Γενικό

gradion · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R \rightarrow R$ ,για την οποία υπάρχουν οι συναρτήσεις G,F : G'(x)=f(x),F'(x)=G(x),F(0)=G(0)=0

και ισχύει: (x-1)F(x)+x=xG(x)+1

και θεωρούμε και την συνάρτηση g(x)=x^3f(x)

Α)Να βρείτε την f
Β)Βρείτε την μονοτονία και τα σημεία καμπής της g.
Γ)Υπολογίστε το : $\int_{0}^{1}f(x)dx$
Δ)Να λύσετε την ανίσωση: $\int_{x^2+3}^{x^2+5}g(t)dt >\int_{ln(x^2+4)}^{ln(x^2+4)+2}g(t)dt$ .
.

maiksoul · #2

Χρόνια πολλά!

Νομίζω οτι η εκφώνηση , αν δεν κάνω λάθος, πρέπει να ναι:

gradion έγραψε:Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R \rightarrow R$ ,για την οποία υπάρχουν οι συναρτήσεις
και ισχύει:
και θεωρούμε και την συνάρτηση
Α)Να βρείτε την f
Β)Βρείτε την μονοτονία και τα σημεία καμπής της g.
Γ)Υπολογίστε το : $\int_{0}^{1}f(x)dx$
Δ)Να λύσετε την ανίσωση: $\int_{x^2+3}^{x^2+5}g(t)dt >\int_{ln(x^2+4)}^{ln(x^2+4)+2}g(t)dt$ .
.

Με την παραπάνω εκφώνηση και για το 1 ερώτημα εχω:

$(1): xF(x)+x=xF'(x)+F(x) \Leftrightarrow [xF(x)]'-[xF(x)]-x=0\Leftrightarrow$ xF(x)=e^x-x-1

$F(x)=\frac{e^x-x-1}{x},\;\;\ x \neq0$

$G(x)=F'(x)=\frac{(x-1)e^x+1}{x^2},\;\;\ x\neq0,\;\;\;G(0)=1/2$

$\forall x \neq0:f(x)=G'(x)=\frac{(x^2-2x+2)e^x-2}{x^3}$ λόγω συνέχειας είναι f(0)=1/3

maiksoul · #3

Συνεχίζω με την προηγούμενη εκφώνηση που έχω δώσει

Σε περίπτωση που έχω κάνει λάθος ζητάω συγνώμη από το δημιουργό, όπως επίσης

ζητάω να παρέμβει για να αποκαταστήσει το λάθος μου.

B) Για $x=0: \;\;g(0)=0f(0)=0$ και $\forall x \neq0\;\; g(x)=(x^2-2x+2)e^x-2$ η οποία είναι συνεχής

'Οταν $x \rightarrow0,g(x) \rightarrow 0=g(0)$ άρα η συνάρτηση είναι συνεχής και στο 0.

Επομένως η συνάρτηση είναι συνεχής σε όλο το

Είναι $\forall x \in R^*: g'(x)=x^2e^x>0$ άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το πραγματικό άξονα.

Ακόμα $g"(x)=(x^2+2x)e^x,\;\;g"(x)=0 \Leftrightarrow x=0\;\;\vee\;\;\;x=-2$

$g''(x)>0 \Leftrightarrow x<-2\;\;\vee\;\;\;x>0$ ενώ $g''(x)<0 \Leftrightarrow -2<x<0$

επομένως η συνάρτηση έχει σημεία καμπής τα $A(-2,g(-2)),\;\;B(0,g(0))$

Γ)Για το ερώτημα γ έχουμε

$\int_{0}^{1}f(x)dx= \int_{0}^{1}G'(x)dx=G(1)-G(0)=1-1/2=1/2$

gradion · #4

Θα δω το βοήθημα και θα σας πω .Δεν την έφτιαξα εγώ.

ευχαριστω

Γενικό

Γενικό

Re: Γενικό

Re: Γενικό

Re: Γενικό

Μέλη σε σύνδεση