ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

#1

...Καλησπερίζω την παρέα με μιά αποψινή δημιουργία.... μάλλον απαιτητική

Έστω συνάρτηση $f:\,(0,\,\,+\infty )\to R$ για την οποία γνωρίζουμε ότι:

• είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $(0,\,\,+\infty )$ και ισχύει ${f}'(x)\ge \ln x$

• παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο ${{x}_{0}}=1$

• και ${{e}^{{f}'(x)}}+{f}''(x)\le x+\frac{1}{x}$

α) Να δείξετε ότι {f}'(e)=1

β) Να δείξετε ότι $f(x)+e\ge x+f(e),\,\,\,x\in [1,\,+\infty)$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#2

Η συνάρτηση

$\displaystyle{g:[1,+\infty)\to \mathbb{R},~g(x)=f'(x)-\ln x}$

$\displaystyle{\bullet}$ έχει ρίζα το $\displaystyle{1}$

$\displaystyle{\bullet}$ είναι μη αρνητική

$\displaystyle{\bullet}$ είναι φθίνουσα.

Από τα παραπάνω, τα πρώτα δύο είναι προφανή. Για το τρίτο, παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{x+\frac{1}{x}\geq f''(x)+e^{f'(x)}\geq f''(x)+e^{\ln x}=f''(x)+x\implies f''(x)\leq \frac{1}{x}\leq 0\implies g'(x)\leq 0~\forall x>1.}$

Επομένως ισχύει

$\displaystyle{g(x)=0~\forall x\geq 1,}$

άρα

$\displaystyle{f'(x)=\ln x~\forall x\geq 1}$ και ειδικότερα είναι $\displaystyle{f'(e)=1.}$

Επίσης, η συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=f(x)-x,~x\geq 1}$ έχει παράγωγο $\displaystyle{h'(x)=\ln x-1}$ και είναι προφανές ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο $\displaystyle{e}$ .

Άρα $\displaystyle{h(x)\geq h(e)~\forall x\geq 1,}$ οπότε προκύπτει η ζητούμενη ανισότητα.

Rempeskes · #3

Μια αντιμετώπιση εν τάχει για να πάμε για

.

1)

Αρχικά, ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του Θεωρήματος του Fermat και το

εσωτερικό άρα f'(1)=0

Επίσης για x=e

από δοθείσα σχέση έχω ότι $f'(e) \geq 1, (1)$

Θεωρώ συνάρτηση h(x)=f(x)-xlnx+x, x>0

Έχουμε διαδοχικά ότι,

$h'(x)=f'(x)-lnx \geq 0$

$h''(x)=f''(x)- \frac{1}{x} \leq 0$

Συνεπώς,

$e>1 \Rightarrow h'(e)\leq h'(1)\Rightarrow f'(e)-1\leq f'(1) \Rightarrow f'(e)\leq 1, (2)$

Από (1),(2)

προκύπτει το ζητούμενο.

2)

$x\geq 1\Rightarrow h'(x)\leq h'(1) \Rightarrow f'(x)\leq lnx$

Όμως για κάθε x>0

έχω ότι $f'(x)\geq lnx$ οπότε $\boxed{f'(x)=lnx},\forall x \geq 1$

$f''(x)=\frac{1}{x}>0$ , για κάθε x>1

άρα η

κυρτή στο $[1,+\infty)$

Για x=e

ισχύει η ισότητα.

Για x>e

εφαρμόζω το Θεώρημα Μέσης Τιμής για την

στο $\left[e,x \right]$ και παίρνω ότι,

$\exists \xi \in (e,x):f'(\xi)=\frac{f(x)-f(e)}{x-e}$

$\xi>e \Rightarrow f'(\xi)>f'(e)\Rightarrow f(x)-f(e)>x-e \Rightarrow f(x)+e>f(e)+e$

Ομοίως και για x<e

.

alexandrosvets · #4

Το β) βγαινει και απο την κυρτότητα της

και την εφαπτόμενη στο (e,f(e))

..

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Re: ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ

Μέλη σε σύνδεση