Κλασική άσκηση...

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 907
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Κλασική άσκηση...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Φεβ 27, 2018 8:18 pm

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\left [ -\pi ,\pi  \right ]\longrightarrow \mathbb{R} με f(0)=0 για την οποία, για κάθε x\in\left [ -\pi ,\pi  \right ] ισχύει:

\displaystyle{\left ( x^{2}+1 \right )f'(x)+2xf(x)=\sigma \upsilon \nu x}
  • Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(x)=\frac{\eta \mu x}{x^{2}+1}}, x\in \left [ -\pi ,\pi  \right ].
  • Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f παρουσιάζει ακριβώς δύο ακρότατα, συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων.
  • Αν x_{1},x_{2} οι θέσεις των ακρότατων της f του παραπάνω ερωτήματος, τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
\displaystyle{\mathcal{I}=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(t)\textup{d}t} *Διόρθωση του πεδίου ορισμού. Είχα ξεχάσει να το αλλάξω. Ευχαριστώ τον κ. Βασίλη!


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1554
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Κλασική άσκηση...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Φεβ 28, 2018 2:27 am

M.S.Vovos έγραψε:
Τρί Φεβ 27, 2018 8:18 pm
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\left [ -\pi ,\pi  \right ]\longrightarrow \mathbb{R} με f(0)=0 για την οποία, για κάθε x\in\left [ -\pi ,\pi  \right ] ισχύει:

\displaystyle{\left ( x^{2}+1 \right )f'(x)+2xf(x)=\sigma \upsilon \nu x}
  • Να αποδείξετε ότι \displaystyle{f(x)=\frac{\eta \mu x}{x^{2}+1}}, x\in \left [ -\pi ,\pi  \right ].
  • Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f παρουσιάζει ακριβώς δύο ακρότατα, συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων.
  • Αν x_{1},x_{2} οι θέσεις των ακρότατων της f του παραπάνω ερωτήματος, τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
\displaystyle{\mathcal{I}=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(t)\textup{d}t} *Διόρθωση του πεδίου ορισμού. Είχα ξεχάσει να το αλλάξω. Ευχαριστώ τον κ. Βασίλη!
...και μία κλασιική αντιμετώπιση...(το διάστημα πρέπει (-π,π) γιατί στο κλειστό θα έχει τέσσερα ακρότατα....)

Α) Είναι \left( {{x}^{2}}+1 \right){f}'(x)+2xf(x)=\sigma \upsilon \nu x\Leftrightarrow {{\left( \left( {{x}^{2}}+1 \right)f(x) \right)}^{\prime }}=(\eta \mu x{)}',\,\,\,x\in (-\pi ,\,\pi )

απ΄ όπου ισοδύναμα \left( {{x}^{2}}+1 \right)f(x)=\eta \mu x+c,\,\,\,x\in (-\pi ,\,\pi ) και αφού f(0)=0

προκύπτει από την ισότητα με όπου xτο 0 ότι c=0 και έτσι f(x)=\frac{\eta \mu x}{{{x}^{2}}+1},\,\,\,x\in (-\pi ,\,\pi )

Β) Η f(x)=\frac{\eta \mu x}{{{x}^{2}}+1},\,\,\,x\in (-\pi ,\,\pi ) είναι παραγωγίσιμη στο (-\pi ,\,\pi ) με

{f}'(x)=\frac{\sigma \upsilon \nu x({{x}^{2}}+1)-2x(\eta \mu x)}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}},\,\,\,x\in (-\pi ,\,\pi )(1)

και τώρα αν θεωρήσουμε την συνάρτηση g(x)=({{x}^{2}}+1)\sigma \upsilon \nu x-2x(\eta \mu x),\,\,x\in [-\pi ,\,\pi ]

είναι παραγωγίσιμη με {g}'(x)=2x\sigma \upsilon \nu x-({{x}^{2}}+1)\eta \mu x-2(\eta \mu x)-2x\sigma \upsilon \nu x=-({{x}^{2}}+3)\eta \mu x,\,\,x\in [-\pi ,\,\pi ] και ισχύουν

{g}'(x)>0\Leftrightarrow \eta \mu x<0\Leftrightarrow x\in (-\pi ,\,0) άρα η g είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα {{\Delta }_{1}}=[-\pi ,\,0]

και ακόμη {g}'(x)<0\Leftrightarrow \eta \mu x>0\Leftrightarrow x\in (0,\,\pi ) άρα η g είναι γνήσια φθίνουσα στο διάστημα

{{\Delta }_{2}}=[0,\,\pi ] επομένως έχουμε g({{\Delta }_{1}})=[g(-\pi ),\,\,g(0)]=\left[ -\frac{1}{{{\pi }^{2}}+1},\,\,1 \right] και

g({{\Delta }_{2}})=[g(\pi ),\,\,g(0)]=\left[ -\frac{1}{{{\pi }^{2}}+1},\,\,1 \right] και 0\in \left( -\frac{1}{{{\pi }^{2}}+1},\,\,1 \right)

άρα υπάρχουν {{x}_{1}}\in (-\pi ,\,0) και {{x}_{2}}\in (0,\,\,\pi ) που g({{x}_{1}})=0,\,\,g({{x}_{2}})=0 έτσι για την

{f}'(x)=\frac{g(x)}{{{({{x}^{2}}+1)}^{2}}},\,\,\,x\in (-\pi ,\,\pi ) είναι \displaystyle {f}'({{x}_{1}})=0,\,\,{f}'({{x}_{2}})=0 επειδή για την g

έχουμε όταν x<{{x}_{1}}\Rightarrow g(x)<g({{x}_{1}})=0,\,\,\,x>{{x}_{1}}\Rightarrow g(x)>g({{x}_{1}})=0 και όταν

\displaystyle x<{{x}_{2}}\Rightarrow g(x)>g({{x}_{2}})=0,\,\,\,x>{{x}_{2}}\Rightarrow g(x)<g({{x}_{2}})=0 αντίστοιχα έχουμε

x<{{x}_{1}}\Rightarrow {f}'(x)<0 άρα η f γνήσια φθίνουσα στο (-\pi ,\,{{x}_{1}}]

{{x}_{1}}<x<{{x}_{2}}\Rightarrow {f}'(x)>0 άρα η f γνήσια αύξουσα στο [{{x}_{1}},\,{{x}_{2}}] και τέλος για

x>{{x}_{2}}\Rightarrow {f}'(x)<0 άρα η f γνήσια φθίνουσα στο [{{x}_{2}},\,\,\pi ) επομένως έχει ακριβώς δύο ακρότατα στο διάστημα

(-\pi ,\,\,\pi ) στο {{x}_{1}} τοπικό ελάχιστο και στο {{x}_{2}} τοπικό μέγιστο.

Επειδή τώρα g(-x)=({{(-x)}^{2}}+1)\sigma \upsilon \nu (-x)-2(-x)(\eta \mu (-x))=g(x),\,\,x\in [-\pi ,\,\pi ]

η συνάρτηση g είναι άρτια και προφανώς g({{x}_{1}})=0\Leftrightarrow g(-{{x}_{1}})=0 άρα είναι -{{x}_{1}}={{x}_{2}}

και τότε τα σημεία A({{x}_{1}},\,f({{x}_{1}})),\,B({{x}_{2}},\,f({{x}_{2}})) είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων

αφού η f είναι περιττή επειδή f(-x)=\frac{\eta \mu (-x)}{{{(-x)}^{2}}+1}=-\frac{\eta \mu x}{{{x}^{2}}+1}=-f(x),\,\,\,x\in (-\pi ,\,\pi )

Γ) Τώρα επειδή f είναι περιττή και είναι -{{x}_{1}}={{x}_{2}} το

I=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{-{{x}_{1}}}{f}(t)dt=-\int\limits_{{{x}_{1}}}^{-{{x}_{1}}}{f}(-t)dt=...=-I

(εύκολα αποδεικνύεται με αλλαγή μεταβλητής ) είναι I=0

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης