Δίκλαδη
Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου
Δίκλαδη
Έστω η συνεχής συνάρτηση , παραγωγίσιμη στο με για κάθε .
1) Να αποδειχθεί ότι
2) Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο .
3) Να αποδειχθεί ότι η είναι κοίλη στο
4) Nα λυθεί η εξίσωση
5) Να βρεθούν οι για τους οποίους ισχύει:
6) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα
1) Να αποδειχθεί ότι
2) Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο .
3) Να αποδειχθεί ότι η είναι κοίλη στο
4) Nα λυθεί η εξίσωση
5) Να βρεθούν οι για τους οποίους ισχύει:
6) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Δίκλαδη
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια για τα 4 πρώτα...erxmer έγραψε:Έστω η συνεχής συνάρτηση , παραγωγίσιμη στο με για κάθε .
1) Να αποδειχθεί ότι
2) Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο .
3) Να αποδειχθεί ότι η είναι κοίλη στο
4) Nα λυθεί η εξίσωση
5) Να βρεθούν οι για τους οποίους ισχύει:
6) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα
1) Είναι .
Για έχουμε από Πόρισμα συνεπειών ΘΜΤ.:
Επίσης ,
επειδή αφού η είναι συνεχής.
Άρα Επομένως
Συνεπώς
Ομοίως εργαζόμενοι συμπεραίνουμε .
Τώρα λόγω συνέχειας και χρησιμοποιώντας τον κανόνα de L' Hospital έχουμε :
Άρα
2)Ισχύει στο
όπου με
Από πινακάκι φαίνεται εύκολα
Άρα επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο
Επίσης επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο
Τώρα επειδή η είναι συνεχής στο συμπεραίνουμε ότι είναι και γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό.
3) Ισχύει ,
όπου με και
Για έχουμε άρα γνησίως αύξουσα στο , οπότε
για είναι
Άρα γνησίως φθίνουσα στο , οπότε για είναι
Επίσης για είναι
Άρα επομένως η κοίλη στο
Ομοίως για έχουμε άρα γνησίως φθίνουσα στο , οπότε για είναι
Άρα γνησίως φθίνουσα στο , οπότε για είναι
Επίσης για είναι
Άρα επομένως η κοίλη στο
Τελικά λόγω της συνέχειας η κοίλη στο
4) Η εξίσωση
Ισχύει αφού και
Επιπλέον αφού η είναι γνησίως αύξουσα έχουμε
Όμως
Επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη.
Θα επανέλθω αύριο με τα υπόλοιπα.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1595
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm
Re: Δίκλαδη
...μέχρι και το (4)...erxmer έγραψε:Έστω η συνεχής συνάρτηση , παραγωγίσιμη στο με για κάθε .
1) Να αποδειχθεί ότι
2) Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο .
3) Να αποδειχθεί ότι η είναι κοίλη στο
4) Nα λυθεί η εξίσωση
5) Να βρεθούν οι για τους οποίους ισχύει:
6) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα
1) Είναι για κάθε και ισοδύναμα
άρα
και επειδή η είναι συνεχής συνάρτηση θα ισχύει ότι
έτσι
και
επομένως
ή
ή
και επειδή θα είναι
2) Η είναι παραγωγίσιμη στο με
και επειδή σύμφωνα με γνωστή εφαρμογή ισχύει ότι με όπου το ισχύει ότι
άρα
για άρα δεν παρουσιάζει ακρότατο στο και επειδή είναι συνεχής θα στο
θα είναι γνήσια αύξουσα στο .
3) Η είναι παραγωγίσιμη με
Τώρα η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με
όπως είδαμε και παραπάνω επομένως η είναι γνήσια φθίνουσα στο
και για επομένως η επειδή
και για επομένως η επειδή
άρα
Τώρα εξετάζουμε την συνέχεια της στο . Και πρώτα αν παραγωγίσιμη στο με το
άρα παραγωγίσιμη στο και επειδή
η
είναι συνεχής στο και λόγω του η είναι γνήσια φθίνουσα στο
επομένως η είναι κοίλη στο
4) Η εξίσωση (1)
Είναι και επειδή λόγω μονοτονίας και συνέχειας το σύνολο τιμών της στο είναι
με
θα είναι επομένως η (1) είναι αδύνατη.
...τώρα
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασιλης
f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
-
- Δημοσιεύσεις: 360
- Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm
Re: Δίκλαδη
Καλησπέρα.erxmer έγραψε:
5) Να βρεθούν οι για τους οποίους ισχύει:
6) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα
Συνεχίζουμε την προσπάθεια για τα υπόλοιπα ερωτήματα...
5) Είναι:
Για το παραπάνω όριο είναι .
Επομένως είναι οπότε
Συνεπώς και
6)
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος
-
- Δημοσιεύσεις: 3601
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Δίκλαδη
Καλησπέρα Σταμάτη.
Τα είναι
στην λύση σου.
Δίνω μια λύση χωρίς DHL
Επειδή
και
θα είναι
Αρα
Αν
το παραπάνω όριο είναι
Αρα
Τα είναι
στην λύση σου.
Δίνω μια λύση χωρίς DHL
Επειδή
και
θα είναι
Αρα
Αν
το παραπάνω όριο είναι
Αρα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης