Τετράγωνο και ρίζα

KARKAR · #1

$\bigstar$ Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=x^2\sqrt{x+1}$ .

α) Σχεδιάστε την γραφική παράσταση της

( αφού προηγηθεί πλήρης μελέτη της )

β) Υπολογίστε το : $\displaystyle \int_{-1}^{3}f(x)dx$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 24, 2020 10:21 am
$\bigstar$ Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=x^2\sqrt{x+1}$ .

α) Σχεδιάστε την γραφική παράσταση της ( αφού προηγηθεί πλήρης μελέτη της )

β) Υπολογίστε το : $\displaystyle \int_{-1}^{3}f(x)dx$ .

α) Η

είναι συνεχής στο $\displaystyle [ - 1, + \infty )$ και παραγωγίσιμη στο $( - 1, + \infty )$ με παράγωγο $\displaystyle f'(x) = \frac{{x(5x + 4)}}{{2\sqrt {x + 1} }}$

$\displaystyle \bullet$ Είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα $\displaystyle \left[ { - 1, - \frac{4}{5}} \right],\left[ {0, + \infty } \right)$ και γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle \left[ { - \frac{4}{5},0} \right]$

Για $\displaystyle x = - \frac{4}{5}$ έχει τοπικό μέγιστο ίσο με $\displaystyle f\left( { - \frac{4}{5}} \right) = \frac{{16\sqrt 5 }}{{125}}$ και για x=-1, x=0,

ολικό ελάχιστο

$\displaystyle f( - 1) = f(0) = 0$

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle f''(x) = \frac{{15{x^2} + 24x + 8}}{{4\sqrt {{{(x + 1)}^3}} }},$ οπότε η

είναι κοίλη στο $\displaystyle \left[ { - 1,{x_0}} \right],$ κυρτή στο $[x_0, + \infty } \right))$ και έχει σημείο καμπής το

$\displaystyle A\left( {{x_0},f({x_0})} \right),$ όπου $\displaystyle {{x_0} = \frac{{2\sqrt 6 - 12}}{{15}}}.$

Ασύμπτωτες δεν υπάρχουν. Η γραφική παράσταση της

δίνεται παρακάτω.

: Τετράγωνο και ρίζα.png (7.37 KiB) Προβλήθηκε 1828 φορές

β) Θέτω $\displaystyle u = x + 1$ και το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται:
$\displaystyle \int_0^4 {{{(u - 1)}^2}\sqrt u } {\rm{ }}du = \int_0^4 {\left( {{u^{\frac{5}{2}}} - 2{u^{\frac{3}{2}}} + {u^{\frac{1}{2}}}} \right)} {\rm{ }}du = \left[ {\frac{2}{7}{u^{\frac{7}{2}}} - \frac{4}{5}{u^{\frac{5}{2}}} + \frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}}} \right]_0^4 = ... = \frac{{1712}}{{105}}$

Τετράγωνο και ρίζα

Τετράγωνο και ρίζα

Re: Τετράγωνο και ρίζα

Μέλη σε σύνδεση