Υπενθυμιστική

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Υπενθυμιστική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Δευ Νοέμ 28, 2016 4:15 pm

Δίνεται η συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο R ώστε f''(x)(x^2+1)+4xf'(x)+2f(x)>0 με f(0)=f'(0)=0. Δείξτε οτι:

1) \displaystyle{f(x) \geq 0\,\,,x \in R}

2) \displaystyle{\exists\,\, x_1,x_2 \in (-1,1): f''(x_1)+f'(x_2)>0}

Αν γνωρίζουμε οτι \displaystyle{f(x)=\frac{e^{x^2}-1}{x^2+1}} τότε:

3) Να λυθεί η ανίσωση \displaystyle{\left ( e^{x^6}-1 \right )\left ( x^8+1 \right )<\left ( e^{x^8}-1 \right )\left ( x^6+1 \right )}

4) \displaystyle{\int_{-2}^{2}f(x)dx \leq 4e^4}



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3017
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Υπενθυμιστική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Νοέμ 29, 2016 11:35 am

Απαντώ στα δύο πρώτα.
Είναι εύκολο να δούμε ότι (f(x)g(x))''=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x)

Θέτοντας g(x)=x^{2}+1

Η δοθείσα σχέση γίνεται (f(x)(x^{2}+1))''> 0

Εστω h(x)=f(x)(x^{2}+1)

Εχουμε h''(x)> 0,h'(0)=0,h(0)=0

Η h' είναι γνησίως αύξουσα όποτε

x> 0\Rightarrow h'(x)> 0 και x< 0\Rightarrow h'(x)< 0

Αρα η h έχει ελάχιστο στο 0

Αρα x\in \mathbb{R}\Rightarrow h(x)\geq h(0)=0

και τελικά x\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)\geq 0
και τελειώσαμε με το 1)

2)Αν στην δοθείσα βάλουμε x=0

προκύπτει οτιf''(0)> 0

Μπορούμε να πάρουμε x_{1}=x_{2}=0

Αν τα θέλουμε διαφορετικά παίρνουμε το x_{2} από Θ.Μ.Τ στο διάστημα [0,\frac{1}{2}]


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3017
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Υπενθυμιστική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Δεκ 06, 2016 5:33 pm

Μιας και την σνομπάρουν όλοι να την τελειώσω.
3)H g(t)=\dfrac{e^{t}-1}{1+t},t> 0

εχει παράγωγο g'(t)=\dfrac{te^{t}+1}{(1+t)^{2}}> 0

Αρα η f για x> 0 είναι γνησίως αύξουσα σαν σύνθεση γνησίως αυξουσών συναρτήσεων.

Η ανισότητα γράφετε f(x^{6})< f(x^{8}) και λόγω των προηγουμένων είναι ισοδύναμη με την x^{6}< x^{8}\Leftrightarrow  
 
x^{2}> 1\Leftrightarrow \left | x \right |> 1


4)Για x\in [-2,2] έχουμε f(x)\leq \dfrac{e^{4}-1}{1}

Αρα \int_{-2}^{2}f(x)dx\leq 4(e^{4}-1)< 4e^{4}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης