ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Δυσκολότερα θέματα τα οποία όμως άπτονται της σχολικής ύλης και χρησιμοποιούν αποκλειστικά θεωρήματα που βρίσκονται μέσα σε αυτή. Σε διαφορετική περίπτωση η σύνταξη του μηνύματος θα πρέπει να γίνει στο υποφόρουμ "Ο ΦΑΚΕΛΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ"

Συντονιστής: Μπάμπης Στεργίου

KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1548
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τρί Απρ 19, 2016 1:15 am

...Καλησπερίζω την παρέα με μιά αποψινή δημιουργία.... μάλλον απαιτητική

Έστω συνάρτηση f:\,(0,\,\,+\infty )\to R για την οποία γνωρίζουμε ότι:

• είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (0,\,\,+\infty ) και ισχύει {f}'(x)\ge \ln x

• παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο {{x}_{0}}=1

• και {{e}^{{f}'(x)}}+{f}''(x)\le x+\frac{1}{x}

α) Να δείξετε ότι {f}'(e)=1

β) Να δείξετε ότι f(x)+e\ge x+f(e),\,\,\,x\in [1,\,+\infty)

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
τελευταία επεξεργασία από KAKABASBASILEIOS σε Κυρ Οκτ 02, 2016 2:04 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6275
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τρί Απρ 19, 2016 2:36 am

Η συνάρτηση

\displaystyle{g:[1,+\infty)\to \mathbb{R},~g(x)=f'(x)-\ln x}

\displaystyle{\bullet} έχει ρίζα το \displaystyle{1}

\displaystyle{\bullet} είναι μη αρνητική

\displaystyle{\bullet} είναι φθίνουσα.

Από τα παραπάνω, τα πρώτα δύο είναι προφανή. Για το τρίτο, παρατηρούμε ότι

\displaystyle{x+\frac{1}{x}\geq f''(x)+e^{f'(x)}\geq f''(x)+e^{\ln x}=f''(x)+x\implies f''(x)\leq \frac{1}{x}\leq 0\implies g'(x)\leq 0~\forall x>1.}

Επομένως ισχύει

\displaystyle{g(x)=0~\forall x\geq 1,}

άρα

\displaystyle{f'(x)=\ln x~\forall x\geq 1} και ειδικότερα είναι \displaystyle{f'(e)=1.}

Επίσης, η συνάρτηση \displaystyle{h(x)=f(x)-x,~x\geq 1} έχει παράγωγο \displaystyle{h'(x)=\ln x-1} και είναι προφανές ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο \displaystyle{e}.

Άρα \displaystyle{h(x)\geq h(e)~\forall x\geq 1,} οπότε προκύπτει η ζητούμενη ανισότητα.


Μάγκος Θάνος
Rempeskes
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 08, 2015 10:40 pm

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Rempeskes » Τρί Απρ 19, 2016 2:45 am

Μια αντιμετώπιση εν τάχει για να πάμε για :sleeping: .

1)

Αρχικά, ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του Θεωρήματος του Fermat και το 1 εσωτερικό άρα f'(1)=0

Επίσης για x=e από δοθείσα σχέση έχω ότι f'(e) \geq 1, (1)

Θεωρώ συνάρτηση h(x)=f(x)-xlnx+x, x>0
Έχουμε διαδοχικά ότι,

h'(x)=f'(x)-lnx \geq 0

h''(x)=f''(x)- \frac{1}{x} \leq  0

Συνεπώς,

e>1 \Rightarrow h'(e)\leq h'(1)\Rightarrow f'(e)-1\leq f'(1) \Rightarrow f'(e)\leq 1, (2)

Από (1),(2) προκύπτει το ζητούμενο.

2)

x\geq 1\Rightarrow h'(x)\leq h'(1) \Rightarrow f'(x)\leq lnx

Όμως για κάθε x>0 έχω ότι f'(x)\geq lnx οπότε \boxed{f'(x)=lnx},\forall x \geq 1

f''(x)=\frac{1}{x}>0, για κάθε x>1 άρα η f κυρτή στο [1,+\infty)

Για x=e ισχύει η ισότητα.

Για x>e εφαρμόζω το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την f στο \left[e,x \right] και παίρνω ότι,

\exists \xi \in (e,x):f'(\xi)=\frac{f(x)-f(e)}{x-e}

\xi>e \Rightarrow f'(\xi)>f'(e)\Rightarrow f(x)-f(e)>x-e \Rightarrow f(x)+e>f(e)+e

Ομοίως και για x<e.


alexandrosvets
Δημοσιεύσεις: 153
Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 24, 2014 1:16 pm
Τοποθεσία: Νέα Αγχίαλος,Βόλος

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από alexandrosvets » Τρί Απρ 19, 2016 4:27 pm

Το β) βγαινει και απο την κυρτότητα της f και την εφαπτόμενη στο (e,f(e))..


Ο ουρανός είναι ο καμβάς
Τα σύννεφα είναι τα σχέδια
Και ο ήλιος είναι ο ζωγράφος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης