Ouchs

erxmer · #1

Δίνεται συνάρτηση $f: R \to R$ δις παραγωγίσιμη ώστε $\displaystyle{f''(x)+f'(x)=\frac{1}{e^x}}$ , και ο οριζόντιος άξονας εφάπτεται της C_f

στην αρχή των αξόνων.

1) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης και το σύνολο τιμών της

2) Nα λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{\frac{1+x^2}{3}>\frac{e^{x^2}}{e^2}, x \in R}$

3) Να βρεθεί η οριζόντια ασύμπτωτη της C_f

στο $+\infty$

4) Να υπολογιστεί το $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left ( F(x+2017)-F(x+1) \right )}$

5) Να αποδειχθεί οτι η εξίσωση $\displaystyle{\frac{x+1}{e^x}=\frac{a+1}{e^a},a >0}$ έχει δυο λύσεις ετερόσημες

6) $\displaystyle{\int_{0}^{2021}\left ( f(x) \right )^3dx>2017}$ , $\displaystyle{\int_{e^{-1}}^{e}x^2f(lnx)dx>1}$

Ratio · #2

(1),(2),(3),(4)
(1)

Δεδομένου ότι ο οριζόντιος άξονας εφάπτεται της $C_{f}$
στην αρχή των αξόνων θα έχουμε
f(0)=0

και

$f''(x)+f'(x)=e^{-x}\Leftrightarrow [f'(x)+f(x)]'=(-e^{-x})'\Leftrightarrow \\\\ f'(x)+f(x)=-e^{-x}+c_{1}$

Για x=0

προκύπτει $f'(0)+f(0)=-1+c_{1} \Leftrightarrow c_{1}=1 \Leftrightarrow \\\\ f(x)+f'(x)=-e^{-x}+1$

Πολλαπλασιάζοντας με e^x

έχουμε :

$e^xf'(x)+e^xf(x)=-1+e^x \Leftrightarrow \left ( e^xf(x) \right )'=\left ( e^x-x \right )'\\\\\Leftrightarrow e^xf(x)=e^x-x+c_{2}$

Για x=0

προκύπτει $c_{2}=-1$ επομένως $f(x)=1-\frac{x+1}{e^x}$

με πεδίο ορισμού $D_{f}=(-\infty,+\infty)$

και πεδίο τιμών

$\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\left ( 1-\frac{x+1}{e^x} \right )=1-\lim_{x\to -\infty}(x+1)e^{-x}=+\infty$

εφόσον $\lim_{x\to -\infty}e^{-x}=\lim_{-x\to +\infty}e^{-x}=+\infty$

και
$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\left ( 1-\frac{x+1}{e^x} \right )=1-\lim_{x\to +\infty}\frac{x+1}{e^x}=1 εφόσον$ $\lim_{x\to +\infty}\frac{x+1}{e^x}=\left ( \frac{+\infty}{+\infty} \right )$ DLH=

$\lim_{x\to +\infty}\frac{(x+1)')}{(e^x)'}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{e^x}=0$

$f'(x)=(1-\frac{x+1}{e^x})'=-\frac{e^x-e^x(x+1)}{e^{2x}}}=\frac{x}{e^x}$

με f'(0)=0

$f'(x)\leq 0 \Leftrightarrow x\leq 0 \Leftrightarrow f(x)\downarrow x\in(-\infty,0]\\\\$
$f'(x)\geq 0 \Leftrightarrow x\geq 0 \Leftrightarrow f(x)\uparrow x\in([0,+\infty)$

επομένως το $f(D{_f})=[0,+\infty)$

2. Δίνεται η εξίσωση :

$\frac{1+x^2}{3}>\frac{e^{x^2}}{e^2}\Leftrightarrow \frac{1+x^2}{e^{x^2}}>\frac{3}{e^2}\\\\\Leftrightarrow -\frac{1+x^2}{e^{x^2}}<-\frac{3}{e^2}\rightarrow 1-\frac{1+x^2}{e^{x^2}}<1- \frac{3}{e^2}\Leftrightarrow f(x^2)<f(2)\Leftrightarrow f\uparrow x\in [0,+\infty)\Leftrightarrow x^2<2\Leftrightarrow \left | x \right |<\sqrt{2}\\\\\Leftrightarrow -\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$

3. Η οριζόντια ασύμπτωτη έχει υπολογισθεί στο (1) , για την εύρεση του πεδίου τιμών και είναι η y=1

4. Η

είναι γνησίως αύξουσα για $x\geq0$ με $\lim_{x\to+\infty}f(x)=1$
Θεωρούμε διάστημα [x+1,x+2017]

και $x_{0} \in (x+1,x+2017)$
Θα ισχύει
$f(x+1)<f(x_{0})<f(x+2017)\Leftrightarrow$
και από τη χρήση Θεωρήματος Μέσης Τιμής

$f(x+1)<\frac{F(x+2017)-F(x+1)}{2016}< f(x+2017)\Leftrightarrow\\\\ 2016f(x+1)<F(x+2017)-F(x+1)<f(x+2017)$
όπου F(x)

μια παράγουσα της f(x)

όπου $x\to +\infty \Leftrightarrow x+1\to +\infty\Leftrightarrow \lim_{x\to +\infty}f(x+1)=1\\\\x\to +\infty \Leftrightarrow x+2017\to +\infty\Leftrightarrow \lim_{x\to +\infty}f(x+2017)=1\\\\ 2016<\lim_{x\to +\infty}[F(x+2017)-F(x+1)]<2016\Leftrightarrow\\ \lim_{x\to +\infty}[F(x+2017)-F(x+1)]=2016$

Eukleidis · #3

Η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left( { - \infty ,0} \right]}$ και γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\left( {0, + \infty } \right]}$ ενώ στα διαστήματα αυτά το σύνολο τιμών είναι $\displaystyle{\left[ {0, + \infty } \right)}$ και $\displaystyle{\left[ {0,1} \right)}$
Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα ως $\displaystyle{f\left( x \right) = f\left( a \right)}$

Επειδή το $\displaystyle{a > 0}$ , θα είναι $\displaystyle{f\left( a \right) > 0}$ .Το $\displaystyle{f\left( a \right)}$ ανήκει και στα δύο διαστήματα του συνόλου τιμών και συνεπώς υπάρχουν λύσεις της $\displaystyle{f\left( x \right) = f\left( a \right)}$ , μια θετική και μια αρνητική, οι οποίες λογω μονοτονίας είναι μοναδικές.

Θα ήθελα να δω μια λύση για τα ολοκληρώματα, καθώς δεν μπορώ ούτε να φράξω τις συναρτήσεις.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

erxmer έγραψε:Δίνεται συνάρτηση $f: R \to R$ δις παραγωγίσιμη ώστε $\displaystyle{f''(x)+f'(x)=\frac{1}{e^x}}$ , και ο οριζόντιος άξονας εφάπτεται της στην αρχή των αξόνων.

1) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης και το σύνολο τιμών της

2) Nα λυθεί η ανίσωση $\displaystyle{\frac{1+x^2}{3}>\frac{e^{x^2}}{e^2}, x \in R}$

3) Να βρεθεί η οριζόντια ασύμπτωτη της στο $+\infty$

4) Να υπολογιστεί το $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\left ( F(x+2017)-F(x+1) \right )}$

5) Να αποδειχθεί οτι η εξίσωση $\displaystyle{\frac{x+1}{e^x}=\frac{a+1}{e^a},a >0}$ έχει δυο λύσεις ετερόσημες

6) $\displaystyle{\int_{0}^{2021}\left ( f(x) \right )^3dx>2017}$ , $\displaystyle{\int_{e^{-1}}^{e}x^2f(lnx)dx>1}$

Θα παρακαλούσα τον χρήστη erxmer να παραθέσει τις λύσεις του 6)

erxmer · #5

Η λύση που έχω είναι με απευθείας υπολογισμό τους.Ειδικά η πρωτη έχει παρα πολλές πράξεις αλλά ισχύει.Για την δεύτερη με αλλαγή μεταβλητής u=lnx

είναι κάπως πιο εύκολά τα πράγματα.

M.S.Vovos · #6

erxmer έγραψε:Η λύση που έχω είναι με απευθείας υπολογισμό τους.Ειδικά η πρωτη έχει παρα πολλές πράξεις αλλά ισχύει.Για την δεύτερη με αλλαγή μεταβλητής είναι κάπως πιο εύκολά τα πράγματα.

Tι είναι αυτό το τέρας που βγάζει το wolfram; Είναι δυνατόν να περιμένουμε από τον οποιοδήποτε να μπει στη διαδικασία επίλυσης τέτοιων πράξεων;

Θα ήθελα να παρακαλέσω να ανεβάζουμε ασκήσεις που να είναι κοντά στην πραγματικότητα. Ποιο το νόημα αυτού του ερωτήματος, γενικότερα;

Oι πανελλαδικές πλησιάζουν καλό είναι να κρατάμε ήρεμο προφίλ.

Φιλικά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

erxmer έγραψε:Η λύση που έχω είναι με απευθείας υπολογισμό τους.Ειδικά η πρωτη έχει παρα πολλές πράξεις αλλά ισχύει.

Το ξέρω αφού τα έχω υπολογίσει.

Το δεύτερο και πιο εύκολο ισούται με

$\dfrac{e^{3}-e^{-3}}{3}-0,75e^{2}+\dfrac{e^{2}}{4}\simeq 1,16$

πως θα το βγάλει ένας μαθητής μεγαλύτερο του

χωρίς κομπιουτεράκι;

Ouchs

Ouchs

Re: Ouchs

Re: Ouchs

Re: Ouchs

Re: Ouchs

Re: Ouchs

Re: Ouchs

Μέλη σε σύνδεση