Ανισότητα στο όριο

MANOLISMATHS · #1

Το βρήκα στις σημειώσεις και δεν ξέρω αν είναι σχολικού ή πανεπιστημιακό διαφορικού λογισμού.
Για κάποιο λόγο νομίζω ότι το είχα πετύχει κάπου εδώ στο

, αν είναι άλλου επιπέδου ας μετακινηθεί.

Σε κάθε περίπτωση: Δίνεται συνάρτηση παραγωγίσιμη $f:[1,+\infty)\to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει ότι
$(x^2+f^2(x))f^{\prime}(x)=1 \ \ \forall x\in [1,+\infty)$

Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)<2$

Μπορεί κανείς εύκολα να δει την μονοτονία και την κυρτότητα της συνάρτησης αλλά ως προς την ζητούμενη ανισότητα το μόνο που κατάφερα είναι να βγάλω ότι ισχύει $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)\leq f(1)+1$

Αν θέλατε να δώσετε μια υπόδειξη.
Ευχαριστώ πολύ

#2

Δείτε viewtopic.php?f=9&t=2941&p=15951#p15921

Φιλικά,

Αχιλλέας

MANOLISMATHS · #3

Μπράβο.Ακριβώς αυτό είχα στο μυαλό μου.

Σας ευχαριστώ πολύ.
Και εμένα η απορία μου ήταν αν μπορεί να λυθεί η άσκηση χωρίς να δίνεται αρχική τιμή , δηλαδή χωρίς το f(1)=1

,για οποιαδήποτε αρχική τιμή.
Αυτό το λέω γιατί ακολουθώντας την μέθοδο προκύπτει ότι το όριο είναι φραγμένο από την τιμή $f(1)+\dfrac{Arctan f(1)}{f(1)}$
Αν υπάρχει κάτι επ' αυτού θα σας ήμουν ευγνώμων.

Και πάλι σας ευχαριστώ

Ανισότητα στο όριο

Ανισότητα στο όριο

Re: Ανισότητα στο όριο

Re: Ανισότητα στο όριο

Μέλη σε σύνδεση