Με ημίτονο και λογάριθμο

M.S.Vovos · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f:\left ( 0,+\infty \right )\longrightarrow \mathbb{R}$ με $f(x)=\sin \left ( \log x \right )$ .

(α) Να αποδείξετε ότι η

τέμνει τον άξονα των τετμημένων σε άπειρα σημεία.

(β) Να βρεθεί πολυώνυμο δευτέρου βαθμού, έστω p(x)

, τέτοιο ώστε να ισχύει:

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-p(x)}{\left ( x-1 \right )^{2}}=0}$ Είναι το πολυώνυμο αυτό μοναδικό;

(γ) Αν $\rho _{1},\rho _{2}$ οι δύο ρίζες της

στο διάστημα $\left ( 0,e^{\pi } \right ]$ με $\rho _{1}<\rho _{2}$ και $\displaystyle{p(x)=-\frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{3}{2}}$ τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{I=\int_{\rho _{1}}^{\rho _{2}}f(x)p(x)\textup{d}x}$ Φιλικά,
Μάριος

Σταμ. Γλάρος · #2

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 07, 2018 6:35 pm
Δίνεται η συνάρτηση $f:\left ( 0,+\infty \right )\longrightarrow \mathbb{R}$ με $f(x)=\sin \left ( \log x \right )$ .

(α) Να αποδείξετε ότι η τέμνει τον άξονα των τετμημένων σε άπειρα σημεία.

(β) Να βρεθεί πολυώνυμο δευτέρου βαθμού, έστω , τέτοιο ώστε να ισχύει:

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1}\frac{f(x)-p(x)}{\left ( x-1 \right )^{2}}=0}$ Είναι το πολυώνυμο αυτό μοναδικό;

(γ) Αν $\rho _{1},\rho _{2}$ οι δύο ρίζες της στο διάστημα $\left ( 0,e^{\pi } \right ]$ με $\rho _{1}<\rho _{2}$ και $\displaystyle{p(x)=-\frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{3}{2}}$ τότε να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{I=\int_{\rho _{1}}^{\rho _{2}}f(x)p(x)\textup{d}x}$ Φιλικά,
Μάριος[/b0

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια στα δύο πρώτα...
α) Κατ΄αρχάς υποθέτω ότι ο Μάριος εννοεί φυσικό και όχι δεκαδικό λογάριθμο...
Δεν αλλάζει και τίποτα. Απλώς στον δεκαδικό εμφανίζεται συνεχώς το . Κούραση ...
Είναι $f(x)=0\Leftrightarrow sin(lnx)=sin 0\Leftrightarrow lnx=\kappa \pi \Leftrightarrow x=e^{\kappa \pi }$ , $\kappa \in \mathbb{Z}$ .
Συνεπώς η τέμνει τον άξονα σε άπειρα σημεία της μορφής $(e^{\kappa \pi },0)$ .

(β) Θεωρώ την συνάρτηση $g(x)=\dfrac{sin(lnx)-(ax^2+bx+c)}{(x-1)^2}$ , όπου , $a\neq 0$ .
Είναι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1} \left [ sin(lnx)-(ax^2+bx+c) \right ] = -(a+b+c)$ , $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1} (x-1)^2 = 0$ και , κοντά στο .
Αν $a+b+c\neq 0$ τότε $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1} g(x) =\pm \infty$ , αναλόγως του προσήμου των συντελεστών του .
Άρα πρέπει : $\Leftrightarrow$ (1) .

Αντικαθιστώντας την (1) στον τύπο της έχουμε :
$g(x)=\dfrac{sin(lnx)-(x-1)(ax-c)}{(x-1)^2} = \dfrac{ \dfrac{sin(lnx)}{x-1}-(ax-c)}{x-1}$ .
Εφαρμόζοντας κανόνα de L' Hospital προκύπτει : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{sin(lnx)}{x-1} = 1$ .
Άρα $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1} \left [ \dfrac{sin(lnx)}{x-1} -(ax-c) \right ]= 1-a+c$ .
Αν $1-a+c\neq 0$ τότε το $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1} g(x)$ δεν υπάρχει.
Επομένως $\Leftrightarrow$ (2) .

Αντικαθιστώντας, ξανά, την (2) στον τύπο της έχουμε : $g(x)= \dfrac{ sin(lnx)-(x-1)}{(x-1)^2} -a$ .
Άρα εφαρμόζοντας,δύο φορές, κανόνα de L' Hospital προκύπτει :
$\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow 1} \dfrac{ sin(lnx)-(x-1) }{ (x-1)^2 } = - \dfrac{1}{2}$ . Άρα $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1} g(x) = - \dfrac{1}{2} -a$ .
Επειδή θέλουμε $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 1} g(x) = 0$ , πρέπει $a= - \dfrac{1}{2}$ .
Αντικαθιστώντας στις (1) και (2) έχουμε και $c= - \dfrac{3}{2}$ .
Άρα $p(x)=-\dfrac{x^2}{2}+2x-\dfrac{3}{2}$ .
To πολυώνυμο είναι μοναδικό.

(γ) Για το ερώτημα αυτό έχω την εξής απορία. Όπως φαίνεται από την διατύπωση στο διάστημα $\left ( 0,e^{\pi } \right ]$ φαίνεται να υπάρχουν
μόνο δύο ρίζες. Όμως από το (α) υποερώτημα φαίνεται ότι υπάρχουν άπειρες ρίζες της μορφής $e^{\kappa \pi }$ με $\kappa$ όλους τους ακεραίους
στο διάστημα $(-\infty ,1]$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Christos.N · #3

Σταμ. Γλάρος έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 07, 2018 10:04 pm
Συνεπώς η τέμνει τον άξονα σε άπειρα σημεία της μορφής $(e^{\kappa \pi },0)$ .
.....
(γ) Για το ερώτημα αυτό έχω την εξής απορία. Όπως φαίνεται από την διατύπωση στο διάστημα $\left ( 0,e^{\pi } \right ]$ φαίνεται να υπάρχουν
μόνο δύο ρίζες. Όμως από το (α) υποερώτημα φαίνεται ότι υπάρχουν άπειρες ρίζες της μορφής $e^{\kappa \pi }$ με $\kappa$ όλους τους ακεραίους
στο διάστημα $(-\infty ,1]$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Εννοείς μάλλον το διάστημα (0 ,1]

αντί του $(-\infty ,1]$ γιατί, $\displaystyle k \in {Z^ - } \Rightarrow {e^{k\pi }} = \frac{1}{{{e^{|k|\pi }}}} > 0$ , άρα έχει άπειρες ρίζες και όχι δύο μόνο, μπορούμε να πούμε όμως ότι υπάρχουν δύο διαδοχικές.

M.S.Vovos · #4

Μάλλον η διατύπωση που έθεσα μπάζει. Ας πούμε για τώρα να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{I=\int_{1}^{e^{\pi }}f(x)p(x)\textup{d}x}$

Με ημίτονο και λογάριθμο

Με ημίτονο και λογάριθμο

Re: Με ημίτονο και λογάριθμο

Re: Με ημίτονο και λογάριθμο

Re: Με ημίτονο και λογάριθμο

Μέλη σε σύνδεση