Ψάχνοντας τη συνάρτηση

Giorgos S · #1

Να εξετάσετε αν υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(0,+\infty) \rightarrow (0,+\infty)$ , τέτοια ώστε:

xlnx+f(x)lnf(x)=0 , x>0

.

ksofsa · #2

Με μελέτη της συνάρτησης g(x)=xlnx

, βρίσκω ότι είναι γνησίως φθίνουσα άρα 1-1 στο $(0,\frac{1}{e}]$ και γνησίως αύξουσα ,άρα 1-1 στο $[\frac{1}{e},\propto )$ .
Εστω $x_{1},x_{2}\epsilon (o,\frac{1}{e}] \mu \varepsilon f(x_{1})=f(x_{2}).$ . Τότε $f(x_{1})lnf(x_{1})=f(x_{2})lnf(x_{2})\Leftrightarrow x_{1}lnx_{1}=x_{2}lnx_{2}\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}$ .Αρα η

1-1 στο $(0,\frac{1}{e}]$ κι επειδή είναι συνεχής είναι γνησίως μονότονη σε αυτό το διάστημα.Ομοια η

γνησίως μονότονη στο $[\frac{1}{e},\propto )$ .

Παραγωγίζουμε τη δεδομένη σχέση και παίρνουμε f'(x)(lnf(x)+1)=-(lnx+1)

.Αρα γισ $x\neq \frac{1}{e}$ είναι $f'(x)=-\frac{lnx+1}{lnf(x)+1}.$

Διακρίνω περιπτώσεις :
1)

γνησίως φθίνουσα στο $(0,\frac{1}{e}]$ και γνησίως αύξουσα στο $[\frac{1}{e},\propto )$ .Τότε για $x\epsilon (0,\frac{1}{e})$ , είναι $f'(x)\leq 0\Rightarrow x<\frac{1}{e},f(x)<\frac{1}{e}\Rightarrow xlnx+f(x)lnf(x)<0$ ,άτοπο.
2)

γνησίως αύξουσα στο $(0,\frac{1}{e}]$ και γνησίως φθίνουσα στο $[\frac{1}{e},\propto )$ .Τότε για $x\epsilon (\frac{1}{e},\propto )$ είναι $f'(x)\leq 0\Rightarrow x>\frac{1}{e},f(x)>\frac{1}{e}.O\pi o\tau \varepsilon elne+f(e)lnf(e)>e+\frac{1}{e}ln\frac{1}{e}=e-\frac{1}{e}>0,\alpha \tau o\pi o$
3)

γνησίως φθίνουσα.Τότε για $x\epsilon (0,\frac{1}{e})$ , είναι $f'(x)\leq 0\Rightarrow x<\frac{1}{e},f(x)<\frac{1}{e}\Rightarrow xlnx+f(x)lnf(x)<0$ ,άτοπο.
4)

γνησίως αύξουσα .Τότε για $x_{1}<\frac{1}{e}$ είναι $f'(x_{1})\geq 0\Rightarrow f(x_{1})>\frac{1}{e}.$ και για $x_{2}>\frac{1}{e},\epsilon \iota \nu \alpha \iota f'(x_{2})\geq 0\Rightarrow f(x_{2})<\frac{1}{e}$ .Οπότε για $x_{1}<x_{2} \epsilon \iota \nu \alpha \iota f(x_{1})>f(x_{2}),\alpha \tau o\pi o.$

Οπότε σε κάθε περίπτωση έχουμε άτοπο.Αρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Χάνω πουθενά;

Giorgos S · #3

Μια άλλη σκέψη (νομίζω σωστή)...

Επειδή $f(A)=(0,+\infty)$ υπάρχει x_0>0

, τέτοιο ώστε: $\displaystyle f(x_0)=\frac{1}{e}$ .

Βάζουμε τώρα στην αρχική σχέση όπου

το

, οπότε έχουμε: $\displaystyle x_0lnx_0=\frac{1}{e}$ . Με Bolzano εύκολα δείχνουμε ότι $x_0 \in (1,2)$ .

Παραγωγίζοντας προκύπτει ότι: f'(x)(lnf(x)+1)=-(lnx+1) , x>0

. Παρατηρούμε ότι για x=x_0

προκύπτει ότι: $f'(x_0) \cdot 0=-(lnx_0+1) < 0$ , άτοπο.

Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Edit: Όπως μου επισήμαναν σωστά οι φίλοι chris_gatos kai ksofsa υπάρχει λάθος στη λύση μου, καθώς θεώρησα εσφαλμένα το σύνολο αφίξεως σύνολο τιμών

Ψάχνοντας τη συνάρτηση

Ψάχνοντας τη συνάρτηση

Re: Ψάχνοντας τη συνάρτηση

Re: Ψάχνοντας τη συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση