Διάφοροι μέσοι

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 983
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Διάφοροι μέσοι

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Απρ 19, 2019 10:46 am

Με αφορμή το πρόβλημα εδώ...

Για θετικά a \neq b ορίζουμε τον λογαριθμικό μέσο L=L(a,b)=\dfrac{b-a}{\ln b -\ln a}, τον αριθμητικό μέσο A=A(a,b) = \dfrac{a+b}{2} και το γεωμετρικό μέσο G=G(a,b)= \sqrt{ab}.

i) Μελετήστε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x)= \ln x - \dfrac{3\left ( x^2-1\right )}{x^2+4x+1}.

ii) Να αποδείξετε, ότι L < \dfrac{2G+A}{3}

iii) Να αποδείξετε, ότι L > \dfrac{3AG}{2A+G}

iv) Προσπαθήστε να κατασκευάσετε και άλλες παρόμοιες ανισότητες.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4245
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Διάφοροι μέσοι

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Κυρ Αύγ 04, 2019 3:43 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Απρ 19, 2019 10:46 am
Με αφορμή το πρόβλημα εδώ...

Για θετικά a \neq b ορίζουμε τον λογαριθμικό μέσο L=L(a,b)=\dfrac{b-a}{\ln b -\ln a}, τον αριθμητικό μέσο A=A(a,b) = \dfrac{a+b}{2} και το γεωμετρικό μέσο G=G(a,b)= \sqrt{ab}.

i) Μελετήστε ως προς την μονοτονία την συνάρτηση f(x)= \ln x - \dfrac{3\left ( x^2-1\right )}{x^2+4x+1}.

ii) Να αποδείξετε, ότι L < \dfrac{2G+A}{3}

iii) Να αποδείξετε, ότι L > \dfrac{3AG}{2A+G}

iv) Προσπαθήστε να κατασκευάσετε και άλλες παρόμοιες ανισότητες.
Ας δούμε το τελευταίο ερώτημα που νομίζω έχει χωριστό ενδιαφέρον.
Α) Αφού ο λογαριθμικός μέσος είναι μεταξύ του γεωμετρικού μέσου και του αριθμητικού μέσου είναι κυρτός γραμμικός συνδυασμός τους. Στην ουσία αναζήτηση ανισοτήτων σαν την ii) σημαίνει να αναζητηθούν μέσοι του μέσου γεωμετρικού και του μέσου αριθμητικού που υπερβαίνουν τον λογαριθμικό μέσο και έχουν βάρη θετικούς ακεραίους.
Ισοδύναμα αναζητούνται ρητοί \lambda του διαστήματος (0,1) ώστε
L < (1-\lambda)G+\lambda A .\,\,\,(1) για κάθε επιλογή των \alpha <\beta .
Υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι 0<\alpha <\beta και για να απλουστεύουμε τις πράξεις ότι \frac{\beta }{\alpha }=x^{2} με x>1.
Τότε \beta =x^{2}\alpha και η (1) ισχοδυναμεί με την
\frac{1}{2}\alpha \left( x-1\right) \frac{x+1}{\ln x}<\frac{1}{2}\alpha \left( 2x-2x\lambda +\lambda +\lambda x^{2}\right)
δηλαδή την
\lambda >\frac{x^{2}-1-2x\ln x}{\left( x-1\right) ^{2}\ln x}\,\,\,(2)
που θέλουμε να ισχύει για όλα τα x>1
Θεωρούμε την συνάρτηση f ορισμένη στο (0,1) ώστε f\left( x\right) =\frac{x^{2}-1-2x\ln x}{\left( x-1\right) ^{2}\ln x} για x>0 x \neq 1 και f\left( 1\right) =\frac{1}{3}. Εύκολα βγαίνει ότι η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής. Επίσης \lim\limits_{x\rightarrow 1}f^{\prime }\left( x\right) =\allowbreak 0 που σημαίνει ότι η f είναι και παραγωγίσιμη και ενδέχεται στο 1 να παρουσιάζει ακρότατο. Πράγματι θα δείξουμε ότι στο 1 παρουσιάζει μέγιστο και συγκεκριμένα ότι
f(x)<\frac{1}{3} για x>0, x \neq 1.
Αρκεί να δείξουμε ότι η συνάρτηση g\left( x\right) =\frac{1}{3}-f\left( x\right) είναι θετική στα x>0, x \neq 1.
Είναι g\left( x\right) =\allowbreak \frac{1}{3}\frac{4x\ln x+\ln x+x^{2}\ln x-3x^{2}+3}{\left( x-1\right) ^{2}\ln x} για x>0, x \neq 1 και g\left( 1\right) =0.
Πράγματι μελετώντας την
h\left( x\right) =4x\ln x+\ln x+x^{2}\ln x-3x^{2}+3
βρίσκουμε ότι είναι θετική για x>1 και αρνητική για 0<x<1 και το συμπέρασμα για την g έπεται.
Οπότε πράγματι η μέγιστη τιμή είναι το \frac{1}{3}. Επομένως αφού για x>1 είναι πάντα \frac{x^{2}-1-2x\ln x}{\left( x-1\right) ^{2}\ln x}<\frac{1}{3} αν οι υπολογισμοί μου είναι σωστοί, συμπεραίνουμε ότι αρκεί να πάρουμε \lambda \geq \frac{1}{3}. Σημειωτέον ότι η τιμή  \frac{1}{3} μας δίνει την αισότητα ii).

Β) Για την iii) εργαζόμαστε ανάλογα αν οι πράξεις είναι πιο κοπιατικές. Θέλουμε \frac{1}{L}<\left( 1-\lambda \right) \frac{1}{G}+\lambda \frac{1}{A}. πάλι θέτοντας \beta =x^{2}\alpha βρίσκουμε ότι πρέπει
\lambda >\frac{\frac{2\ln x}{x^{2}-1}-\frac{2}{x^{2}+1}}{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}+1}}
'Οπως πριν βρίσκουμε ότι το \frac{2}{3} είναι ένα πιθανό μέγιστο της συνάρτησης
f\left( x\right) =\frac{\frac{2\ln x}{x^{2}-1}-\frac{2}{x^{2}+1}}{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}+1}} για x>0, x \neq 1 και f(1)=\frac{2}{3}.
Εδώ
\frac{2}{3}-f\left( x\right) =\allowbreak \frac{2}{3}\frac{x^{4}+x^{3}-x-1-3\left( \ln x\right) x^{3}-3x\ln x}{\left( x-1\right) ^{3}\left( x+1\right) }
και ύστερα από μελέτη του αριθμητή
g\left( x\right) =x^{4}+x^{3}-x-1-3\left( \ln x\right) x^{3}-3x\ln x
βρίσκουμε ότι είναι θετικός πάνω από το 1 και αρνητικός στο (0,1). Επομένως κάθε επιλογή \lambda \geq \frac{2}{3} μας δίνει μια ανισότητα σαν την iii). H iii) προκύπτει για \lambda =\frac{2}{3}.


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης