφορικό λογισμό.

Θέτω A=x^2+2xy-y^2

.

Τότε

.

Θέτω $p=\sqrt{3x^2+2y^2}$

και $sina=\dfrac{\sqrt{3}x}{p}, cosa=\dfrac{\sqrt{2}y}{p}$ .

Τότε $x^2=\dfrac{p^2sin^2a}{3}, y^2=\dfrac{p^2cos^2a}{2}, xy=\dfrac{p^2sinacosa}{\sqrt{6}}$

Οπότε η συνθήκη γράφεται

$\dfrac{4p^2sin^2a}{3}+\dfrac{2p^2sinacosa}{\sqrt{6}}+\dfrac{p^2cos^2a}{2}=3\Leftrightarrow 8sin^2a+2\sqrt{6}sinacosa+3cos^2a=\dfrac{18}{p^2}$

$\Leftrightarrow 5sin^2a+\sqrt{6}sin2a=\dfrac{18}{p^2}-3$ .

Θεωρώ τη συνάρτηση $f(a)=5sin^2a+\sqrt{6}sin2a$ με
$f'(a)=5sin2a+2\sqrt{6}cos2a$ .

Μελετώντας τη συνάρτηση

, βρίσκω ότι έχει ολικά ακρότατα τα -1,6

Άρα $-1\leq \dfrac{18}{p^2}-3\leq 6\Leftrightarrow 2\leq \dfrac{18}{p^2}\leq 9\Leftrightarrow 2\leq p^2\leq 9\Leftrightarrow 2\leq 3-A\leq 9\Leftrightarrow -6\leq A\leq 1$ .

#11

Είναι ευχάριστο να βλέπει κανείς τέτοια ποικιλία λύσεων
Άλλη μία για να αιτιολογήσω και την επιλογή του φακέλου :

Επειδή οι σχέσεις είναι ομογενείς ως προς $\displaystyle x$ και $\displaystyle y$ , μπορούμε να εμφανίσουμε μια σχέση με μία μόνο μεταβλητή .
Επειδή $\displaystyle 4{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}\ne 0$ , σχηματίζουμε το κλάσμα
$\displaystyle \frac{A}{3}=\frac{{{x}^{2}}+2xy-{{y}^{2}}}{4{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}}$
Αν $\displaystyle y=0\ , A=\frac{3}{4}$ . Αν $\displaystyle y\ne 0$ , διαιρούμε με $\displaystyle {{y}^{2}}$ και αντικαθιστούμε $\displaystyle \frac{x}{y}=t$ .
Έτσι παίρνουμε την $\displaystyle f(t)=\frac{{{t}^{2}}+2t-1}{4{{t}^{2}}+2t+1}$ με $\displaystyle {f}'(t)=\frac{-6{{t}^{2}}+10t+4}{{{\left( 4{{t}^{2}}+2t+1 \right)}^{2}}},t\in R$
Με πίνακα μονοτονίας και όρια βλέπουμε ότι η $\displaystyle f$ για $\displaystyle t=2$
(δηλαδή για $\displaystyle x=2y$ ) έχει μέγιστο το $\displaystyle \frac{1}{3}$ και για $\displaystyle t=-\frac{1}{3}$ (δηλαδή για $\displaystyle x=-3y\ne 0$ ), ελάχιστο το $\displaystyle -2$ , κλπ .

Ακρότατα υπό συνθήκη

Ακρότατα υπό συνθήκη

Re: Ακρότατα υπό συνθήκη

Re: Ακρότατα υπό συνθήκη

Re: Ακρότατα υπό συνθήκη

Re: Ακρότατα υπό συνθήκη

Re: Ακρότατα υπό συνθήκη

Re: Ακρότατα υπό συνθήκη

Re: Ακρότατα υπό συνθήκη

Re: Ακρότατα υπό συνθήκη

Re: Ακρότατα υπό συνθήκη

Re: Ακρότατα υπό συνθήκη

Μέλη σε σύνδεση