Με πολυώνυμο

M.S.Vovos · #1

Έστω το πολυώνυμο $\mathrm{P}$ με πραγματικούς συντελεστές και το πολυώνυμο $\mathrm{Q(x)=4x^{3}+6x^{2}+6x+2}$ . Αν για κάθε $\mathrm{x\in \mathbb{R}}$ ισχύει $\displaystyle{\mathrm{P(x)P'(x)P''(x)=Q(x)}}$ τότε:

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle \mathrm{P(x)=x^{2}+x+1 }$ , $\mathrm{x\in \mathbb{R}}$ .

Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν τρία, διαφορετικά μεταξύ τους, σημεία της γραφικής παράστασης του $\mathrm{P}$ που να είναι συνευθειακά.

Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου, που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των $\mathrm{P}$ και $\mathrm{Q}$ και την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης του $\mathrm{P}$ στο σημείο με τετμημένη $\mathrm{-1}$ .

Φιλικά,
Μάριος

Υ.Γ. Στο τελευταίο ερώτημα μου φαίνεται ότι βγαίνουν εκτρωματικά νούμερα. (;)

#2

Βλέπουμε οτι $\displaystyle{deg(P)=2}$ άρα $\displaystyle{P(x)=ax^2+bx+c}$ τότε $\displaystyle{(ax^2+bx+c)(2ax+b)(2a)=4x^3+6x^2+6x+2}$
Απο μεγιστοβαθμιους $\displaystyle{a=1}$ , $\displaystyle{P(0)=2bc=2}$ , $\displaystyle{P(-1)=2(1-b+c)(b-2)=-2}$ και $\displaystyle{P(1)=2(1+b+c)(b+2)=18}$ Βρισκουμε τα $\displaystyle{b=c=1}$ άρα $\displaystyle{p(x)=x^2+x+1}$

To ερωτημα 2 εχει απαντηθεί στην εργασία μου ΓΕΩΜΕΡΙΚΕΣ ΣΥΝΘΚΕΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑΣ στον εκθετη του Ν Μαυρογιαννη
Ωστόσο Αν $\displaystyle{A,B,C}$ συνευθειακά σημεια της $\displaystyle{C_f}$ θα πρεπει $\displaystyle{l_{AB}=l_{BC}}$ ή $\displaystyle{\frac{P(b)-P(a)}{b-a}=\frac{P(c)-P(b)}{c-b}}$ ή $\displaystyle{P'(u)=P'(v)}$ ή από Rolle $\displaystyle{P''(w)=0}$ που ειναι άτοπο

η εφαπτομενη της $\displaystyle{P}$ στο $\displaystyle{-1}$ είναι η $\displaystyle{y=-x}$ και η τετμημενη της εφαπτομένης και του Q που είναι μάλλον απαραίτητη για τον υπολογισμο του εμβαδού χρειάζεται τους τύπους του CARDANO οπότε είναι εκτός φακέλλου

Christos.N · #3

Το δεύτερο ερώτημα μπορεί να εξασφαλιστεί και ως προς την οπτική γωνία της σχετική θέσης ευθείας και παραβολής./

Δηλαδή η εξίσωση $\displaystyle P\left( x \right) = y,\left( {y = ax + b,a \in R} \right)$ είναι γνωστό ότι έχει το πολύ δύο λύσεις, ενώ το $\displaystyle {y = P\left( x \right),x = {x_0},a \notin R}$ έχει μοναδική.

Πάντως Μάριε θα σε συγχαρώ για αυτήν σου την προσπάθεια που είναι πρωτότυπη και προσγειωμένη ως ένα σημείο όμως, γιατί στο τρίτο ερώτημα ζητάς πράγματα που ξεφεύγουν απο τον φάκελο και δεν είναι η πρώτη φορά που το κάνεις αυτό. Θα σου πρότεινα όταν δημιουργείς θέματα ανάλογου αυξημένου υπολογιστικού βάθους να τα βάζεις στον φάκελο του καθηγητή. Είτε να μπαίνεις στην διαδικασία μετά απο εύλογο χρονικό διάστημα να δίνεις μόνος σου τις απαντήσεις.

M.S.Vovos · #4

Χρήστο καλησπέρα. Έτσι είναι, το ανέφερα όμως ότι δεν πάει κάτι καλά με τα νούμερα. Να είμαστε όλοι καλά και μαζεύω μια συλλογούλα με ασκήσεις με τις λύσεις τους σε Latex. Το δώρο μου προς το

για την φιλοξενία.

Με πολυώνυμο

Με πολυώνυμο

Re: Με πολυώνυμο

Re: Με πολυώνυμο

Re: Με πολυώνυμο

Μέλη σε σύνδεση