Κοίλη συνάρτηση
Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος
Κοίλη συνάρτηση
Έστω μια δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο , για την οποία ισχύουν:
και
(α) Να αποδείξετε ότι η είναι κοίλη.
(β) Να λύσετε την ανίσωση
(γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και
και
(α) Να αποδείξετε ότι η είναι κοίλη.
(β) Να λύσετε την ανίσωση
(γ) Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Κοίλη συνάρτηση
Καλημέρα.
(α) Η συνέχεια της και το γεγονός ότι δεν μηδενίζεται πουθενά στο μας δίνει ότι διατηρεί πρόσημο.
Άρα η είναι είτε κυρτή ή κοίλη. Ας υποθέσουμε, προς άτοπο, ότι η είναι κυρτή. Τότε η γραφική της παράσταση θα είναι πάνω από την
εφαπτομένη της στο , οπότε για όλα τα Ωστόσο, λόγω συνέχειας στο και εκμεταλλευόμενοι το όριο βρίσκουμε
και εδώ είναι το άτοπο. Ώστε, κοίλη στο
(β) Η είναι γνησίως φθίνουσα στο με μοναδική ρίζα το . Άρα
που σημαίνει ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο , είναι
γνησίως αύξουσα στο και παρουσιάζει μοναδικό (ολικό μέγιστο) ακρότατο στο .
Συνεπώς για κάθε έχουμε
διότι λόγω κοιλότητας ισχύει για όλα τα με ισότητα να πιάνεται μόνο για
(γ) Θεωρούμε η οποία είναι δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη με
Από γνωστά στη θεώρημα Rolle, η συνάρτηση έχει το πολύ δύο ρίζες. Προφανείς ωστόσο είναι οι και άρα δύο ακριβώς ρίζες
για την . Γεωμετρικά οι τέμνονται ακριβώς σε δύο σημεία.
(α) Η συνέχεια της και το γεγονός ότι δεν μηδενίζεται πουθενά στο μας δίνει ότι διατηρεί πρόσημο.
Άρα η είναι είτε κυρτή ή κοίλη. Ας υποθέσουμε, προς άτοπο, ότι η είναι κυρτή. Τότε η γραφική της παράσταση θα είναι πάνω από την
εφαπτομένη της στο , οπότε για όλα τα Ωστόσο, λόγω συνέχειας στο και εκμεταλλευόμενοι το όριο βρίσκουμε
και εδώ είναι το άτοπο. Ώστε, κοίλη στο
(β) Η είναι γνησίως φθίνουσα στο με μοναδική ρίζα το . Άρα
που σημαίνει ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο , είναι
γνησίως αύξουσα στο και παρουσιάζει μοναδικό (ολικό μέγιστο) ακρότατο στο .
Συνεπώς για κάθε έχουμε
διότι λόγω κοιλότητας ισχύει για όλα τα με ισότητα να πιάνεται μόνο για
(γ) Θεωρούμε η οποία είναι δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη με
Από γνωστά στη θεώρημα Rolle, η συνάρτηση έχει το πολύ δύο ρίζες. Προφανείς ωστόσο είναι οι και άρα δύο ακριβώς ρίζες
για την . Γεωμετρικά οι τέμνονται ακριβώς σε δύο σημεία.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Κοίλη συνάρτηση
Πολύ κομψή λύση! Βάζω και την δική μου.
(α) Η είναι συνεχής στο άρα και αφού άρα Η είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο άρα από ΘΜΤ υπάρχει με και άρα η δεν είναι αύξουσα στο . Η είναι συνεχής στο και δεν έχει πραγματικές ρίζες, άρα από τις συνέπειες του Θ. Bolzano η διατηρεί πρόσημο στο , άρα η είναι γνησίως μονότονη και αφού δεν είναι αύξουσα, άρα είναι γνησίως φθίνουσα και η είναι κοίλη.
(β) Η είναι γνησίως φθίνουσα στο και η ανίσωση που είναι γίνεται Η εξίσωση εφαπτομένης της στο σημείο της είναι και η είναι κοίλη στο άρα με την ισότητα μόνο για και συνεπώς η ανίσωση έχει μόνη λύση την
(γ) Θεωρούμε την συνάρτηση Η είναι παραγωγίσιμη με Αφού η είναι γνησίως φθίνουσα στο ισχύουν οι ισοδυαναμίες:
Άρα, η είναι γνησίως αύξουσα στο και γνησίως φθίνουσα στο άρα η έχει το πολύ δύο ρίζες στο Όμως άρα η έχει μοναδικές ρίζες τις και Τα ζητούμενα σημεία είναι τα και
Σημείωση Για το γεγονός ότι διατηρεί πρόσημο στο δεν χρειάζεται η συνέχεια της δεύτερης παραγώγου. Είναι η συνέπεια του Θ. Darboux. Αλλά για Γ λυκείου το έδωσα έτσι.
(α) Η είναι συνεχής στο άρα και αφού άρα Η είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο άρα από ΘΜΤ υπάρχει με και άρα η δεν είναι αύξουσα στο . Η είναι συνεχής στο και δεν έχει πραγματικές ρίζες, άρα από τις συνέπειες του Θ. Bolzano η διατηρεί πρόσημο στο , άρα η είναι γνησίως μονότονη και αφού δεν είναι αύξουσα, άρα είναι γνησίως φθίνουσα και η είναι κοίλη.
(β) Η είναι γνησίως φθίνουσα στο και η ανίσωση που είναι γίνεται Η εξίσωση εφαπτομένης της στο σημείο της είναι και η είναι κοίλη στο άρα με την ισότητα μόνο για και συνεπώς η ανίσωση έχει μόνη λύση την
(γ) Θεωρούμε την συνάρτηση Η είναι παραγωγίσιμη με Αφού η είναι γνησίως φθίνουσα στο ισχύουν οι ισοδυαναμίες:
Άρα, η είναι γνησίως αύξουσα στο και γνησίως φθίνουσα στο άρα η έχει το πολύ δύο ρίζες στο Όμως άρα η έχει μοναδικές ρίζες τις και Τα ζητούμενα σημεία είναι τα και
Σημείωση Για το γεγονός ότι διατηρεί πρόσημο στο δεν χρειάζεται η συνέχεια της δεύτερης παραγώγου. Είναι η συνέπεια του Θ. Darboux. Αλλά για Γ λυκείου το έδωσα έτσι.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες