Κλασική άσκηση...

M.S.Vovos · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left [ -\pi ,\pi \right ]\longrightarrow \mathbb{R}$ με f(0)=0

για την οποία, για κάθε $x\in\left [ -\pi ,\pi \right ]$ ισχύει:

$\displaystyle{\left ( x^{2}+1 \right )f'(x)+2xf(x)=\sigma \upsilon \nu x}$

Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x)=\frac{\eta \mu x}{x^{2}+1}}$ , $x\in \left [ -\pi ,\pi \right ]$ .

Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της παρουσιάζει ακριβώς δύο ακρότατα, συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων.

Αν $x_{1},x_{2}$ οι θέσεις των ακρότατων της του παραπάνω ερωτήματος, τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{I}=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(t)\textup{d}t}$ *Διόρθωση του πεδίου ορισμού. Είχα ξεχάσει να το αλλάξω. Ευχαριστώ τον κ. Βασίλη!

#2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 27, 2018 8:18 pm
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\left [ -\pi ,\pi \right ]\longrightarrow \mathbb{R}$ με για την οποία, για κάθε $x\in\left [ -\pi ,\pi \right ]$ ισχύει:

$\displaystyle{\left ( x^{2}+1 \right )f'(x)+2xf(x)=\sigma \upsilon \nu x}$
Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(x)=\frac{\eta \mu x}{x^{2}+1}}$ , $x\in \left [ -\pi ,\pi \right ]$ .

Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της παρουσιάζει ακριβώς δύο ακρότατα, συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων.

Αν $x_{1},x_{2}$ οι θέσεις των ακρότατων της του παραπάνω ερωτήματος, τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
$\displaystyle{\mathcal{I}=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(t)\textup{d}t}$ *Διόρθωση του πεδίου ορισμού. Είχα ξεχάσει να το αλλάξω. Ευχαριστώ τον κ. Βασίλη!

...και μία κλασιική αντιμετώπιση...(το διάστημα πρέπει (-π,π) γιατί στο κλειστό θα έχει τέσσερα ακρότατα....)

Α) Είναι $\left( {{x}^{2}}+1 \right){f}'(x)+2xf(x)=\sigma \upsilon \nu x\Leftrightarrow {{\left( \left( {{x}^{2}}+1 \right)f(x) \right)}^{\prime }}=(\eta \mu x{)}',\,\,\,x\in (-\pi ,\,\pi )$

απ΄ όπου ισοδύναμα $\left( {{x}^{2}}+1 \right)f(x)=\eta \mu x+c,\,\,\,x\in (-\pi ,\,\pi )$ και αφού f(0)=0

προκύπτει από την ισότητα με όπου

το

ότι

και έτσι $f(x)=\frac{\eta \mu x}{{{x}^{2}}+1},\,\,\,x\in (-\pi ,\,\pi )$

Β) Η $f(x)=\frac{\eta \mu x}{{{x}^{2}}+1},\,\,\,x\in (-\pi ,\,\pi )$ είναι παραγωγίσιμη στο $(-\pi ,\,\pi )$ με

${f}'(x)=\frac{\sigma \upsilon \nu x({{x}^{2}}+1)-2x(\eta \mu x)}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}},\,\,\,x\in (-\pi ,\,\pi )$ (1)

και τώρα αν θεωρήσουμε την συνάρτηση $g(x)=({{x}^{2}}+1)\sigma \upsilon \nu x-2x(\eta \mu x),\,\,x\in [-\pi ,\,\pi ]$

είναι παραγωγίσιμη με ${g}'(x)=2x\sigma \upsilon \nu x-({{x}^{2}}+1)\eta \mu x-2(\eta \mu x)-2x\sigma \upsilon \nu x=-({{x}^{2}}+3)\eta \mu x,\,\,x\in [-\pi ,\,\pi ]$ και ισχύουν

${g}'(x)>0\Leftrightarrow \eta \mu x<0\Leftrightarrow x\in (-\pi ,\,0)$ άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα ${{\Delta }_{1}}=[-\pi ,\,0]$

