Ανισότητα ... με εφαρμογή

#1

Να αποδειχθεί, για κάθε ακέραιο $n\geq4$ και για $-2\leq x\leq0$ , η ανισότητα

$(-x)^{n+2}(x+2)^{n-1}<\displaystyle\frac{(n-1)^{n-1}}{n}.$

[Δεν μοιάζει με τυπικό θέμα Πανελλαδικών. Τοποθετείται εδώ επειδή βγαίνει με Λογισμό, αν και προτιμητέα θα ήταν μια πιο στοιχειώδης απόδειξη. Η προέλευση και η εφαρμογή της ανισότητας θα αποκαλυφθούν αργότερα.]

#2

gbaloglou έγραψε:Να αποδειχθεί, για κάθε ακέραιο $n\geq4$ και για $-2\leq x\leq0$ , η ανισότητα

$(-x)^{n+2}(x+2)^{n-1}<\displaystyle\frac{(n-1)^{n-1}}{n}.$

Θέτουμε για ευκολία (αν και δεν είναι απαραίτητο) x=y-1

, οπότε $-1\le y \le 1$ ή αλλιώς $|y|\le 1$ . Άρα

$(-x)^{n+2}(x+2)^{n-1}= (1-y)^{n+2} (1+y)^{n-1} = (1-y)^{3} (1-y)^{n-1} (1+y)^{n-1}$

$= (1-y)^{3} (1-y^2)^{n-1} \, (*)$

Πρώτα για $n\ge 5$ .

Το δεξί μέλος είναι

$\le (1-y)^{3} \cdot 1 \le 8 = \dfrac {8\cdot n}{n} < \dfrac {4^3 (n-1)}{n}\le \dfrac {(n-1)^3 (n-1)}{n}$

$= \dfrac {(n-1)^4}{n} \le \dfrac {(n-1)^{n-1}}{n}$ , όπως θέλαμε.

Τώρα για n=4

.

Το δεξί μέλος της (*)

είναι

$= (1-y)^{3} (1-y^2)^{3} = \left [(1-y)(1-y^2)\right ]^{3}$

το οποίο θέλουμε να δείξουμε ότι είναι $< \frac {(n-1)^{n-1}}{n}= \frac {27}{4}$

Ισοδύναμα θέλουμε $(1-y)(1-y^2) \le \frac {3}{\sqrt [3] 4 } \approx 1,89$

που ισχύει με περίσσευμα (παραγωγίζοντας ή αλλιώς βλέπουμε ότι το αριστερό μέλος έχει μέγιστο στο y=-1/3

και η τιμή του είναι $32/27 \approx 1,185$ )

#3

Μιχάλη σ' ευχαριστώ για την γρήγορη και αποτελεσματική παρέμβαση, που μας επιτρέπει να γιορτάσουμε τα αποψινά όγδοα γενέθλια του

με ιδιαίτερο τρόπο ... εδώ

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε:Ισοδύναμα θέλουμε $(1-y)(1-y^2) \le \frac {3}{\sqrt [3] 4 } \approx 1,89$

που ισχύει με περίσσευμα (παραγωγίζοντας ή αλλιώς βλέπουμε ότι το αριστερό μέλος έχει μέγιστο στο και η τιμή του είναι $32/27 \approx 1,185$ )

Εναλλακτική προσέγγιση (χωρίς παραγώγιση), για $-1\leq y\leq 1$ πάντοτε:

$(1-y)(1-y^2)\leq \displaystyle\left[\frac{(1-y)+(1-y^2)}{2}\right]^2=\frac{(y^2+y-2)^2}{4}=\frac{\left[\left(y+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right]^2}{4}\leq$

$\leq \displaystyle\frac{\left(-\frac{9}{4}\right)^2}{4}=\frac{81}{64}$

[Το παραπάνω άνω φράγμα δεν είναι βέλτιστο, όπως προκύπτει και από την προσέγγιση του Μιχάλη, αλλά επαρκεί για τις ανάγκες του προβλήματος. (Μιχάλη μπορούμε όντως να συμπεράνουμε χωρίς παραγώγιση ότι η (1-y)(1-y^2)

μεγιστοποιείται στο [-1,1]

για $y=-\displaystyle\frac{1}{3}$ ;)]

#5

gbaloglou έγραψε:Μιχάλη μπορούμε όντως να συμπεράνουμε χωρίς παραγώγιση ότι η μεγιστοποιείται στο για $y=-\displaystyle\frac{1}{3}$ ;]

Γιώργο, μπορούμε.

Θέλουμε να δείξουμε $(1-y)(1-y^2) \le \frac {32}{27}$ στο [-1,1]

. Ισοδύναμα $(3y-5)(1+3y)^2\le 0$ , που δίνει το ζητούμενο και μάλιστα στο $(-\infty, \, 5/3)$ .

#6

Ας το δούμε και με παραγώγιση:

Θέλουμε να αποδείξουμε τις ανισότητες, για άρτιο $n\geq 4$ και για περιττό $n\geq 5$ αντίστοιχα, $x^{n+2}(x+2)^{n-1}<\displaystyle\frac{(n-1)^{n-1}}{n}$ και $x^{n+2}(x+2)^{n-1}>-\displaystyle\frac{(n-1)^{n-1}}{n}$ , όπου $-2\leq x\leq 0$ . Στην πρώτη περίπτωση αρκεί να αποδείξουμε, με δεδομένο τον μηδενισμό της $x^{n+2}(x+2)^{n-1}$ στα άκρα του [-2,0]

, ότι το μέγιστο της, σε σημείο μηδενισμού της παραγώγου, είναι μικρότερο του $\displaystyle\frac{(n-1)^{n-1}}{n}$ . Αναλόγως στην δεύτερη περίπτωση αρκεί να αποδείξουμε ότι το ελάχιστο της $x^{n+2}(x+2)^{n-1}$ , σε σημείο μηδενισμού της παραγώγου, είναι μεγαλύτερο του $-\displaystyle\frac{(n-1)^{n-1}}{n}$ .

Από την $[x^{n+2}(x+2)^{n-1}]'=x^{n+1}(x+2)^{n-2}[(2n+1)x+2(n+2)]$ προκύπτει ένα και μοναδικό σημείο μηδενισμού της παραγώγου, για $x=-\displaystyle\frac{2(n+2)}{2n+1}$ . Παρατηρούμε επίσης ότι τα δύο ζητούμενα της προηγούμενης παραγράφου συμπτύσσονται σε ένα, συγκεκριμένα στην ανισότητα, για $n\geq 4$ ,

$\displaystyle\frac{2^{n+2}(n+2)^{n+2}}{(2n+1)^{n+2}}\cdot\frac{(2n-2)^{n-1}}{(2n+1)^{n-1}}<\frac{(n-1)^{n-1}}{n}.$

Ύστερα από απλοποιήσεις και χρήση της $\displaystyle\frac{2}{2n+1}<\frac{1}{n}$ παρατηρούμε ότι αρκεί να ισχύει, για $n\geq 4$ , η ανισότητα

$(n+2)^{n+2}<n^{2n}\leftrightarrow\displaystyle\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n+2}<n^{n-2}.$

Η ανισότητα αυτή ισχύει για n=4

(ισοδύναμη προς την $3^6<2^{10}$ ). Για $n\geq 5$ προκύπτει άμεσα από τις $\displaystyle\left(1+\frac{2}{n}\right)^n<e^2<8$ , $\displaystyle\left(1+\frac{2}{n}\right)^2\leq \frac{49}{25}<2$ για $n\geq 5$ , και $16<n^{n-2}$ για $n\geq 5$ .

#7

Mihalis_Lambrou έγραψε:
gbaloglou έγραψε:Μιχάλη μπορούμε όντως να συμπεράνουμε χωρίς παραγώγιση ότι η μεγιστοποιείται στο για $y=-\displaystyle\frac{1}{3}$ ;]
Γιώργο, μπορούμε.

Θέλουμε να δείξουμε $(1-y)(1-y^2) \le \frac {32}{27}$ στο . Ισοδύναμα $(3y-5)(1+3y)^2\le 0$ , που δίνει το ζητούμενο και μάλιστα στο $(-\infty, \, 5/3)$ .

Και αν ... δεν γνωρίζουμε εκ των προτέρων ότι η (1-y)(1-y^2)

έχει τοπικό μέγιστο στο $-\displaystyle\frac{1}{3}$ ... πάλι μπορούμε:

Αναζητούμε

τέτοιο ώστε η f(y)-f(s)

να διαιρείται δια του (y-s)^2

... διαιρούμε δηλαδή το y^3-y^2-y+s+s^2-s^3

δια του

παίρνοντας πηλίκο q(y)=y+2s-1

και υπόλοιπο r(y)=(3s^2-2s-1)y-s(3s^2-2s-1)

... οπότε ο μηδενισμός του υπολοίπου* δίνει s=1

(τοπικό ελάχιστο*) και $s=-\displaystyle\frac{1}{3}$ (τοπικό μέγιστο*).

*Αν για το πολυώνυμο

ισχύει η

, και ισχύει επίσης η q(s)>0

ή η

, τότε το

είναι τοπικό ελάχιστο ή τοπικό μέγιστο του πολυωνύμου, αντίστοιχα. (Στην περίπτωση μας q(s)=3s-1

,

, $q(-\displaystyle\frac{1}{3})=-2$ . Η απόδειξη του λήμματος είναι απλή αλλά απαιτεί εξοικείωση με την έννοια της συνέχειας ... που συνήθως διδάσκεται πριν από τα τοπικά ακρότατα, εδώ που τα λέμε

)

#8

gbaloglou έγραψε: Και αν ... δεν γνωρίζουμε εκ των προτέρων ότι η έχει τοπικό μέγιστο στο $-\displaystyle\frac{1}{3}$ ... πάλι μπορούμε:

Και με απλή εφαρμογή της ΑΜ-ΓΜ:

$\displaystyle{(1-y)+(1-y)+2(1+y)\geq 3\sqrt[3]{2(1-y)^2(1+y)}\implies (1-y)(1-y^2)\leq \frac{32}{27}}$

με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle{1-y=2(1+y)\iff y=-\frac{1}{3}.}$

Ανισότητα ... με εφαρμογή

Ανισότητα ... με εφαρμογή

Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή

Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή

Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή

Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή

Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή

Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή

Re: Ανισότητα ... με εφαρμογή

Μέλη σε σύνδεση