και ακόμη ${g}'(x)<0\Leftrightarrow \eta \mu x>0\Leftrightarrow x\in (0,\,\pi )$ άρα η

είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα

${{\Delta }_{2}}=[0,\,\pi ]$ επομένως έχουμε $g({{\Delta }_{1}})=[g(-\pi ),\,\,g(0)]=\left[ -\frac{1}{{{\pi }^{2}}+1},\,\,1 \right]$ και

$g({{\Delta }_{2}})=[g(\pi ),\,\,g(0)]=\left[ -\frac{1}{{{\pi }^{2}}+1},\,\,1 \right]$ και $0\in \left( -\frac{1}{{{\pi }^{2}}+1},\,\,1 \right)$

άρα υπάρχουν ${{x}_{1}}\in (-\pi ,\,0)$ και ${{x}_{2}}\in (0,\,\,\pi )$ που $g({{x}_{1}})=0,\,\,g({{x}_{2}})=0$ έτσι για την

${f}'(x)=\frac{g(x)}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}},\,\,\,x\in (-\pi ,\,\pi )$ είναι $\displaystyle {f}'({{x}_{1}})=0,\,\,{f}'({{x}_{2}})=0$ επειδή για την

έχουμε όταν $x<{{x}_{1}}\Rightarrow g(x)<g({{x}_{1}})=0,\,\,\,x>{{x}_{1}}\Rightarrow g(x)>g({{x}_{1}})=0$ και όταν

$\displaystyle x<{{x}_{2}}\Rightarrow g(x)>g({{x}_{2}})=0,\,\,\,x>{{x}_{2}}\Rightarrow g(x)<g({{x}_{2}})=0$ αντίστοιχα έχουμε

$x<{{x}_{1}}\Rightarrow {f}'(x)<0$ άρα η

γνήσια φθίνουσα στο $(-\pi ,\,{{x}_{1}}]$

${{x}_{1}}<x<{{x}_{2}}\Rightarrow {f}'(x)>0$ άρα η

γνήσια αύξουσα στο $[{{x}_{1}},\,{{x}_{2}}]$ και τέλος για

$x>{{x}_{2}}\Rightarrow {f}'(x)<0$ άρα η

γνήσια φθίνουσα στο $[{{x}_{2}},\,\,\pi )$ επομένως έχει ακριβώς δύο ακρότατα στο διάστημα

$(-\pi ,\,\,\pi )$ στο ${{x}_{1}}$ τοπικό ελάχιστο και στο ${{x}_{2}}$ τοπικό μέγιστο.

Επειδή τώρα $g(-x)=({{(-x)}^{2}}+1)\sigma \upsilon \nu (-x)-2(-x)(\eta \mu (-x))=g(x),\,\,x\in [-\pi ,\,\pi ]$

η συνάρτηση

είναι άρτια και προφανώς $g({{x}_{1}})=0\Leftrightarrow g(-{{x}_{1}})=0$ άρα είναι $-{{x}_{1}}={{x}_{2}}$

και τότε τα σημεία $A({{x}_{1}},\,f({{x}_{1}})),\,B({{x}_{2}},\,f({{x}_{2}}))$ είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων

αφού η

είναι περιττή επειδή $f(-x)=\frac{\eta \mu (-x)}{{{(-x)}^{2}}+1}=-\frac{\eta \mu x}{{{x}^{2}}+1}=-f(x),\,\,\,x\in (-\pi ,\,\pi )$

Γ) Τώρα επειδή

είναι περιττή και είναι $-{{x}_{1}}={{x}_{2}}$ το

$I=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{-{{x}_{1}}}{f}(t)dt=-\int\limits_{{{x}_{1}}}^{-{{x}_{1}}}{f}(-t)dt=...=-I$

(εύκολα αποδεικνύεται με αλλαγή μεταβλητής ) είναι I=0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Κλασική άσκηση...

Κλασική άσκηση...

Re: Κλασική άσκηση...

Μέλη σε σύνδεση